Классическое определение вероятности. Свойства вероятности

Статистическое определение вероятности. Свойства частоты.

Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней.

 

Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта.

 

, где

- число благоприятных исходов опыта;

- общее число исходов опыта.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно,

Р(А) = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благопри-ятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.

3. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятности.

вероятность задается как числовая функция Р(А) на множестве всех событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1. .

2. P (A)=1, если А - достоверное событие.

3. , если А и В несовместны.

сновные свойства вероятности

1. Для каждого случайного события А определена его вероятность, причем .

2. Для достоверного события U имеет место равенство P (U)=1.
Свойства 1 и 2 следуют из определения вероятности.

3. Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в частном случае (для несовместных событий).

4. Для произвольных событий А и В

.

Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в общем случае.

5. Для противоположных событий А и имеет место равенство .

4. Условная вероятность.Теорема об условной вероятности.

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называется число

Условная вероятность определена только в случае, когда .

Это определение бывает полезно использовать не для вычисления условной вероятности, а для последовательного вычисления вероятности нескольким событиям случиться одновременно, если известны соответствующие условные вероятности. А именно, справедливы следующие «теоремы умножения вероятностей».

Теорема 6. Если и , то

Теорема 7. Для любых событий верно равенство:

если все участвующие в нём условные вероятности определены.

 

5. Критерии независимости случайных событий.

6. Теорема о независимости событий и противоположных им.

7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н ₁, Н ₂,…, Н_п, равна:

(3.1)

где p (H_i) – вероятность i- й гипотезы, а p (A/H_i) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы.

Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:

8. Формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в какой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равно-вероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых к испытаниях и не произошло в остальных п – к испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний из п по к, то есть , а вероятность каждого из них: p^kq^n-k, где q = 1 – p – вероятность того, что в данном опыте А не произошло. Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим формулу Бернулли:

.

9. Формула Пуассона. Локальная формула Муавра – Лапласа. Интегральная формула Муавра – Лапласа.

Формула Пуассона:

Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечности и так, что , , то при любых

Это означает, что при больших n и малых p вместо громоздких вычислений по точной формуле можно воспользоваться приближенной формулой

, т.е. использовать формулу Пуассона для l = np.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Пусть 0< p <1 и величина при n ® ограничена. Тогда .

На практике приближением Муавра-Лапласа пользуются при npq > 9.

Точность формулы растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения величин p и q к 0.5.

 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

 

Пусть 0< p <1, тогда для схемы Бернулли при n ® для любых a и b справедлива формула

.

Отсюда, в частности, следует, что для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k ₁ и k ₂, можно использовать формулу

,

где , , - функция Лапласа.

Точность этой приближенной формулы растет с ростом n.

Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула

и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k ₁ и k ₂, можно использовать формулу

, где , .