Если f: [a;b] -> R – неотрицательно интегрируемая ф-ция, то криволинейная трапеция A = {(x;y)єR²: a ≤ x ≤ b; y=f(x)} – квадрируема и её плошадь равна интегралу: μ(A) = ∫(ab)f(x)dx (1) Док-во:
Покаждому разбиению Т = {a=X0 < … < Xk < … < Xn = b} отрезка [a;b] построим ступенчатые прямоуг фигуры, впис в криволинейную трапецию и опис около неё. Площади этих фигур равны соответственно нижней Ş(f,T) и верхней Ŝ(f,T) суммам Дарбу. В силу критерия интегрируемости вып-тся: Lim[Ŝ(f,T) - Ş(f,T)] = 0 при λ(T)->0.В частности: Vε>0 сущ-т T: 0 ≤ Ŝ(f,T) - Ş(f,T) < ε. Это означает, что для криволинейной трапеции вып 1ый критерий квадрируемости, значит она квадрируема. Для нах её площади μ(А) запишем нерав-во: Ş(f,T) ≤ μ(А) ≤ Ŝ(f,T) (2). Т.к. Lim Ş(f,T) = LimŜ(f,T)= ∫(ab)f(x)dx, то в передел из (2) получ (1)
09. Сходиость в Rⁿ посл-ти векторов Хk = (X k 1 … X k n) к вектору А=(a1 … ak) равносильна по координатной сходимости, т.е. (Lim Хk = А) ó (Vi=1…n: Lim Xki = Ai) при k->+∞ Док-во: Применяя к (Хk – А) нерав-во | Xi | ≤ |Х| ≤ Σ|Хk| имеем Vi=1…n: { |Хk – А| ≥ |Xki = Ai | { |Хk – А| ≤ Σ(i=1…ki) |Xki = Ai| Из верхнего нерав-ва получ, что если послед (Хk) k=1…+∞ сход к А, то Vi (Xki) k=1…+∞ сход к Ai. Аналогично из нижнего нервав-ва вытекает, что если сход все вещ послед сход к числам Ai, то сход и векторная посл-ть (Хk) k=1…+∞ к А
10 Достаточное условие локал экстремума
Пусть А – стационарная точка скалярной ф-ции f и в этой точке сущ-т 2ой диф-л: d²f(A,H). Если d²f(A,H): 1 полож опр-на, то f имеет в т. А строгий локал min 2 отриц опр-на, то f имеет в т. А строгий локал max 3 неопр-на то в т. А ничего нет Док-во: Разложим ф-цию f по формуле Тейлора в U(A): f(A+H)=f(A)+df(A,H)+1/2!d²f(A,H)+r₂(H) (1). Здесь df(A,H) =0, т.к. А - стационарная точка. Т.к. r₂(H) = o(|H|²) при H->0, то r₂(H) можно представить виде: r₂(H)= |H|²*α(H), где α(H)->0 при H->0. Т.о. если положить H=t*|L|, где |L|=1, t>0, то на основ (1) приращ ∆f(A,H) ф-ции f в т. А можно представить виде: ∆f(A,H)=f(A,H)-f(A)=t²/2* [d²f(A,L)+α(t*L)] (2). Далее можно показать, что при достаточно малых t знак ∆f(A,H) совпад со знаком d²f(A.H) из этого вытекает следуемое.
11. Крит. сход-сти ряда с неотриц. Членами
12. Интегральный признак Макларена-Коши
Пусть f:[1, +∞) є R – полож убыв ф-ция, тогда сход ЧР Σf(k) равносильно сущ-нию конечного предела LimF(x) первообразной F(x) для ф-ции f(x)
Док-во:
Т.к. f- монотонная ф-ция, то она имеет непрерывную первообразную в виде интегралов: F(x)=∫(1x)f(t)dt на любом интервале вида 1 < x < A. Кроме того F(x) монотонно возрастает на (1, +∞) и следовательно сущ-т конечный или бесконечный предел Lim(∫(1x)f(t)dt)). Т.к по условию f – убыв ф-ция, то VkєN вып-тся нер-ва:
F(k+1) ≤ f(x) ≤ f(k), Vxє[k; k+1].Интегрируя эти нерав-ва имеем: ∫(k,k+1)f(x)dx ≤ ∫(k,k+1)f(x)dx ≤ ∫(k+0,k+1)f(x)dx, Т.е. f(k+1) ≤ ∫(k,k+1)f(x)dx ≤ f(k), kєN.Суммируя почленно послед нерав-во получ: Σf(k+1)≤ Σ∫(k,k+1)f(x)dx ≤ Σf(k). Если Sn = Σf(k) – частная сумма ряда Σfk, то Sn – f(1) ≤ ∫(1n)f(x)dx ≤ Sn-1. отсюда заключаем, что сущ-ние конечного предела Lim Sn равносильно сущ-нию конечного предела Lim∫(1n)f(x)dx, а это равносильно сущ-нию конечного предела первообразной Lim(∫(1x)f(t)dt) (ибо первообразная монотонна)
13. Признак Коши (с корнем)
Пусть Σаn – ряд с неотрицательными членами для кот верхний передл равен q, тогда если:
1 q < 1 – ряд сходится
2 q > 1 – ряд расход
3 q = 1 необход дополнит исследование
Док-во:
1 Если q < 1, то выберем ε>0 так, чтобы q + ε < 1. Т.к. q=Limsup{ⁿ√an,…},то начиная с нек номера вып-но нерав-во: sup{ⁿ√an,…} < q+ε = q и значит для тех же n ⁿ√an < q, или an < qⁿ. Т.к. 0 < q < 1, то ряд Σ qⁿ - сход, тогда по можерантному признаку сравн исходн ряд так аже сход
2 Пусть q > 1. По св-ву верхних переделов сущ-т посл-ть (nk)->+∞ такая, что Limⁿk√ ank = q > 1 =>
ank ≥ 1 нач с нек номера k и не вып-тся необход условие сход ряда, т.е. исходный ряд расх
3 При q = 1 ряд может как сход, так и расход.
14. Признак Даламбера
15. Признак Лейбница
16. Признак Дирихле
