Расчет линейной электрической цепи постоянного тока

Задание 1.

Для электрической схемы, изображенной на рисунке 1, где E1 = 16 В,

E2 = 8 В, E3 = 9 В, R1 = 2,5 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 6 Ом, R4 = 5 Ом, R5 = 10 Ом,

R6 = 5 Ом, выполнить следующее:

1) составить и решить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти токи в ветвях, пользуясь методом контурных токов;

3) проверить правильность решения, применив метод узловых потенциалов;

4) определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора;

5) определить показание вольтметра и составить баланс мощностей;

6) построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Рисунок 1 – схема электрической цепи постоянного тока

Расчет линейной электрической цепи постоянного тока

Выберем направления токов в ветвях электрической цепи, представленной на рисунке 4, а также обозначим все узлы цепи буквенными обозначениями.

Рисунок 4 – Расчетная схема электрической цепи

1) Составим 3 уравнения по первому закону Кирхгофа,

) Ik = 0 (1)

k=1

Выбираем произвольные направления обхода контуров. Составляем 3

уравнения для независимых контуров по второму закону Кирхгофа:

m n

) RkIk =) Ek

(2)

k=1 k=1

Объедением и совместно решаем систему уравнений (1) и (2) для определения токов в ветвях схемы. Если для какого-либо тока будет получено отрицательное значение, то из этого следует, что его действительное направление противоположно выбранному.

Имеем систему уравнений:

I1 − I5 − I6 = 0

fI2− I1+ I3= 0

6 − I2

− I4 = 0

(3)

IR5I5− R4I4− R6I6= 0 IR1I1+ R6I6+ R2I2= E1− E2hR2I2 − R3I3 − R4I4 = E3 − E2

Решение дает: I1 =0,846 А, I2 =0,520 А, I3 =0,326 А, I4 =0,033 А, I5 =0,293 А,

I6 =0,533 А.

2) Составим 3 уравнения по второму закону Кирхгофа (2) для обозначенных на рисунке 4 контурных токов.

Получим систему уравнений:

ℐ1(R1 + R6 + R2) − ℐ2R6 − ℐ3R2 = E1 − E2

{ℐ2(R5 + R4 + R6) − ℐ3R4 − ℐ1R6 = 0

ℐ3(R2 + R3 + R4) − ℐ2R4 − ℐ1R2 = E2 − E3

Решая ее, получаем: I1= 0,846 А, I2= 0,293 А, I3= 0,326 А.

(4)

Токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма контурных токов, проходящих через данную ветвь, вычисляя, получим:

I1 =0,846 А, I2 =0,520 А, I3 =0,326 А, I4 =0,033 А, I5 =0,293 А, I6 =0,533 А.

3) Заменим все сопротивления на проводимости:

G = R (5)

G1 =0,4 Cм, G2 =0,167 Cм, G3 =0,167 Cм, G 4 =0,2 Cм, G 5 =0,1 Cм, G 6 =0,2 Cм.

Выберем узел 3 в качестве базового, т.е. его потенциал равен нулю:

n n n

") Gi−) "iGi=) EiGi + Ji

(6)

i=1

Для каждого узла (1,2,4) составляем уравнение по формуле (6): потенциал умножаем на сумму проводимостей ветвей, прилегающих к узлу, и вычитаем произведения потенциалов соседних узлов на проводимость ветвей, соединяющих его с данным узлом; все это приравниваем к сумме источников тока и источников напряжения помноженных на проводимости соответствующих ветвей. Получим систему уравнений:

"1(G1 + G5 + G6) − "2G1 − "4G5 = E1G1

{"2(G1 + G2 + G3) − "1G1 − "4G3 = −E1G1−E2G2−E3G3 "4(G3 + G4 + G5) − "1G5 − "2G3 = E3G3

Решая систему, получаем следующие значения потенциалов:

φ1 =2,765 В, φ2 =-11,120 В, φ3 =0 В, φ4 =-0,165 В.

(7)

Определим потенциалы для остальных точек. Для этого отнимаем от потенциалов соседних точек, к которым направлено ЭДС, значение этого ЭДС: φ5 = φ4 - Е3, φ6 = φ1 – Е1, φ7 = φ3 - Е2. Получаем следующие значения:

φ5 = -9,165 В, φ6 = -13,235 В, φ7 = -8 В.

Токи в ветвях находим как произведения проводимости ветви на сумму падения напряжения на ветви и ЭДС, тогда

I1 =0,846 А, I2 =0,520 А, I3 =0,326 А, I4 =0,033 А, I5 =0,293 А, I6 =0,533 А.

4) Определим ток в резисторе R6 методом эквивалентного источника напряжения. Для этого вычленим из цепи, изображенной на рисунке 4, резистор R6 и приложим напряжение холостого хода Uхх (рисунок 5), тогда искомый ток определится как:

I6 = R

Uхх

+ R

, (8)

6 э

где Rэ – эквивалентное сопротивление цепи относительно резистора R6 при отсутствии в цепи генераторов, представленной на рисунке 6.

Рисунок 5 – Расчетная схема для метода эквивалентного генератора

Составим уравнения по формуле (2) для контурных токов I1 и I2.

ℐ1(R1 + R2 + R4 + R5) + ℐ2(R2 + R4) = E1 − E2

ℐ

{

2(R2

+ R3

+ R4

) + ℐ1

(R2

+ R4

) = E3

− E2

(9)

Решая, получим I1 = 0,449 А и I2 = -0,232 А. Тогда токи I5 = I1 = 0,449 А, I4 = I1 + I2 = 0,217 A.

Падение напряжения на участке 1-4-3, равное Uхх определится как:

Uss = I5R5+ I4R4 (10)

Вычисление дает Uхх = 5,575 В.

Рисунок 6 – Схема для расчета эквивалентного сопротивления

Преобразуем соединение «звезда» резисторов R1, R3, R2 в соединение резисторов «треугольник» по формулам (11):

R12 = R1 + R2 + R13 = R1 + R3 + R23 = R2 + R3 +

R1 + R2 R3

R1 + R3 R2

R2 + R3 R1

(11)

Получаем схему, изображенную на рисунке 7 и значения новых сопротивлений R12 = 11 Ом, R13 = 11 Ом, R23 = 26,4 Ом.

Рисунок 7 – Схема для расчета эквивалентного сопротивления после преобразования «звезда – треугольник»

Очевидно, что пары резисторов R13 и R5, R23 и R4 соединены параллельно, а между собой пары соединены последовательно, образуя с R12 параллельное соединение:

Rэ =

(R5R13 R5 + R13

R5R13

+ R4R23 R4 + R23

R4R23

) R12

(12)

R5 + R13 + R4 + R23 + R12

Итого получаем Rэ = 5,081 Ом.

Подставляя значения, полученные при вычислении (10) и (12), в (8),

получаем: I6 = 0,553A.

5) Показания вольтметра определим как разность потенциалов между точками 3 и 5:

UV = φ3 - φ5 = 9,165 В.

Рассчитаем выделенную источниками энергию в единицу времени по формуле:

n m

P1=) ±EiIi+) JiUi

(13)

i=1 i=1

Если направление тока I, протекающего через источник ЭДС Е совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь в единицу времени энергию, равную произведению Е·I и входит с положительным знаком в уравнение энергетического баланса. Если направление тока I не совпадает с направлением ЭДС, то перед произведением E·I ставим знак «–».

Вычисления дают: P1 = 6,442 Вт.

Рассчитаем выделившуюся на сопротивлениях мощность по формуле:

i i

P2 =) I2R

i=1

(14)

Вычисления дают P2 = 6,442 Вт.

P1 = P2 – уравнение энергетического баланса выполняется: мощность, выделяемая источниками напряжения численно равна тепловой мощности, выделяемой на сопротивлениях.

6) Строим потенциальную диаграмму, отмечая по оси ординат потенциалы точек в порядке 1-4-5-2-6-1, а по оси абсцисс суммарное сопротивление пройденного участка. Диаграмма показана на рисунке 8.