Динамика вращательного движения твердого тела

Момент Mсилы F относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

где l – кратчайшее расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина

где m – масса материальной точки и r – ее расстояние до оси вращения.

Моментом инерции твердого тела относительно его оси вращения

где интегрирование должно быть распределено навесь объем тела. Производя интегрирование можно получить момент инерции тела любой формы.

Момент инерции зависит от формы и размера тела, а также от расположения оси вращения:

· для тонкостенного цилиндра (кольцо) -

· сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра -

где R – радиус цилиндра и m – его масса.

· Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R ₁ и внешним R ₂ относительно оси цилиндра

· Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр,

· Момент инерции однородного стержня относительно оси z, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,

Если для какого-либо тела известен его момент инерции J ₀ относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельно первой, может быть найден по формуле Штейнера

где m – масса тела и d – расстояние от центра масс тела до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения (закон сохранения момента импульса) выражается уравнением

где M – момент сил, приложенных к телу, L=Jω – момент импульса тела (J – момент инерции тела, ω – его угловая скорость). Если J = const, то

где ε – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил M.

Кинетическая энергия вращающегося тела

где J –момент инерции тела и ω – его угловая скорость.

Кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение по плоскости без скольжения:

Работа постоянного момента сил, действующего на тело равна:

φ – полный угол поворота тела.

Индивидуальные задания по вариантам

Вариант 1

1. Точка двигалась в течение t ₁ = 15c со скоростью υ ₁=5 м/с, в течение t ₂=10 с со скоростью υ ₂ =8 м/с и в течение t ₃ = 6 с со скоростью v ₃=20 м/с. Определить среднюю путевую скорость < υ > точки.

2. Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt², где A=4 м/с, В =1 м/с². Определить момент времени, в который скорость υ точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

3. Диск радиусом r = 10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением =0,5 рад/с². Найти тангенциальное a , нормальное а_п и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

4. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью υ ₀=20 м/с (см.рис). По истечении, какого времени камень будет находиться на высоте h=15м? Найти скорость камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g=10 м/с².

5. Грузы, одинаковой массой 0,5 кг соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола. Коэффициент трения второго груза о стол 0,15. Пренебрегая трением в блоке, определите: 1) ускорение, с которым движутся грузы; 2) силу натяжения нити.

6. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием M=15 т. Орудие стреляет вверх под углом φ=60° к горизонту в направлении пути. С какой скоростью υ ₁ покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m =20 кг и он вылетает со скоростью υ ₂=600 м/с?

7. Поезд массой m = 500 т, двигаясь равнозамедленно, в течение времени t = 1 мин уменьшил свою скорость от υ ₁ = 40 км/ч до υ ₂ = 28 км/ч. Найти силу торможения F.

8. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,1 кг∙м², намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h ₀ = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию Е _к груза в момент удара о пол и силу натяжения нити T. Трением пренебречь.

9. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой n ₁ = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой n₂ будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J₁ = 2,94 до J₂ = 0,98 кг∙м²? Считать платформу однородным диском.

10. Обруч массой 1кг и радиусом 0,2 м вращается равномерно с частотой 3с^-1 относительно оси, проходящей через середину его радиуса перпендикулярно плоскости обруча. Определить момент импульса обруча.

Вариант 2

1. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью υ ₁=60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью υ ₂ =80 км/ч. Какова средняя путевая скорость автомобиля?

2. Шар массой m =10 кг, движущийся со скоростью υ ₁=4 м/с, сталкивается с шаром массой m =4 кг, скорость υ ₂ которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость и шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу.

3. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: x ₁ =A ₁ +B ₁t +C ₁ t², x ₂ =A ₂ +B ₂t +C ₂ t², где A ₁=10 м, A ₂=1 м, B ₁ =B ₂ =4 м/с, C₁= - 4 м/с², С₂= 0,5 м/с². В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v ₁ и v ₂ и ускорения a₁ и а₂ точек в этот момент.

4. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h=8,6 м два раза с интервалом t=3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

5. Диск радиусом R = 20 см вращается согласно уравнению φ =A+Bt+Сt³, где A =3 рад, В = -1 рад/с, С =0,1 рад/с³. Определить тангенциальное a нормальное а_n и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

6. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином 0,15. Определите: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время прохождения тела вдоль клина; 3) скорость тела у основания клина.

7. Шар движется со скоростью υ ₁ = 3 м/с и нагоняет другой шар, движущийся со скоростью υ ₂ = 1 м/с. Каково должно быть соотношение между массами m ₁ и m ₂ шаров, чтобы при абсолютно упругом ударе первый шар остановился?

8. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой n = 5 об/с, E _к =60 Дж. Найти момент импульса L вала.

9. Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость ω и линейную скорость υ будут иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша?

10. Маховое колесо, имеющее J=245кг·м², вращается частотой 20с^-1.В некоторый момент времени на него стала действовать тормозящая сила, в результате чего колесо через 1мин остановилось. Радиус колеса 0,2м. Найти величину тормозящего момента силы и число полных оборотов, сделанных колесом до остановки.

Вариант 3

1. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v ₁=2 м/с, половину оставшегося пути — со скоростью v ₂=8 м/с, а до конца пути – со скоростью 5 м/с. Определить среднюю путевую скорость тела.

2. Под действием постоянной силы 400 H, направленной вертикально вверх, груз массой m =20 кг был поднят на высоту h =15 м. Какой потенциальной энергией будет обладать поднятый груз? Какую работу совершит сила F?

3. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A+Bt+Ct²+Dt³ (А = 0,5м, В =0,1 м/с, C = 0,1м/с², D = 0,03 м/с³). Определите: 1) через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 2 м/с²; 2) среднее ускорение тела за этот промежуток времени.

4. Вертикально вверх с начальной скоростью v ₀=20 м/с брошен камень. Через t=1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

5. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N=50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от n₁= 4 с^-1 до n₂==6 с^-1. Определить угловое ускорение колеса.

6. Тело скользит по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 45˚. Пройдя путь s = 40 см, тело приобретает скорость υ = 2 м/с. Найти коэффициент трения тела о плоскость.

7. Шар массой m ₁ = 3 кг движется со скоростью υ = 4 м/с и ударяется о неподвижный шар такой же массы. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

8. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0.5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением e вращается стержень, если на него действует момент M = 100 мН∙м?

9. Маховое колесо, момент инерции которого J = 245 кг∙м², вращается с частотой n = 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения М_тр и время t, прошедшее от момента прекращения действия вращающего момента до остановки колеса.

10. Два груза массами 2 кг и 1 кг связаны невесомой нитью, перекинутой через подвижный цилиндрический блок массой 8 кг. Найти ускорение грузов и силы натяжения нитей. Трением пренебречь.

Вариант 4

1. Скорость течения реки 3 км/ч, а скорость движения лодки относительно воды 6 км/ч. Определить под каким углом относительно берега должна двигться лодка, чтобы проплыть попрек реки.

2. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: x ₁ =A ₁ t+B ₁t² +C ₁ t ³, x ₂ =A ₂ t+B ₂t² +C ₂ t ³, где A ₁=4 м/c, B ₁=8 м/с², C₁= - 16 м/с3, A ₂=2 м/с, B ₂ = - 4 м/с², С₂=1м/с³.В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v ₁ и v ₂ точек в этот момент.

3. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t = 0,1 с?

4. Диск вращается с угловым ускорением =-2 рад/с². Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от 240 мин^-1 до 90 мин^-1? Найти время t, в течение которого это произойдет.

5. Поезд массой 150 т двигался со скоростью 72 км/ч. При торможении до полной остановки поезд прошел путь 500 м. Определить силу сопротивления движению.

6. Тело массой m =1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью v ₀ = 20 м/с, через t=3 с упало на землю. Определить кинетическую энергию, которую имело тело в момент удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

7. Снаряд массой m ₁=100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью υ ₁ = 500 м/с, попадает в вагон с песком, масса которого m ₂ = 10 т, и застревает в нем. Какую скорость u получит вагон, если: а) вагон стоял неподвижно; б) вагон двигался со скоростью υ ₂ = 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?

8. Маховое колесо, момент инерции которого J = 245 кг∙м², вращается с частотой n = 20 об/с. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения М _тр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.

9. К ободу диска массой m = 5 кг приложена касательная сила F = 20 Н. Какую кинетическую энергию Е_к будет иметь диск через время t = 5 с после начала действия силы?

10. Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость угла поворота диска от времени дается уравнением . Вращению диска противодействует тормозящий момент сил трения 1Н·м. определить величину касательной силы, приложенной к ободу диска.

Вариант 5

1. Катер проходит расстояние между двумя пунктами на реке вниз по течению за 8 ч, а обратно – за 12 ч. За сколько часов катер прошел бы то же расстояние в стоячей воде?

2. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A-Bt+Ct²+Dt³ (А =6 м, В = 3 м/с, C = 2 м/с², D = 1 м/с³). Определите для интервала времени от 1с до 4 с: 1) среднюю скорость; 2) среднее ускорение.

3. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Через t=2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

4. Маховик вращался с угловой скоростью 62,8 рад/мин. Через сколько времени он остановился, если до остановки успел сделать 25 оборотов? Чему равно угловое ускорение маховика при торможении?

5. Какую силу надо приложить для подъема вагонетки массой 600 кг по эстакаде с углом наклона 20º, если коэффициент сопротивления движению равен 0,05?

6. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь s =5 м и приобрела скорость 2 м/с. Определить работу A силы, если масса т вагонетки равна 400 кг и коэффициент трения 0,01.

7. Трамвайный вагон массой m = 5 т идет по закруглению радиусом R = 128 м. Найти силу бокового давления F колес на рельсы при скорости движения υ = 9 км/ч.

8. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции J барабана, если известно, что груз опускается с ускорением a = 2 м/с².

9. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за время t = 1 мин частоту вращения от n₁ = 300 об/мин до n ₂ = 180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2 кг∙м². Найти угловое ускорение e колеса, момент сил торможения M, работу А сил торможения и число оборотов N, сделанных колесом за время t = 1 мин.

10. Какую работу надо совершить в течении 1 мин, чтобы увеличить частоту вращения маховика массой 50 кг, имеющего форму диска диаметром 1,5 м, от 0 до 50 с^-1? К ободу маховика приложена по касательной постоянная сила трения 1 Н.

Вариант 6

1. Найти среднюю скорость движения автомобиля, если известно, что ¼ часть времени он двигался со скоростью 16 м/с, а все остальное время со скоростью 8 м/с.

2. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью ₀. Определите ускорение тела, если за время 2 с оно прошло путь 16 м и его скорость ₀.

3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 21 м/с. Определить время между двумя моментами прохождения телом отметки половины максимальной высоты. Сопротивление воздуха не учитывать.

4. Колесо, вращаясь равноускоренно, сделало за 4 с от начала вращения 5 полных оборотов. Чему равно угловое ускорение колеса?

5. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α = 20º), действует, горизонтально направленная, сила F = 8 Н. Пренебрегая трением, определите: 1) ускорение тела; 2) силу, с которой тело давит на плоскость.

6. Вагон массой m = 20 т движется равнозамедленно, имея начальную скорость υ ₀ = 54 км/ч и ускорение a = 0,3 м/с². Какая сила торможения F действует на вагон? Через какое время t вагон остановится? Какое расстояние s вагон пройдет до остановки?

7. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули m ₁ = 5 г, масса шара m ₂ = 0,5 кг. Скорость пули υ ₁ = 500 м/с. При каком предельном расстоянии l от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности?

8. Обруч и диск одинаковой массы m ₁ = m ₂ катятся без скольжения с одной и той же скоростью υ. Кинетическая энергия обруча E _к1 = 40 Дж. Найти кинетическую энергию E _к2 диска.

9. Человек массой m₀ = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r = 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы υ ₀ = = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

10. Чему равен момент инерции цилиндра с диаметром основания 50 см и высотой 120 см относительно оси, совпадающей с ее образующей? (материала цилиндра – медь)

Вариант 7

1. Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью 12 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью 5 км/ч. Определить среднюю скорость движения студента на всем пути.

2. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом 3 м задается уравнением s = At²+Bt (А = 0,4 м/с, В = 0,1 м/с). Определите для момента времени 1 с после начала движения ускорение: 1) нормальное; 2) тангенциальное; 3) полное.

3. Сколько времени падало тело, если последнюю четверть пути, оно прошло за 0,5 с? С какой высоты оно упало? Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Колесо, вращаясь равноускоренно, за 10 с сделало 20 оборотов, и при этом угловая скорость возросла в 3 раза. Чему равно угловое ускорение?

5. Тело А массой 2 кг находится на горизонтальном столе и соединено нитями посредством блоков с телами В и С массами 0,5 кг и 0,3 кг (см.рис.). Считая нить и блок невесомыми, и пренебрегая силами трения, определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела и разность сил натяжения нитей.

6. Парашютист массой т = 70 кг совершает затяжной прыжок и через t = 14 с имеет скорость 60 м/с. Считая движение парашютиста равноускоренным, найти работу по преодолению сопротивления воздуха.

8. Шкив радиусом R = 0,2 м и массой m = 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения, Т = 15 Н. Какую частоту вращения n будет иметь шкив через время t = 10 с после начала движения? Шкив считать однородным диском. Трением пренебречь.

9. Шар диаметром D = 6 см и массой m = 0,25 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения n = 4 об/с. Найти кинетическую энергию шара.

10. Найти момент инерции J и момент импульса L земного шара относительно оси вращения.

Вариант 8

1. Определить продолжительность полета самолета между двумя пунктами, расположёнными на расстоянии 1000 км, если скорость встречного ветра v₁ = 25 м/с, а средняя скорость самолета относительно воздуха v₂ = 250 м/с. Чему равно время полета самолета при попутном ветре?

2. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону , где i,j – орты осей х и у. определите для момента времени 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.

3. С высоты 900 м падает тело без начальной скорости. Одновременно с высот 1100 м падает другое тело с некоторой начальной скоростью. Оба тела достигают земли в один и тот же момент времени. Найти начальную скорость второго тела. Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Колесо, вращаясь без начальной скорости равноускоренно с угловым ускорением 2 рад/с², сделало 10 оборотов. Чему равна линейная скорость на ободе колеса, если его диаметр 40 см?

5. Камень брошен вверх под углом j=60° к плоскости горизонта. Кинетическая энергия Е_0к камня в начальный момент времени равна 20 Дж. Определить кинетическую Е_к и потенциальную энергии камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

6. В установке углы α и β с горизонтом соответственно равны 30 и 45, массы тел 0,45 кг и 0,5 кг (см.рис.). Считая нить и блок невесомыми, и пренебрегая силами трения, определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела, если тело 2 опускается.

7. Тело массой m ₁ = 1 кг, движущееся горизонтально со скоростью υ₀= 1м/с, догоняет второе тело массой m ₂ = 0,5 кг и абсолютно неупруго соударяется с ним. Какую скорость u получат тела, если: а) второе тело стояло неподвижно; б) второе тело двигалось со скоростью υ ₂ = 0,5 м/с в том же направлении, что и первое тело; в) второе тело двигалось со скоростью υ ₂ = 0,5 м/с в направлении, противоположном направлению движения первого тела.

8. К ободу колеса радиусом 0,5 м и массой m = 50 кг приложена касательная сила F = 100 Н. Найти угловое ускорение e колеса. Через какое время t после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения n = 100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.

9. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением e = 0,5 рад/с² и через время t ₁ = 15 с после начала движения приобретает момент импульса L = 73,5 кг∙м²/с. Найти кинетическую энергию E _к колеса через время t₂ = 20 с после начала движения.

10. Какую работу нужно совершить, чтобы маховику в виде диска массой 100 кг и радиусом 0,4 м сообщить частоту вращения п = 10 об/с, если он находился в состоянии покоя?

Вариант 9

1. Моторная лодка плывет по реке из одного пункта в другой и обратно. Во сколько раз время движения лодки против течения больше времени движения по течению, если скорость течения v₁ =2,0 м/с, а скорость лодки относительно воды v₂ = = 10 м/с?

2. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону +2k, где i,j,k – орты осей х, у и z. Определите вектор: 1) скорости; 2) ускорения; 3) для момента времени 2 с модуль скорости.

3. Тело свободно падает с высоты 40 м без начальной скорости. На какой высоте его скорость будет вдвое меньше, чем в момент падения на землю?

4. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за 5 с уменьшило свою частоту с 20 с^-1 в 4 раза. Чему равен полный угол, на который успело повернуться колесо за это время?

5. Два тела связаны невесомой нитью, перекинутой через блок, закрепленной на вершине наклонной плоскости, с углом наклона 30°(см.рис.). На наклонной плоскости находится тело1 массой 4 кг, а масса свешивающегося тела2 6 кг. Определить модуль ускорения тела1, если коэффициент трения равен .

6. Какую работу надо совершить, чтобы заставить движущееся тело массой 2 кг: а) увеличить скорость от 2 до 5 м/с; б) остановиться при начальной скорости 8 м/с?

7. Из орудия массой m ₁ = 5 т вылетает снаряд массой m ₂ = 100 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете E _к2 = 7,5 МДж. Какую кинетическую энергию E _к1 получает орудие вследствие отдачи?

8. Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости ω вращения диска от времени t дается уравнением ω = A + Bt, где В = 8 рад/с². Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

9. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью υ = 7,2 км/ч. На какое расстояние s может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути.

10. Какой путь пройдет диск, катящийся без скольжения? Диск поднимается вверх по наклонной плоскости с углом наклона 30°, при этом ему сообщена начальная скорость 7,0 м/с, которая параллельна наклонной плоскости?

Вариант 10

1. Определить путь, проходимый частицей, которая движется по прямолинейной траектории в течение 10 с, если ее скорость изменяется по закону v = 30 + 2 t. В момент времени t _о = 0с S₀ = 0.

2. Поезд движется по закруглению радиусом 100 м, причем зависимость его координаты от времени дается уравнением x = Ct³, где C = 10 см/с³ – постоянная величина. Найти полное ускорение поезда в тот момент, когда его скорость 54 км/ч.

3. Тело падает с высоты 1 км с нулевой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какое время понадобиться телу для прохождения: 1) первых 10 м пути; 2) последних 10 м пути.

4. Колесо, вращаясь равноускоренно, увеличило частоту вращения с 120 об/мин до 480 об/мин за 36 мин. Сколько оборотов сделало колесо за это время?

5. Вагон массой 1 т спускается по канатной железной дороге с уклоном 15º к горизонту. Принимая коэффициент трения 0,05, определите силу натяжения каната при торможении вагона в конце спуска, если скорость вагона перед торможением 2,5 м/с, а время торможения 6 с.

6. Найти работу А подъема груза по наклонной плоскости длиной l =2 м, если масса т груза равна 100 кг, угол наклона φ =30°, коэффициент трения f =0,1 и груз движется с ускорением а =1 м/с².

7. Камень массой m = 1 кг брошен вертикально вверх с начальной скоростью υ = 10 м/с. Построить график зависимости от расстояния h кинетической Е _к, потенциальной E_p и полной E энергий камня.

8. Маховик, момент инерции которого J = 63,6 кг∙м², вращается с угловой скоростью ω = 31,4 рад/с. Найти момент сил торможения M, под действием которого маховик останавливается через время t = 20 с. Маховик считать однородным диском.

9. Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 об. Работа сил торможения A = 44,4 Дж. Найти момент инерции J вентилятора и момент сил торможения M.

10. Мальчик запустил обруч m=0,5 кг вверх по горке со скоростью 2 м/с. При этом обруч вкатился по горке на расстояние 3м. Уклон горки составляет 100 м пути. Насколько при этом увеличилась внутренняя энергия системы этих тел? Радиус обруча 0,5 м.

Вариант 11

1. Точка двигалась в течение t ₁ = 5c со скоростью v ₁=5 м/с, в течение t ₂=1 с со скоростью v ₂ =10 м/с и в течение t ₃ =6 с со скоростью v ₃=25 м/с. Определить среднюю путевую скорость точки.

2. Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt², где A = 8 м/с, В= - 0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

3. С башни брошен камень в горизонтальном направлении с начальной скоростью 40 м/с. Какова скорость камня через 3 с после начала движения? Какой угол образует вектор скорости камня с плоскостью горизонта в этот момент?

4. Диск вращается относительно неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением , A=0,1 рад/с². Определить полное ускорение точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот момент равна 0,4 м/с.

5. Человек массой 60 кг прыгает с неподвижной тележки, стоящей на рельсах, вдоль рельс. При этом тележка, масса которой 100 кг, откатывается в противоположном направлении на расстояние 2 м. Зная, что коэффициент трения тележки о рельсы равен 0,1, найти энергию, затраченную человеком при прыжке.

6. Поезд массой m = 500 т, двигаясь равнозамедленно, в течение времени t = 1 мин уменьшил свою скорость от υ ₁ = 40 км/ч до υ ₂ = 28 км/ч. Найти силу торможения F.

7. Шар массой m ₁ = 2 кг движется со скоростью υ ₁ = 3 м/с и нагоняет шар массой m ₂ = 8 кг движущийся со скоростью υ ₂ = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорости u ₁ и u ₂ шаров после удара, если удар: а) абсолютно неупругий; б) абсолютно упругий.

10. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, имеющие одинаковые массы и радиусы, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

Вариант 12

1. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v ₁=60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью v ₂ =80 км/ч. Какова средняя путевая скорость автомобиля?

2. Шар массой m =10 кг, движущийся со скоростью v ₁=4 м/с, сталкивается с шаром массой m =4 кг, скорость v ₂ которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость и шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг друг.

3. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s = A+Bt+Ct², где А = 3 м, В = 2 м/с и С = 1 м/с². Найти ускорение а и среднюю скорость ‹υ› тела за первую, вторую и третью секунды его движений.

4. Тело брошено под углом 45° к горизонту. Определить наибольшую высоту подъема и дальность полета, если начальная скорость тела v₀ = 20 м/с.

5. Диск радиусом r = 20 см вращается согласно уравнению φ =A+B t+Сt³, где A=3 рад, В= -1 рад/с, С=0,1 рад/с³. Определить тангенциальное a нормальное а_n и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

6. Автомобиль, трогаясь с места, движется с ускорением a = 0,5 м/с². Через время t = 12 с после начала движения мотор выключается, и трамвай движется до остановки равнозамедленно. Коэффициент трения на всем пути 0,01. Найти наибольшую скорость υ и время t движения трамвая. Каково его ускорение a при равнозамедленном движении? Какое расстояние s пройдет трамвай за время движения?

7. Человек, масса которого 70 кг, прыгает с неподвижной тележки со скоростью 7 м/с. Определить силу трения тележки о землю, если тележка после толчка остановилась через 5 с. Перед прыжком тележка была неподвижна относительно земли.

8. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой n = 5 об/с, E _к =60 Дж. Найти момент импульса L вала.

Вариант 13

1. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v ₁=6 м/с, вторую — со скоростью v ₂=9 м/с. Определить среднюю путевую скорость.

2. Под действием постоянной силы F=400 H, направленной вертикально вверх, груз массой m =20 кг был поднят на высоту h =15 м. Какой потенциальной энергией П будет обладать поднятый груз? Какую работу А совершит сила F?

3. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A+Bt+Ct²+Dt³ (C = 0,1м/с², D = 0,03 м/с³). Определите: 1) через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 2 м/с²; 2) среднее ускорение тела за этот промежуток времени.

4. Тяжелое тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 12 м/с. (рис) Определить продолжительность полета тела до точки А и до точки В; максимальную высоту, которой достигнет тело, дальность полета тела. Сопротивление воздуха не учитывать.

5. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N=50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от n₁= 4 с^-1 до n₂=6 с^-1. Определить угловое ускорение колеса.

6. Тело скользит по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 45˚. Пройдя путь s = 40 см, тело приобретает скорость υ = 1,5 м/с. Найти коэффициент трения тела о плоскость.

7. Шар массой 20 г, движущийся горизонтально с некоторой скоростью υ столкнулся с неподвижным шаром массой 40 г. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

8. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением e вращается стержень, если на него действует момент M = 100 мН∙м?

10. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого 50 кг ^. м² и радиус 20 см. Момент сил трения вращающегося блока 98,1 Н ^. м. Найти разность сил натяжения нити Т₁-Т₂ по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением 2,36 рад/с².

Вариант 14

1. Лодка движется перпендикулярно к берегу со скоростью 7,2 км/ч. Течение относит ее на расстояние 150 м вниз по реке. Найти скорость течения реки и время, затраченное на переправу через реку шириной 500 м.

2. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: x ₁ =A ₁ t+B ₁t² +C ₁ t ³, x ₂ =A ₂ t+B ₂t² +C ₂ t ³, где A ₁=4 м/c, B ₁=1 м/с², C₁=-6 м/с3, A ₂=2 м/с, B ₂ = - 4 м/с², С₂=1м/с³.В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v ₁ и v ₂ точек в этот момент.

3. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость υ ₁ точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости υ ₂ точки, лежащей на расстоянии r = 5 см ближе к оси колеса.

4. Тяжелое тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 12 м/с (см.рис). Найти в момент приземления тела, следующие величины: скорость и угол падения тела, тангенциальное и нормальное ускорения тела и радиус кривизны траектории. Сопротивление воздуха не учитывать.

5. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью 20 м/с, остановилась через 40 с. Найти коэффициент трения шайбы о лед.

6. Тело массой m =1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью v ₀ = 20 м/с, через t=3 с упало на землю. Определить кинетическую энергию Т, которую имело тело в момент удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

7. Груз массой 700 кг падает с высоты 5 м для забивки сваи массой 300 кг. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт на глубину 4 см. Удар между грузом и сваей считать абсолютно неупругим.

10. Уравнение вращения твердого тела . Определить частоту вращения твердого тела, угловую скорость и ускорение через 10 с после начала вращения.

Вариант 15

2. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A-Bt+Ct²+Dt³ (А =5 м, В = 8 м/с, C = 4 м/с², D = 1 м/с³). Определите для интервала времени от 1с до 4 с: 1) среднюю скорость; 2) среднее ускорение.

3. Камень, брошенный горизонтально, через время t = 0,50 c после начала движения имел скорость υ, в 1,5 раза большую скорости υ_x в момент бросания. С какой скоростью υ_x брошен камень?

5. Тело соскальзывает по доске, наклоненной под углом 30⁰ к горизонту, с некоторым ускорением. Когда угол наклона увеличили до 60⁰, ускорение тела увеличилось в три раза. Определить коэффициент трения между телом и доской.

6. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой 5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью 1 м/с. Масса конькобежца 60 кг. Определить работу, совершенную конькобежцем при бросании гири.

9. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью 10 с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.

Вариант 16

1. Половину пути тело движется со скоростью 1 м/с, а оставшийся путь – со скоростью 3 м/с. Определить среднюю скорость движения.

2. Скорость камня, брошенного с вышки, изменяется по закону (м/с). Определить скорость, тангенциальное и нормальное ускорения камня в конце четвертой секунды после начала движения.

3. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью v ₀=10 м/с. Высота балкона над поверхностью земли h=12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю путевую скорость с момента бросания до момента падения на землю.

4. Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 об. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

5. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m ₁=5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью v ₂=1 м/с. Масса конькобежца m ₂=60 кг. Определить работу A, совершенную конькобежцем при бросании гири.

9. Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n = 10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?.

10. Чему равен момент инерции цилиндра с диаметром основания 50см и высотой 120см относительно оси, совпадающей с ее образующей? материала цилиндра серебро.

Вариант 17

2. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением a _τ. Найти нормальное ускорение a _n точки через время t = 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки υ = 10 см/с.

3. Сколько времени падало тело, если последнюю четверть пути оно прошло за 0,5 с? С какой высоты оно упало? Сопротивлением воздуха пренебречь.

5. Ленточный транспортер длиной 3 м для подъема грузов может менять угол наклона ленты, на которую кладут грузы. Максимальная высота, на которую может равномерно поднимать грузы этот транспортер, 1,8 м. Найти коэффициент трения между грузами и лентой.

6. Тело массой 5 кг ударяется о неподвижное тело массой 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической энергией 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найти кинетическую энергию первого тела до и после удара.

7. Найти силу гравитационного взаимодействия между двумя протонами, находящимися на расстоянии 10^-10 м друг от друга.

9. К катящемуся по горизонтальной поверхности шару массой 1 кг приложили силу 1 Н и остановили его. Путь торможения составил 1 м. Определить скорость шара до начала торможения.

10. Блок с моментом инерции 0,01 кг·м² укреплен на вершине наклонной плоскости. Гири массами 3 кг и 4 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Угол при основании наклонной плоскости 30°. Определить натяжения нитей, если гиря массой m₂ опускается равноускоренно. Блок представляет собой однородный цилиндр радиусом 0,1 м. трением пренебречь.

Вариант 18

1. Одну треть своего пути пешеход прошел со скоростью 4 м/с, а остальную часть – со скоростью 3м/с. Определить среднюю скорость движения.

2. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением s = A – Bt + Ct², где В = 2 м/с и С = 1 м/с². Найти линейную скорость υ точки, ее тангенциальное а _τ, нормальное а _n и полное а ускорения через время t = 3 с после начала движения, если известно, что при t′ = 2 с нормальное ускорение точки a′_n = 0,500 м/с².

3. С высоты 550 м падает тело с начальной скоростью 10 м/с. Одновременно с высот 950 м падает другое тело с некоторой начальной скоростью. Оба тела достигают земли в один и тот же момент времени. Найти начальную скорость второго тела. Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Колесо, вращаясь без начальной скорости равноускоренно с угловым ускорением 12 рад/с², сделало 20 оборотов. Чему равна линейная скорость на ободе колеса, если его диаметр 80 см?

5. Два шара массами 3 кг и 2 кг подвешены на нитях длиной 1 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, а затем большой шар отклонили на угол 60° и отпустили. Считая удар упругим, определить скорость второго шара после удара.

6. Телега массой m = 50 кг движется равнозамедленно, имея начальную скорость υ ₀ = 15 км/ч и ускорение a = 0,2 м/с². Какая сила торможения действует на телегу? Через какое время t телега остановится? Какое расстояние он пройдет до остановки?

7. Снаряд массой 20 кг, летевший горизонтально, попадает в платформу с песком массой 104 кг и застревает в песке. С какой скоростью летел снаряд, если платформа начала двигаться со скоростью 1 м/с?

9. Сплошной цилиндр скатывается с наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 22°. Найти длину наклонной плоскости, если его скорость в конце наклонной плоскости равна 7 м/с, а коэффициент трения равен 0,2.

10. Горизонтальная платформа массой 100кг вращается вокруг своей оси, проходящей через центр платформы, делая 10об/мин. Человек массой 60 кг стоит на ее краю. С какой частотой станет вращаться платформа, если человек перейдет в его центр? Считать платформу круглым однородным диском, а человек - материальной точкой.

Вариант 19

1. Лодка проходит расстояние между двумя пунктами на реке вниз по течению за 5 ч, а обратно – за 9 ч. За сколько часов катер прошел бы то же расстояние в стоячей воде?

2. Во сколько раз нормальное ускорение a_n точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения a_τ для того момента, когда вектор полного ускорения точки составляет угол φ = 30˚ с вектором ее линейной скорости?

4. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом 3 м задается уравнением S = 0,4t²+0,1t м. Определить для момента времени t=1 с после начала движения нормальное, тангенциальное и полное ускорения тела.

5. Санки съезжают без начальной скорости с горки высотой 5 м по кратчайшему пути и приобретают у подножия горки скорость 6 м/с. Какую минимальную работу необходимо затратить, чтобы втащить санки массой 7 кг на горку от ее подножия, прикладывая силу вдоль плоской поверхности горки?

6. Тело скользит по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 45˚. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s = Ct², где С = 1,73 м/с². Найти коэффициент трения тела о плоскость.

9. Однородный шар скатывается без скольжения с плоскости, наклоненной под углом 15° к горизонту. За какое время он пройдет путь 2 м, и какой будет его скорость в конце пути?

10. На барабан радиусом 0,2м, момент инерции которого 0,1кг·м², намотан шнур, к которому привязан груз массой 0,5кг. До начала вращения высота груза над полом 1 м. НайтиЕ_кин груза в момент удара о пол. Движение груза считать равноускоренным.

Вариант 20

1. Скорость катера относительно воды равна 3 м/с, а скорость течения реки 2 м/с. Во сколько раз время проезда некоторого расстояния по реке туда и обратно больше времени проезда этого же расстояния туда и обратно по озеру?

2. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением φ = A+Bt+Ct²+Dt³, где В = 1 рад/с, С = =1 рад/с² и D = 1 рад/с³. Найти радиус R колеса, если известно, что к концу второй секунды движения для точек, лежащих на ободе колеса, нормальное ускорение а_n = 3,46∙10² м/с².

3. Камень падает с высоты 3 км с нулевой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какое время понадобиться телу для прохождения: 1) первых 20 м пути; 2) последних 20 м пути.

4. Диск, вращаясь вокруг оси, проходящей через его середину, делает 180 об/мин. Определить линейную скорость вращения точек на внешней окружности диска и его радиус, если известно, что точки, лежащие ближе к оси вращения на 8 см, имеют скорость 2,8 м/с.

6. Найти работу А подъема груза по наклонной плоскости длиной l =2 м, если масса т груза равна 100 кг, угол наклона φ=30°, коэффициент трения f =0,1 и груз движется с ускорением а=1 м/с².

7. Начальная скорость снаряда, выпущенного из пушки вертикально вверх, равна 500 м/c. В точке максимального подъема снаряд разорвался на два осколка. Первый упал на землю вблизи точки выстрела, имея скорость в раз больше начальной скорости снаряда, а второй в этом же месте – через 100 с после разрыва. Чему равно отношение массы первого осколка к массе второго?

8. Маховик и легкий шкив насажены на горизонтальную ось. К шкиву с помощью нити привязан груз, который, опускаясь равноускоренно, прошел 2 м за 4 с. Момент инерции маховика 0,05 кг/м². Определить массу груза, если радиус шкива 6 см. Массой шкива пренебречь.

10. Мальчик запустил обруч m=0,5кг вверх по горке со скоростью 2м/с. При этом обруч вкатился по горке на расстояние 3м. Уклон горки составляет 100м пути. Насколько при этом увеличилась внутренняя энергия системы этих тел? Радиус обруча 0,5м.

Вариант 21

1. Скорость поезда, при торможении двигающегося равнозамедленно, уменьшается в течении 1 мин от 40 до 28 км/ч. Найти ускорение поезда и расстояние, пройденное им за время торможения.

2. Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt², где A =4 м/с, В=— 0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

3. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v ₀==20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на высоте h=15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g=10 м/с².

4. Диск радиусом r = 10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением =0,5 рад/с². Найти тангенциальное a , нормальное а_п и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

5. Найти работу, которую надо совершить, чтобы сжать пружину на 20 см, если известно, что сила пропорционально сжатию l и жесткости пружины 2,94 кН/м.

6. Тело скользит по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 25˚. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s = Ct², где С = 4 м/с². Найти коэффициент трения k тела о плоскость.

7. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомой нити, и застревает в нем. Масса пули 4,2 г, масса шара 300 г. Скорость пули 460 м/с. При каком предельном расстоянии от центра шара до точки подвеса нити шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности.

9. Сплошной цилиндр скатывается с наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 15°. Найти длину наклонной плоскости, если его скорость в конце наклонной плоскости равна 7 м/с, а коэффициент трения равен 0,3.

Вариант 22

1. Мотоциклист первую четверть пути двигалось со скоростью v ₁=30 км/ч, остальную часть — со скоростью v ₂=55 км/ч. Определить среднюю скорость пути.