ИЗУЧЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕРФЕРОМЕТРА МАЙКЕЛЬСОНА ЗАВИСИМОСТИ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ВОЗДУХА ОТ ДАВЛЕНИЯ
Цель работы - экспериментальное подтверждение линейной зависимости показателя преломления газов от давления; определение показателя преломления воздуха в условиях опыта.
Теоретические основы работы
Классическая электронная теория дисперсии дает для газов при условии невысокого давления и при малых значениях затухания колебаний электронов следующее выражение для квадрата показателя преломления:
(1)
где e – заряд электрона; m – масса электрона; n 0 – концентрация молекул газа; w0 – частота собственных колебаний оптических электронов; w - частота световой волны; e0 – диэлектрическая постоянная. Поскольку при указанных условиях показатель преломления газов близок к единице, то
и выражение (1) можно преобразовать таким образом:
(2)
Концентрация молекул может быть выражена через температуру и давление газа
и выражение (2) для показателя преломления газов может быть записано так
(3)
Следовательно, показатель преломления газов возрастает с ростом давления и уменьшается с ростом температуры. При постоянной температуре для данной частоты световой волны зависимость показателя преломления от давления можно представить в виде
(4)
где B (w, T) – константа, зависящая от частоты или длины волны света и температуры. Из выражения (4) следует, что при прочих неизменных условиях показатель преломления газов линейно зависит от давления.
Измерение показателя преломления газов, жидкостей и прозрачных твердых тел с высокой точностью возможно интерферометрическим методом.
В лабораторной работе для измерения показателя преломления воздуха используется интерферометр Майкельсона, отличающийся от классического тем, что оба его зеркала неподвижны. Принципиальная оптическая схема интерферометра приведена на рис. 1. Пучок света от источника И попадает на светоделительный кубик СД, где он расщепляется на два луча 1 и 2. Луч 1, продолжая и после прохождения через кубик СД распространяться в прежнем направлении, попадает на зеркало З 1. После отражения от этого зеркала и второго отражения в светоделительном кубике СД он распространяется по направлению наблюдения Н. Луч 2 после выхода из светоделительного кубика достигает зеркала 2, отражается от него 
назад и через светоделительный кубик идет также по направлению наблюдения Н.
Легко видеть, что световые волны в лучах 1 и 2, распространяющиеся по направлению наблюдения Н, будут иметь между собой разность фаз, при условии, что оптические длины плеч интерферометра не равны друг другу. Плечами интерферометра принято называть расстояния от светоделительного элемента до зеркал прибора. При соблюдении условий временной и пространственной когерентности лучей 
и 
возможно возникновение интерференционной картины в приборе Майкельсона. Эту картину можно наблюдать на экране, если поместить собирающую линзу на пути лучей, распространяющихся в направлении наблюдения.
Заметим, что светоделительный кубик не вносит дополнительной оптической разности хода, поскольку от точки разделения до точки встречи оба луча проходят в стекле кубика одинаковое расстояние.
При освещении интерферометра параллельным пучком монохроматического света наблюдаемая интерференционная картина представляет собой полосы равной толщины, цвет которых определяется длиной волны излучения. На рис. 2 представлена оптическая схема, поясняющая возникновение полос равной толщины.
Если плоскости зеркал З 1 и З 2 не перпендикулярны друг другу (а именно такой случай реализуется на практике), то ход луча, отраженного от зеркала З 1 таков, что он кажется отраженным от изображения этого зеркала(З 1) в полупрозрачной поверхности П светоделительного кубика. Поверхности зеркала З 2 и изображения первого зеркала (З 1) образуют двугранный угол. Другими словами, между зеркалами возникает воздушный клин, толщина которого определяется наклоном зеркал и разностью оптических длин плеч интерферометра. Клин позволяет реализовать условия, необходимые для наблюдения интерференционной картины полос равной толщины – в нашем случае полос, параллельных ребру клина. Эта картина локализуется на поверхности клина, т. е. на «поверхности зеркал» или вблизи них, в зависимости от толщины клина. Наблюдение этой интерференционной картины осуществляется либо глазом, аккомодированным на поверхность клина, либо через оптическую систему, дающую изображение на экране.
Для определения зависимости показателя преломления воздуха от его давления в плечо 2 интерферометра вводят кювету К – металлический цилиндр, торцы которого герметически закрыты стеклянными пластинками (см. рис. 3). Расстояние между внутренними поверхностями стекол является длиной кюветы l. Будем считать, что плечи интерферометра (расстояния от зеркал до центра светоделительного кубика) равны. Если обозначить показатель преломления воздуха при атмосферном давлении n ат, а показатель преломления воздуха при давлении в кювете n к, толщину стеклянных пластин d, а показатель преломления стекла n ст, то оптическая разность хода интерферирующих волн Dопт может быть записана так
Запишем оптическую разность хода для двух значений давления воздуха в кювете:
Тогда изменение оптической разности хода при изменении давления воздуха в кювете
(5)
зависит только от изменения показателя преломления воздуха.
При плавном изменении давления в кювете, а, значит, и оптической разности хода в наблюдаемой интерференционной картине происходит смещение полос. Число сместившихся полос D m определяется условием
(6)
где l - длина волны света, освещающего интерферометр.
Из выражений (5) и (6) получим
откуда
(7)
Таким образом, интерферометр Майкельсона позволяет измерить разность показателей преломления воздуха D n, соответствующую разности давлений D p в кювете:
, (8)
где n ат – показатель преломления при атмосферном давлении p ат; n к – показатель преломления при избыточном давлении воздуха в кювете p к; l - длина волны лазерного излучения в вакууме; l – длина кюветы, Δ m – число сместившихся интерференционных полос при изменении давления в кювете от p к до p ат.
В тоже время из формулы (4) следует, что для данного спектрального состава излучения при постоянной температуре изменение показателя преломления воздуха прямо пропорционально изменению давления
(9)
Определим по формуле (8) значения D n для различных разностей давлений и построим график D n = f (D p). Из формулы (9) видно, что эта зависимость линейная и описывается уравнением прямой, выходящей из начала координат
y = Bx,
где y = D n; x = D p. Угловым коэффициентом в уравнении прямой является коэффициент B (T), входящий в формулу (9). Угловой коэффициент можно определить графически или с помощью аналитической аппроксимации. Теперь, зная значение коэффициента В, по формуле (4) можно рассчитать значение показателя преломления при любом заданном давлении.
Найденное экспериментально значение показателя преломления воздуха в условиях опыта можно сравнить с теоретическим значением, которое находится из следующего соотношения
, (10)
где n 0 = 1,000292– значение показателя преломления для желтой линии натрия (589,3 нм) при нормальных условиях: p 0 = 760 мм рт ст; T 0 = 273,15º К.
