Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Кафедра Сопротивления
материалов и основ теории
упругости
Построение эпюр внутренних силовых
факторов при плоском изгибе балки
Методические указания
для выполнения расчетно-графического задания
студентами специальности: 1203, 1205, 1207,
1208, 1210, 1211
Казань
Излагается основной порядок построения эпюр внутренних силовых факторов при плоском изгибе различных балок, статически определимых рам, плоских криволинейных брусьев, очерченных по радиусу, при различных условиях их закрепления и нагружения. Даны числовые примеры построения эпюр.
Составитель: Мартышев В.П., к.т.н., доцент кафедры
сопротивления материалов и основ теории
упругости, КГАСУ
Рецензент: Паймушин В.Н., д.ф-м.н., профессор
Зав. Кафедрой сопротивления материалов,
КАИ
Исходные данные к выполнению расчетно-графического задания выбираются из "Заданий и методических указаний к расчетно-графическим работам по курсу сопротивления материалов" согласно шифру, выданному каждому студенту.
Вводная часть
Будем рассматривать изгиб в вертикальной плоскости 
, т.е. изгиб относительно оси 
.
В поперечных сечениях бруса в этом случае могут возникнуть следующие внутренние усилия: 
продольная сила, 
перерезывающая сила, 
изгибающий момент. Как и в общем случае деформирования бруса в пространстве внутренние силовые факторы при плоском изгибе определяются методом сечений [1]. На торце левойотсеченной части 
, если их направления совпадают с положительными направлениями осей 
и 
, 
, если его вращательный эффект с положительного конца оси виден направленным против хода часовой стрелки. На торце правой части внутренние силовые факторы равны по величине и противоположно направлены внутреннимусилиям на торце левой отсеченной части.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внутренние силовые факторы, действующие на торце левой отсеченной части, определяются через внешние силы, действующие на левую отсеченную часть по известным зависимостям [1], следующим из условий равновесия левой отсеченной части:
(1)
На торце правой отсеченной части внутренние усилия определяются через внешние нагрузки, действующие на эту часть:
(2)
В формулах (1) и (2) составляющие внешних нагрузок 
и моменты от них относительно оси (которую при этом располагают в исследуемом сечении бруса) следует суммировать сучетом знаков. Для этого как и в [1] условимся о знаках:
1) положительные направления составляющих внешней нагрузки 
и 
совпадают с направлениями осей и ;
2) моменты от внешней нагрузки относительно оси (расположенной в данном сечении бруса) положительны, если их вращательные эффекты направлены против хода часовой стрелки (ось всегда направляем «на нас»). Эти правила справедливы как для левой отсеченной части бруса, так и для правой.
Если вычислить внутренние силовые факторы в ряде сечений по длине бруса и графически изобразить закон их изменения по длине бруса, получим эпюры 
и 
.
При определении внутренних усилий в брусе наряду с внешними нагрузками необходимо учитывать в большинстве задач и опорные реакции.
Неподвижность балки в вертикальной плоскости обеспечивают три опорные реакции. Для их определения можно составить три уравнения равновесия балки. Эти уравнения желательно составлять так, чтобы в каждое из них входила только одна неизвестная опорная реакция. Обычно составляют два уравнения моментов относительно оси , проходящей через опоры и сумму проекций на ось всех сил, действующих на балку. Из этих уравнений определяют три опорные реакции. Далее обязательно надо сделать проверку опорных реакций. Например, составляют сумму проекций всех сил и опорных реакций на ось , т.е. 
. В некоторых задачах, например, для бруса с ломаной или криволинейной осью, можно составить другие, более удобные для данной задачи уравнения равновесия бруса, чтобы и в них входило только по одной неизвестной опорной реакции.
Внутренние силовые факторы и в брусе с прямолинейной осью при изгибе в плоскости связаны следующими дифференциальными зависимостями [1]:
(3)
Здесь 
распределенная (погонная) нагрузка вдоль оси , 
распределенная (погонная) нагрузка вдоль оси .
Для бруса с криволинейной осью, очерченной по радиусу 
, внутренние силовые факторы будем обозначать 
. Они связаны следующими дифференциальными соотношениями [1]:
|  (4)
где  криволинейная координата, отсчитываемая вдоль оси бруса.
Ниже будет показано, что диф-ференциальные зависимости (3) и (4) можно использовать для более точного
|
построения эпюр внутренних силовых факторов и проверки этих эпюр.
Основной порядок построения эпюр внутренних силовых факторов
1. Из уравнений равновесия бруса в целом определяются все необходимые опорные реакции. Обязательно делается проверка величин опорных реакций.
2. В соответствии с характером конструкции бруса и его нагружения брус делится на участки (в пределах каждого участка конструкция и нагрузка не должны резко изменяться). Эпюры внутренних силовых факторов строятся по участкам.
3. Мысленно разрезается брус на участке и рассматривается та его часть, где меньше внешних нагрузок. Сечение разреза определяется текущей координатой (задавая границы ее изменения в пределах участка). Рассматривая выбранную отсеченную часть бруса и пользуясь формулами (1) и (2), записывают аналитические выражения для внутренних и в функции от текущей координаты участка.
4. Задаваясь несколькими значениями текущей координаты в пределах участка, вычисляют по полученным формулам величины и знаки и в этих сечениях бруса. Положительные значения внутренних и откладываем в масштабе вниз от оси бруса (по оси ), отрицательные вверх.
5. Согласно дифференциальным зависимостям (3) и (4) выясняем наличие в пределах участка особых сечений, где внутренние силовые факторы принимают экстремальные значения, находим их величины. Соединяя все полученные точки для каждого силового фактора в пределах участка линией, соответствующей характеру аналитической зависимости, строим отдельно эпюры и .
6. Для брусьев с прямолинейной осью делается проверка построения эпюр внутренних силовых факторов:
| Рис.1 |
а) Обозначим 
, где 
угол наклона к оси касательной к эпюре , т.к. 
, то тангенс угла наклона касательной к эпюре в любом сечении бруса должен быть равен 
в этом же сечении. 
отсчитывается от оси по ходу часовой стрелки. Эпюры 
и проверяются при движении вдоль оси .
б) Обозначим 
, где 
угол наклона к оси касательной к эпюре , т.к. 
, то тангенс угла наклона касательной к эпюре в любом сечении бруса должен быть равен 
в этом сечении (
вниз). 
отсчитывается от оси по ходу часовой стрелки. Соответствие эпюры приложенной погонной нагрузке 
бруса проверяется также при движении вдоль оси .
в) Скачки в эпюре численно должны быть равны локальным поперечным силам 
, приложенным в этих сечениях бруса, а скачки в эпюре локальным изгибающим моментам 
.
Примечание: Наличие скачка в эпюре без присутствия соответствующего локального силового фактора и наоборот, свидетельствуют об ошибочности эпюры.
Примеры построения эпюр внутренних силовых факторов для различных брусьев
Пример №1 (рис. 1).
Дано: 
кН/м, 
м
1. Определение опорных реакций
Опора А – шарнирно-неподвижная. Допустим, что реакция 
направлена вверх, а реакция 
вправо.
Опора В – шарнирно-подвижная, допустим, что реакция 
тоже направлена вверх.
Для определения , 
, составим три уравнения статики:
Реакция получилась положительной, следовательно, наше допущение, что она направлена вверх, верно.
Отсюда 
.
Проверка:
Итак: 
2. Построение эпюр внутренних сил
В соответствии с характером конструкции и нагрузки делим балку на три участка. Эпюры будем строить по участкам. и будем определять методом сечений с использованием формул (1) или (2).
I участок. Проведем сечение в пределах участка. Видно, что выгоднее рассмотреть левую отсеченную часть. Тогда сечение определим текущей координатой 
. Согласно формул (1) получим
линейная зависимость,
по закону квадратной параболы.
Для построения эпюр и на этом участке подсчитаем величины и при следующих значениях координаты 
:
Строим эпюры и на этом участке, откладывая в масштабе положительные значения и вниз, а отрицательные – вверх от оси бруса.
II участок. Рассмотрим левую отсеченную часть 
при 
; при 
Строим эпюры и на этом участке, учитывая, что для построения достаточно двух значений (линейная зависимость), а для построения необходимо не менее трех значений в пределах участка (парабола). Надо дополнительно вычислить при 
.
III участок. Проводим сечение, видно, что выгоднее рассмотреть правую отсеченную часть. В этом случае текущую координату сечения 
будем отсчитывать от опоры А 
. По формулам (2):
(А)
при 
; при 
Видно, что при некотором значении 
эпюра меняет знак. В этом сечении величина 
принимает экстремальное значение.
Подставим в первую формулу (А) 
при , получим 
. Отсюда 
. Подставим 
во вторую формулу (А), найдем
.
Строим эпюры и на третьем участке. На эпюрах ставим знаки, характерные величины и , штриховка эпюр ведется линиями, перпендикулярными к оси бруса.
3. Проверка построенных эпюр
а) По зависимости 
проверяются и .
I участок: В произвольном сечении 
на эпюре проведем касательную. Угол ее наклона к оси обозначим 
. Видно, что 
, с увеличением 
уменьшается. В этом же сечении 
и с увеличением уменьшается. Следовательно, на I участке эпюры и соответствуют зависимости .
II участок: 
, с увеличением 
увеличивается. 
, с увеличением увеличивается. Следовательно, эпюры и соответствуют друг другу.
III участок: Выделим сечение на участке 
. Видно, что 
, с уменьшением 
уменьшается до нуля при , а затем принимает отрицательные значения. , с уменьшением уменьшается до нуля при , а затем становится.
Итак, эпюры и на всем протяжении балки не противоречат зависимости .
б) По зависимости 
проверяется эпюра с действующей на балку нагрузкой 
.
I участок: В произвольном сечении на эпюре проведем касательную. Угол ее наклона к оси обозначим 
. Видно, что 
, с увеличением 
. На этом участке на балку действует постоянная нагрузка 
(вниз). Следовательно, 
есть величина отрицательная и постоянная, что соответствует характеру изменения 
на этом участке. Итак, на I участке противоречий нет.
II участок: 
, с увеличением не меняется. На этом участке действует 
(вверх), т.е. 
и постоянная на этом участке. Противоречий нет.
III участок: 
, с уменьшением не меняется. На этом участке действует (вниз), т.е. 
и постоянна.
Итак, на всем протяжении балки эпюра соответствует зависимости .
в) При движении вдоль оси балки:
На эпюре в сечении В скачок от -1 до 
, т.е. на величину 
, в этом сечении на балку действует 
; в сечении С на эпюре скачок от 
до , т.е. на величину 
, в этом сечении действует сила 
; в сечении А на эпюре скачок от 
до нуля, в этом сечении на балку действует сила 
.
Итак, скачки на эпюре по величине соответствует локальным поперечным силам, действующим на балку.
На эпюре скачок в сечении В от 
до 
, т.е. на величину 
, в этом сечении на балку действует 
; в сечении А на эпюре скачок от 
до нуля, в этом сечении на балку действует момент 
. Больше скачков нет и нет других локальных моментов на балке.
Пример №2. Балка с промежуточным шарниром (рис. 1)
Дано: 
кН/м, 
м
В сечении А – защемление, опорные реакции обозначим так: 
вверх, влево, 
против хода часовой стрелки. На опоре В реакцию направим вверх. Опорных реакций четыре: 
, а уравнений три. Учитывая, что в точке 
балки расположен шарнир, можно составить дополнительные уравнения равновесия 
для левой или правой частей балки относительно шарнира.
Справа от шарнира только одна реакция , поэтому для ее определения рассмотрим равновесие правой части балки относительно шарнира 
.
Реакция получилась отрицательная, следовательно, ее действительное направление противоположно ранее принятому. Для удобства дальнейших расчетов обычно на схеме балки исправляют направление реакции. Итак, действительная реакция направлена вниз и ее величина 
. В дальнейших расчетах будем пользоваться действительным направлением реакции .
Оставшиеся реакции найдем из уравнений статики для всей балки:
Рис.2
Реакция получилась отрицательной, следовательно, ее действительное направление вниз. Делаем исправление на схеме, тогда 
.
.
Проверка: 
Итак: (вниз), 
(вниз), 
I участок (левая отсеченная часть)
при 
; при 
Эпюра меняет знак. Найдем 
, где и
при 
.
Строим эпюры и на этом участке.
II участок: 
(правая отсеченная часть)
при 
при 
Строим по этим данным эпюры и на II участке. Надо дополнительно вычислить при 
, т.к. эпюра - парабола.
Пример №3. Рама (рис. 2)
Дано: 
кН, 
кНм, 
кН/м, 
м, 
м
м
Опора А – шарнирно-неподвижная. Обозначим –вверх, влево. Опора В – шарнирно-подвижная, обозначим – вверх.
Рис.3
Все направления реакций, указанные на рис.2, являются действительными.
Проверка: 
.
По характеру конструкции и нагрузки раму разделим на четыре участка: 
. Для каждого участка вводим свою систему координат 
, которые получим простым перемещением оси 
правой системы координат 
вдоль оси стержней рамы.
На I участке 
ось направим от т. А к т. 
(см. рис. 2), ось 
(на нас) и 
составляют с осью правую систему координат. Проводим сечение. Видно, что выгоднее рассматривать нижнюю отсеченную часть, что в осях 
будет левой отсеченной частью.
Итак: I участок, (левая часть). Согласно формуле (1) получим зависимости для внутренних сил:
при 
при 
Эпюра 
меняет знак при =1 м. В этом сечении
кНм
На II участке 
ось направим от т. к т. Е, ось 
вниз. Проведем сечение и рассмотрим часть рамы слева от сечения:
(левая часть);
при 
при 
Эпюра 
меняет знак. Найдем 
, где =0 и 
м
при 
кНм.
Строим теперь эпюры 
и 
на этом участке.
III участок 
. Ось 
направим от т. Е до т. С, ось у 3 – влево. Проведем сечение и рассмотрим нижнюю часть. Положение сечения определим текущей координатой , при этом 
. В осях 
рассматриваемая часть будет правой. По формулам (2) получим следующие выражения для внутренних сил:
при 
при 
По этим данным строим эпюры 
, 
на III участке.
IV участок CB. Определение внутренних сил проводится аналогично как и для III участка: 
(правая часть).
.
Так как внутренние усилия не зависят от текущей координаты 
, сразу строим эпюры на этом участке. На эпюрах ставим знаки и делаем штриховку перпендикулярно к осям стержней рамы.
Пример №4. Криволинейный брус радиуса (рис. 3)
Дано: 
4кН, 
2кН, кНм, 
м
Выберем на брусе произвольную т. . Ее положение определим угловой координатой 
, при этом координата 
этой точки будет равна 
. Проведем поперечное сечение в т. и рассмотрим левую отсеченную часть, где известны нагрузки 
. В этом
Рис.4
случае не надо определять опорные реакции. В сечении расположим начало системы координат 
, причем ось 
направим по касательной к оси бруса в т. в наружную сторону от торца левой отсеченной части, ось 
к центру кривизны. Согласно ранее введенным правилам на торце левой части покажем положительные направления внутренних сил 
(см. рис.3). Силы и 
разложим на составляющие по осям 
и 
. В полученных прямоугольных треугольниках найдем углы . Теперь можно записать аналитические выражения для внутренних в функции от текущей координаты , используя зависимости (1). Брус имеет один участок 
. Из разложений и на прямоугольные треугольники легко найти: 
; 
.
(5)
Моменты определяются от сил и относительно оси х, проходящей через т. D. Для силы плечо 
определяется из треугольника ODB 
, для силы плечо 
определяется так: 
(
из треугольника OBD).
В каждом сечении величины 
и 
откладываем вдоль радиусов, положительные величины к центру арки, отрицательные – «наружу».
При 
Выберем масштабы для и по полученным значениям на эпюрах строим три точки. На каждой эпюре соединяем полученные точки, предварительно, плавными кривыми. Видно, что на участке 
эпюра 
меняет знак, а на участке 
меняет знак эпюра 
.
Обозначим 
, при котором 
, т.е. по формуле 1) из (5)
,
откуда 
и 
.
Обозначим 
, при котором 
, т.е. по формуле 2) из (5)
,
откуда 
и 
.
Из дифференциальных соотношений (4) для криволинейного бруса следует:
а) 
, т.е. в сечении бруса, где величина будет экстремальна. Это при ;
б) 
, т.е. в сечении бруса, где величина будет экстремальна. Это при ;
в) 
, т.е. в сечении бруса, где величина будет экстремальна. Это при .
Найдем экстремальные значения 
и по формулам (5)
при 
кН;
при 
На эпюрах внутренних сил строим особые точки. Теперь можно окончательно соединить на каждой эпюре полученные точки плавной кривой. На эпюрах ставятся знаки, штриховка делается по радиусам, указываются особые точки на эпюрах.
Пример №5. Балка с переменной нагрузкой 
(рис. 4)
Дано: 
2кН/м, 2кН, м, 
м, 
м
Опора А – шарнирно-неподвижная. Обозначим –вверх, вправо. Опора В – шарнирно-подвижная, обозначим – вверх.
Определение опорных реакций:
Проверка:
Итак: 
кН, 
кН, 
. Направления опорных реакций, указанных выше, являются действительными.
По характеру конструкции и нагрузки балку делим на три участка.
I участок (левая отсеченная часть). Погонную нагрузку на этом участке представим в виде суммы прямоугольной и треугольной нагрузок. Найдем величину этой нагрузки в сечении с координатой , для чего предварительно найдем 
для треугольной части нагрузки: 
. А для всей нагрузки в сечении с координатой получим
. (В)
Используя формулы для определения внутренних силовых факторов от погонной нагрузки и формулы (1), запишем аналитические зависимости для и в сечении :
кубическая зависимость.
Эпюра меняет знак. Найдем , где .
.
Решая это квадратное уравнение, найдем два значения: 
м, 
м. Так как 
м, то на данном участке при м. При 
м
кНм.
По полученным значениям строим эпюры и на участке.
II участок: 
правая отсеченная часть.
Строим по этим данным эпюры на II участке.
III участок 
правая отсеченная часть.
Найдем зависимость нагрузки 
от координаты . Из подобия треугольников следует соотношение: 
, откуда 
. По аналогии с I участком получим
По этим данным строим эпюры и на III участке.
Пример №6. Сложная рамная конструкция (рис. 5)
Дано: 
1м, кН/м, 2кН, 
.
Величины углов 
и 
не заданы, найдем их. Из рис.5 видно: 
т.к. 
, то 
.
Опора А – шарнирно-неподвижная. Обозначим –вверх, влево. Опора В – шарнирно-подвижная, обозначим – вверх.
Определение опорных реакций
Теперь можно рассмотреть и уравнение равновесия
.
Отрезок 
найдем из построений на рис. 5: 
.
Рис.5
Проверка: 
.
Итак: 
кН, 
кН, 
кН.
Указанные выше их направления
