Прибавь 3,
Вычти 2.
Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая – уменьшает его на 2 (отрицательные числа допускаются).
Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 5 команд?
Решение (1 способ, построение полного графа решения):
1) будем строить дерево решений следующим образом: выясним, какое число можно получить из начального значения 1 за 1 шаг:
2) теперь посмотрим, что удается получить за 2 шага; учитывая, что (-2+3)=(+3-2), одно из значений повторяется: мы можем получить -1 + 3 = 2 и 4 – 2 = 2, то есть получается не дерево, а граф:
так с помощью программ, содержащих ровно 2 команды, можно получить 3 различных числа
3) строим еще уровень: программы из 3-х команд дают 4 разных числа:
обратим внимание, что числа на каждом уровне отличаются друг от друга на 5 =(+3-(-2), то есть они не могут повторяться
4) четвертый уровень дает 5 различных чисел:
5) и пятый – 6 решений:
6) Ответ: 6.
Решение (2 способ, краткий):
1) как следует из приведенных построений, если система команд исполнителя состоит из двух команд сложения/ вычитания, то все возможные программы, содержащие ровно N команд, дают N+1 различных чисел
2) Ответ: 6.
Решение (3 способ, Л.В. Зенцова, лицей № 36 ОАО "РЖД" г.Иркутска):
1) для сложения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения
2) поэтому существует всего 6 возможных программ, состоящих ровно из 5 команд (с точностью до перестановки):
11111
11112
11122
11222
12222
22222
3) Ответ: 6.
Ещё пример задания:
У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 1
Умножь на 2.
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая – удваивает его.
Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 4 команд?
Решение (1 способ, построение полного графа решения):
1) будем строить дерево решений следующим образом: выясним, какое число можно получить из начального значения 1 за 1 шаг:
2) теперь посмотрим, что удается получить за 2 шага:
в отличие от предыдущей задачи, здесь порядок выполнения операций влияет на результат, поэтому пока все числа получаются разные
3) делаем 3-й шаг, получаем 8 разных чисел:
4) на 4-ом шаге рассматриваем все возможные программы из 4-х команд, получаем числа
6, 10, 9, 16, 8, 14, 13, 24, 7, 12, 11, 20, 10, 18, 17, 32
5) здесь всего 16 чисел, но одно из них (10) повторяется 2 раза, а остальные встречаются по 1 разу, поэтому получаем 15 различных чисел
6) Ответ: 15.
Ещё пример задания (ege.yandex.ru):
У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 6
Вычти 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 6, вторая – уменьшает на 3. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране.
Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 10 команд?
Решение:
1) особенность этой задачи – у дополнении к условию: «Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране»
2) сначала решим задачу без этого ограничения; поскольку две команды 1 и 2 можно переставлять (последовательное применение команд 1 и 2 дает тот же результат, что и последовательное применение команд 2 и 1), количество различных чисел, которые можно получить с помощью программы из N = 10 команд равно N+1 = 11 (см. разборы задач, приведенные выше)
3) проблема в том, что из этих 11 чисел нужно выбросить все отрицательные, так как при появлении отрицательного числа исполнитель выходит из строя
4) минимальное число получается, если применить к начальному числу 10 команд 2:
1 – 10·3 = –29
5) соседние числа в дереве (см. выше) отличаются на 6 – (–3) = 9, поэтому эти 11 чисел
–29 –20 –11 –2 7 16 25 34 43 52 61
6) из них только 7 чисел положительные
7) Ответ: 7.
Решение (2 способ):
1) заметим, что поскольку две команды 1 и 2 можно переставлять (последовательное применение команд 1 и 2 дает тот же результат, что и последовательное применение команд 2 и 1), количество различных чисел, которые можно получить с помощью программы из N = 10 команд равно N+1 = 11 (см. разборы задач, приведенные выше)
2) разница между соседними числами равна (+6)-(-3)=9 (команды «+6» и «-3»)
3) начальное число – 1, наибольшее число можно получить, применив 10 команд увеличения на 6; получается число
1 + 10·6 = 61
4) строим ряд чисел – арифметическую прогрессию с разностью (–9):
61 52 43 34 25 16 7 …
все остальные значения отрицательные
5) таким образом, можно получить только 7 положительных чисел
6) это значение можно посчитать сразу, не выписывая все числа; ответим на вопрос «Сколько раз можно отнять 9 от числа 61, чтобы получить первое отрицательное число» – получим 7, так как 61 – 9·7 = –2
7) Ответ: 7.
Решение (3 способ, неравенство, А.А. Серокурова, лицей №6, г. Тольятти):
1) по условию программа содержит только операции сложения («+6») и вычитания («-3»), которые можно переставлять, не меняя результат
2) поэтому число, получаемое в результате выполнения некоторой программы из числа 1, можно представить в виде
где 
– количество команд «+6», а 
– количество команд «-3»
3) поскольку по условию всего в программе 10 команд, получаем 
, что дает
4) нам требуется определить, сколько неотрицательных чисел может быть получено таким образом, поэтому получаем неравенство
5) решая последнее неравенство, получаем 
6) поскольку – целое число, получаем 
7) с другой стороны, количество команд «-3» не может быть меньше нуля, поэтому
8) очевидно, что в этом диапазоне находятся 7 значений (от 0 до 6 включительно), что позволяет получить 7 различных неотрицательных чисел
9) Ответ: 7.
Ещё пример задания:
У исполнителя Акробат три команды:
Вверх
Влево
Вправо
При выполнении этих команд Акробат перемещается на одну клетку, соответственно вверх, влево или вправо. Программа для Акробата – это последовательность команд. Он находится в центре поля. После выполнения программы исполнитель оказывается в какой-то клетке поля. Сколько таких клеток на поле, в которых может оказаться Акробат после выполнения различных программ, состоящих из четырех команд.
Решение (1 способ, уравнение, перебор):
1) Акробат перемещается по клетчатой доске, поэтому можно рассматривать его движение как изменение координат по осям X и Y
2) пусть 
– количество команд «влево», 
– количество команд «вправо» и 
- количество команд «вверх». Тогда изменения координат вычисляются как
3) В программе 4 команды, поэтому 
4) поскольку перемещение Акробата по оси Y определяется только значением , можно зафиксировать (предположить, что оно равно какому-то числу) и при этих условиях найти, сколько есть таких клеток, в которые Акробат может попасть при этом ; затем останется сложить все результаты для всех возможных значений
5) пусть 
, тогда 
и 
; при этом получаем изменение координаты по оси Х:
6) при условии, что 
возможно 5 разных допустимых целых значений , каждое из которых даёт своё значение 
; поэтому при есть 5 таких клеток
7) аналогично находим, что при 
существует 4 клетки, при 
есть 3 клетки и т.д.; увеличение на 1 приводит к уменьшению числа достижимых клеток на 1; при 
остается одна единственная клетка;
8) складываем: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.
9) Ответ: 15.
10) в общем виде: если программа для Акробата содержит 
команд, то число достижимых клеток равно (по формуле суммы членов арифметической прогрессии):
Задачи для тренировки [1]:
1) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 2
Прибавь 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая – на 3. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 10 команд?
2) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 1
Прибавь 2.
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая – на 2. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 4 команд?
3) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 2
Умножь на 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая – утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 3 команды?
4) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 2
Умножь на 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая – утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 4 команд?
5) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 1
Прибавь 4.
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая – на 4. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 3 команд?
6) У исполнителя Калькулятор две команды:
Умножь на 2
Умножь на 3.
Первая из них умножает число на экране на 2, вторая – утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 3 команды?
7) У исполнителя Калькулятор две команды:
Умножь на 2
Умножь на 3.
Первая из них умножает число на экране на 2, вторая – утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 3 команд?
8) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 4,
Вычти 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 4, вторая – уменьшает его на 3 (отрицательные числа допускаются). Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько
различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд?
9) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 4,
Вычти 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 4, вторая – уменьшает его на 3. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 0 с помощью программы, которая содержит ровно 17 команд?
10) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 2,
Вычти 4.
Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая – уменьшает его на 4. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 5 с помощью программы, которая содержит ровно 20 команд?
11) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 3,
Вычти 2.
Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая – уменьшает его на 2. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 18 команд?
12) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 5,
Вычти 3.
Первая из них увеличивает число на экране на 5, вторая – уменьшает его на 3. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 4 с помощью программы, которая содержит ровно 30 команд?
13) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 3,
Вычти 4.
Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая – уменьшает его на 4. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 5 с помощью программы, которая содержит ровно 15 команд?
14) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 3,
Вычти 2.
Первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая – уменьшает его на 2. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 3 с помощью программы, которая содержит ровно 25 команд?
15) У исполнителя Калькулятор две команды:
Прибавь 4,
Вычти 2.
Первая из них увеличивает число на экране на 4, вторая – уменьшает его на 2. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на экране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 8 с помощью программы, которая содержит ровно 16 команд?
16) У исполнителя Калькулятор две команды:
Умножь на 6,
Подели на 2.
Первая из них увеличивает число на экране в 6 раз, вторая – уменьшает его в 2 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 512 с помощью программы, которая содержит ровно 6 команд?
17) У исполнителя Калькулятор две команды:
Умножь на 15,
Подели на 2.
Первая из них увеличивает число на экране в 15 раз, вторая – уменьшает его в 2 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 4096 с помощью программы, которая содержит ровно 12 команд?
18) У исполнителя Калькулятор две команды:
Умножь на 8,
Подели на 3.
Первая из них увеличивает число на экране в 8 раз, вторая – уменьшает его в 3 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 729 с помощью программы, которая содержит ровно 6 команд?
19) У исполнителя Акробат три команды:
Вверх
Вниз
Влево
Вправо
При выполнении этих команд Акробат перемещается на одну клетку, соответственно вверх, вниз, влево или вправо. Программа для Акробата – это последовательность команд. Он находится в центре поля. После выполнения программы исполнитель оказывается в какой-то клетке поля. Сколько таких клеток на поле, в которых может оказаться Акробат после выполнения различных программ, состоящих из четырех команд.
20) Исполнитель Акробат «живет» на числовой оси. Система команд исполнителя:
Вперед 4 (Акробат прыгает вперед на 4 единицы)
