Основные производственные показатели предприятий электросвязи

Номер предприятия	Чистая прибыль, тыс. руб.	Численность обслуживаемого населения, млн. чел	Рентабельность, %
	у	х₁	х₂
		4,9
		5,1
		6,5
		3,7
		4,0
		2,5

В качестве результативного признака возьмем чистую прибыль у. Основные факторы, влияющие на ее формирование: численность населения, обслуживаемого предприятием электросвязи х₁, и рентабельность х₂ Линейная форма зависимости между признаками постулируется, и, следовательно, задача сводится к отысканию параметров уравнения:

При линейной форме связи множественный корреляционно-регрессионный анализ проводится на основе информации о средних значениях признаков , их средних квадратических отклонениях и парных коэффициентах корреляции .

Построим уравнение двухфакторной регрессии в стандартизированном масштабе и рассчитаем показатели тесноты связи (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии

у	х₁	х₂	(х₁)²	(х₂)²	х₁ х₂	у х₁	у х₂	у²
	4,9		24,0
	5,1		26,0
	6,5		42,3
	3,7		13,7
	4,0		16,0
	2,5		6,3
= = 960	= 26,7	= 117	= 128,3	= 2411	= = 501	= 4419	= 19537	= =173646

Используя итоги расчетной таблицы (см. табл. 2.2) и известные формулы для расчета средних, дисперсий и парных коэффициентов корреляции:

, .

вычислим показатели, необходимые для отыскания -коэффициентов:

= 160 тыс. руб., _у = 57,8 тыс. руб.;

= 4,45 млн. чел., = 1,2513 млн. чел.;

= 19,5%, = 4,6458%;

0,3392, 0,5071, - 0,5806.

Система нормальных уравнений в стандартизированном виде может быть записана так:

Решая эту систему, находим: = 0,9558, ₂ = 1,062. Таким образом, можно записать уравнение регрессии в стандартизированном виде:

t_y = 0,9558t₁ + 1,062t₂.

Коэффициенты при t_j показывают, что большее воздействие на чистую прибыль предприятия электросвязи оказывает рентабельность ( ₂ > ). С ее ростом на сигму при постоянной численности обслуживаемого населения чистая прибыль увеличивается на 1,062 своего среднего квадратического отклонения.

Переход от стандартизированного уравнения регрессии к уравнению регрессии в натуральном масштабе осуществляется по формулам:

Найдем параметры искомого уравнения:

;

Уравнение зависимости чистой прибыли предприятий электросвязи от численности обслуживаемого населения и рентабельности имеет вид:

Оно показывает, что с ростом численности обслуживаемого населения на 1 млн. чел., при исключении влияния второго фактора (рентабельности), чистая прибыль возрастает на 44,15 тыс. руб., а при неизменной численности населения с ростом рентабельности на 1% чистая прибыль повысится на 13,21 тыс. руб.

Коэффициент множественной детерминации для нашего примера окажется равным:

=0,8627.

Отсюда коэффициент множественной корреляции .

Полученные значения коэффициентов множественной корреляции и детерминации, близкие к 1, свидетельствуют о том, что при построении двухфакторной модели учтены важные факторы увеличения чистой прибыли. При дополнительном включении факторов в анализ (для данного числа предприятий) может увеличиться совокупный коэффициент детерминации и, соответственно, уменьшиться остаточная дисперсия, доля которой в нашем примере мала:

0,8627 = 0,1373.

Следовательно, на долю неучтенных факторов приходится не более 13,73% дисперсии результативного признака.

Эластичность по каждому фактору и по их совокупности составит:

=2,84.

Эластичность по каждому фактору и в целом по совокупности больше 1, значит, чистая прибыль увеличивается в большей степени, чем факторы. С увеличением каждого фактора на 1% следует ожидать увеличения чистой прибыли на 2,84%.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии оценивается с помощью F -критерия:

где ‒ факторная сумма квадратов на одну степень свободы;

‒ остаточная сумма квадратов на одну степень свободы;

R² ‒ коэффициент (индекс) множественной детерминации;

n – число наблюдений;

m – число параметров при переменных х (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов).

Величина F_табл находится по таблицам при заданном уровне значимости и числе степеней свободы Если F_расч › F_табл, уравнение признается статистически значимым.

Ввиду корреляции между факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в зависимости от последовательности включения в модель фактора. Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный F -критерий:

где ‒ коэффициент множественной детерминации для модели с полным

набором факторов;

‒ тот же показатель, но без включения в модель фактора х_k.

В случае превышения значения частного F -критерия значения табличного делается вывод о целесообразности включения фактора в модель.

Для оценки значимости каждого коэффициента регрессии необходимо рассчитать значение t- критерия Стьюдента (отношение коэффициента регрессии к его средней ошибке):

Коэффициент регрессии считается статистически значимым, если превышает — табличное (теоретическое) значение t -критерия Стьюдента для заданного уровня значимости и п – m – 1 степени свободы.

Бывает необходимо включить в модель качественный (атрибутивный) фактор (факторы). Примером качественных признаков может служить пол, образование, климатические условия.

Чтобы ввести такие признаки в модель, они должны быть преобразованы в количественные, т.е. им должны быть присвоены цифровые метки. Сконструированные на основе качественных факторов числовые переменные называют фиктивными переменными.

Так для построения уравнения регрессии, в котором результативным показателем является заработная плата рабочего за месяц, а объясняющими факторами: возраст рабочего и пол; необходимо ввести
в модель: фиктивную переменную z, которая принимает 2 значения: 1 – если пол рабочего мужской; 0 – если пол женский.

Построим модель: .

Для оценки параметров модели используем МНК с системой нормальных линейных уравнений:

В рассмотренном примере качественный признак принимает только 2 значения. Если же градаций качественного признака больше 2, в модель вводится несколько фиктивных переменных. При введении в модель фиктивной переменной действует принцип: число фиктивных переменных должно быть на 1 меньше числа градаций качественного фактора.

Например, при наличии качественного фактора «образование», принимающего значения: до 8 классов, среднее, специальное, необходимо использовать две фиктивные переменные (табл. 2.).

Таблица 2

Образование	z₁	z₂
До 8 классов
Среднее
Специальное

При оценке параметров уравнения регрессии применяется метод наименьших квадратов. При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной величины . В модели:

случайная составляющая представляет собой ненаблюдаемую величину. После того как проведена оценка параметров модели, рассчитав разности фактических и теоретических значений результативного признака можно определить оценки случайно составляющей . При изменении спецификации модели, добавления в нее новых наблюдений выборочные оценки остатков могут меняться. Поэтому в задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели, но и исследование случайных отклонений.

Исследование остатков предполагает проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:

- случайный характер остатков;

- нулевая средняя величина остатков, не зависящая от х_i;

- гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений х;

- отсутствие автокорреляции остатков;

- остатки подчиняются нормальному распределению.

Первые две предпосылки проверяются графически. Третья предпосылка при малом объеме выборки может проверена с помощью метода Гольфельда-Квандта.

Параметрический тест включает следующие шаги:

1. Все n наблюдений в выборке упорядочиваются по возрастанию переменной х.

2. Исключаются из рассмотрения С центральных наблюдений; при этом (n-C)/2>p, p – число оцениваемых параметров.

3. Разделение совокупности из (n-C) наблюдений на две группы и определение по каждой из групп уравнений регрессии.

4. Определяется остаточная сумма квадратов для первой S₁ и второй групп S₂ и находится соотношение F= S₁/ S_2. Если верна гипотеза Н₀ об отсутствии гетероскедастичности, то F имеет распределение Фишера с (n-C-2p)/2 степенями свободы, где p – число объясняющих переменных. По таблице определяются критическое значение критерия F_кр. Если F›F_кр, то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Последствия гетероскедастичности:

- оценки параметров уравнения регрессии становятся неэффективными;

- оценки стандартных ошибок параметров регрессии будут неверными. (Например, оценки стандартных ошибок могут оказаться заниженными. Тогда значения t -критерия – завышенными. Мы решим, что параметр регрессии значим, а на самом деле это будет не так и сделаем неправильные выводы о значимости уравнения регрессии.)

Таким образом, нами рассмотрена технология построения многофакторной эконометрической модели, показатели, характеризующие ее адекватность и возможность использования для прогнозирования. Рассмотрена также возможность включения в модель качественного фактора путем ввода фиктивной переменной, так как в экономических и социальных процессах не все факторы носят количественный характер.