Числовые характеристики дискретной случайной величины

Закон распределения вероятностей содержит полную информацию о случайной величине. В ряде случаев можно сократить эту информацию и воспользоваться числовыми характеристиками.

· Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма всех возможных произведений значений случайной величины на их вероятности: .

Математическое ожидание характеризует центр распределения и оно приближенно равно среднему арифметическому всех возможных значений случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1) Если все значения случайной величины Х принадлежат промежутку [a; b], то математическое ожидание не может быть меньше a и больше b.

2) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: .

Доказательство:

 

3) Постоянный множитель может быть вынесен за знак математического ожидания: .

Доказательство:

 

 

4) Математическое ожидание суммы или разности двух случайных величин равно сумме или разности их математических ожиданий: .

5) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

Замечание: Две случайные величины называются независимыми, если вероятности, с которыми каждая из них принимает свои значения, не зависят от того, какое значение приняла другая величина.

6) Математическое ожидание отклонения равно нулю: .

Замечание: Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидание называется разность между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл . Для него характерны те же свойства, что и для математического ожидания дискретной случайной величины.

 

· Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно математического ожидания. Вычисление дисперсии лучше производить по формуле:

,

где (для дискретной случайной величины) и (для непрерывной случайной величины).

Доказательство:

 

Свойства дисперсии:

1) Дисперсия всегда неотрицательна: .

2) Дисперсия постоянной равна нулю: .

3) Постоянный множитель может быть вынесен за знак дисперсии, возведенный в квадрат: .

Доказательство:

 

4) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

5) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

6) Дисперсия суммы случайной величины Х и постоянной величины равна дисперсии случайной величины Х: .

· Недостатком дисперсии является то, что ее размерность равна размерности квадрата случайной величины, поэтому в ряде случаев для описания разброса используют среднеквадратическое отклонение , которое имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Рассмотренные числовые характеристики являются основными. Наряду с ними рассматриваются и другие числовые характеристики:

· Модой дискретной случайной величины Х называют то значение х_i, которое достигается с наибольшей вероятностью.

Модой непрерывной случайной величины называется точка максимума плотности распределения вероятностей.

Мода обозначается .

Распределение может не иметь моды вообще, иметь одну моду (унимодальное), две (бимодальное) или несколько мод (полимодальное).

· Медианой случайной величины называют такое ее значение, для которого значение функции распределения вероятностей равно . Обозначается . .

· Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени этой величины: .

Например:

 

Начальные моменты вычисляются по следующим формулам:

- для дискретной случайной величины ;

- для непрерывной случайной величины .

· Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени отклонения этой величины от ее математического ожидания: .

Например:

 

Центральные моменты лучше вычислять с помощью начальных моментов по следующим формулам:

Центральный момент третьего порядка характеризует симметричность распределения.

· Коэффициентом асимметрии называют число . У симметричных распределений этот коэффициент равен нулю. Если «длинная» часть кривой расположена справа от моды, коэффициент асимметрии больше нуля, если слева – меньше нуля.

 

 

· Коэффициентом эксцесса случайной величины Х называют число, определяемое формулой: . Эксцесс служит для оценки «крутости» распределения, то есть большего или меньшего подъема кривой по сравнению с нормальным распределением с тем же математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением. У нормального распределения коэффициент эксцесса равен нулю. Если кривая более высокая и острая, то коэффициент эксцесса больше нуля. Если более низкая и пологая – меньше нуля.