Вычисление средней по данным интервального вариационного ряда

Тема. средние величины

1. Понятие средней величины.

2. Средняя арифметическая и её свойства.

3. Вычисление средней по данным интервального вариационного ряда.

4. Средняя гармоническая. Критерий выбора формы средней.

5. Структурные средние.

Понятие средней величины

В процессе обработки и обобщения статистических данных возникает необходимость определения средних величин. Средняя величина (слайд) – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности, отражающая его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени. Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней. Средние, исчисленные для каждой группы, – групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Признак, для которого исчисляется средняя величина, называется варьирующим (осредняемым). Единицы варьирующего признака, каждая из которых имеет определенное числовое выражение, называются вариантами (слайд), и обозначается . Средняя обозначается через . Такой способ обозначения указывает на происхождение средней из конкретных величин, черта сверху символизирует процесс осреднения индивидуальных значений. Число единиц – . Показатели частоты, повторяемости вариант называют весами и обозначают .

Существует две категории средних величин (рисунок 1) (слайд): степенные средние (к ним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и др.), а также структурные средние (среди которых наиболее распространены мода и медиана).

 

 

 

 

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая степенная средняя имеет следующий вид:

.

Взвешенная степенная средняя имеет общий вид:

.

С изменением показателя степени к приходим к определенному виду средней:

при – средняя гармоническая;

при – средняя геометрическая;

при – средняя арифметическая;

при – средняя квадратическая;

при – средняя кубическая.

Если рассчитывать все виды средних для одних и тех же данных, то их значения окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени увеличивается и соответствующая средняя величина:

.

 

2. Средняя арифметическая и её свойства

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Простая средняя арифметическая вычисляется в тех случаях, когда каждая из вариант встречается в изучаемом явлении один или одинаковое число раз, а так же если данные не сгруппированы.

Формула простой средней арифметической имеет следующий вид:

.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется в тех случаях, когда различные варианты встречаются в изучаемой совокупности неодинаковое число раз:

.

Свойства средней арифметической:

Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна ей самой:

Свойство 2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведения отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

Свойство 3 (нулевое). Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равно 0:

Свойство 4 (минимальное). Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное:

Что означает: Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения (А), сколь угодно мало отличающегося от средней у выбранной единицы изучаемой совокупности:

.

Свойство 5. Если значения признака каждой единицы совокупности (все усредняемые варианты) уменьшить или увеличит на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на туже величину А:

.

Свойство 6. Если значения признака каждой единицы совокупности разделить или умножить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится в А раз:

Свойство 7. Если вес (частоту) каждого значения признака разделить или умножить на постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится:

.

Вычисление средней по данным интервального вариационного ряда

В интервальных вариационных рядах значение вариантов приводится в виде интервала от–до. В этом случае для каждой группы находится среднее значение интервала (середина), как полусумма его верхней и нижней границ.

Если в рассматриваемом ряду имеются интервалы с открытыми границами, то для нахождения их середины ориентируются на ширину смежного интервала.

Пример (слайд). Имеются следующие данные.

 

 

Таблица 1 – Распределение фактической трудоёмкости обработки деталей

Трудоёмкость обработки детали, мин	Число деталей
До 43
43–46
46–49
49–52
52–55
55–58
58 и более
Итого

Решение.

Таблица 2 – Расчет средней

Трудоёмкость обработки детали, мин	Число деталей,	Середина интервала (варианты),
До 43		41,5	124,5
43–46		44,5
46–49		47,5
49–52		50,5	858,5
52–55		53,5
55–58		56,5
58 и более		59,5
Итого		–

Изложенные выше свойства средней арифметической позволяют во многих случаях упростить её расчеты: можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину, разность сократить на общий множитель, а затем исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину.

Формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид: ,

где – условный момент первого порядка;

– ширина интервала;

– произвольная постоянная величина, в качестве которой берется середина центрального интервала, если число интервалов нечетное или середина интервала, обладающего наибольшей частотой, если число интервалов четное;

– варианты (середины интервалов);

– веса (частота).

Способ вычисления средней называют способом моментов или способом отсчета от условного нуля.

Таблица 3 – Расчет средней методом моментов

Трудоёмкость обработки детали, мин	Число деталей,	Середина интервала (варианты),
До 43		41,5	–3	–9
43–46		44,5	–2	–16
46–49		47,5	–1	–22
49–52		50,5
52–55		53,5	+1
55–58		56,5	+2
58 и более		59,5	+3
Итого		–	–	–15

.

.