Задача 1. Исследуя спрос на продукцию фирмы, аналитический отдел собрал данные по 20 торговым точкам компании и представил их в виде:
ln y = 6,8 – 0,6 ln x + ε,
(2,7) (-2,8)
где y – объем спроса,
x – цена единицы продукции.
В скобках приведены фактически значения t – критерия.
Ранее предполагалось, что увеличение цены на 1% приводит к уменьшению спроса на 1,2%. Можно ли утверждать, что приведенные результаты подтверждают это предположение?
Решение:
Уравнение регрессии в прологарифмированном виде. Судя по форме записи, уравнение имеет степенной вид и записывается так:
Надо проверить предположение о том, что эластичность спроса по цене равна –1,2. В степенной зависимости эластичность равна показателю степени b, поэтому оценка эластичности равна –0,6. Таким образом, задача сводится к проверке статистической гипотезы (нуль - гипотезы) H0:b=-1,2 против альтернативной H1:b≠-1,2. Критическая область двусторонняя, поэтому проверка гипотезы может быть заменена построением доверительного интервала для b и, если проверяемое значение b=-1,2 попадает в него, то нуль-гипотеза не отклоняется; в противном случае принимается альтернативная гипотеза.
Интервал строится по формуле:
-0,6- mb · tтаб < b < -0,6+ mb · tтабл.
Определим стандартную ошибку параметра b из формулы:
mb = 
= 
= 0,2143
Для определения tтабл зададим уровень значимости, равный 0,05, следовательно:
tтабл (α; n-2) = tтабл (0,05;18) = 2,1
(используем таблицу критических точек распределения Стьюдента для двустороннего α=0,05).
Доверительный интервал равен:
-0,6-0,2143·2,1 < b < -0,6+0,2143·2,1
или
-1,05 < b < -0,15.
Значение, равное –1,2, в интервал не попадает, следовательно, предположение о значении коэффициента эластичности на уровне значимости 0,05 следует отклонить. Однако, если задать значимость на уровне 0,01, то tтабл=2,88, и интервал будет таким:
-1,217 < b < 0,017
Следовательно, на уровне значимости 0,01 первоначальное предположение не может быть отклонено, поскольку значение –1,2 попадает в доверительный интервал.
Можно проверить статистическую гипотезу напрямую, вычислив t –статистику для разницы между гипотетическим и вычисленным значениями b:
= 
= 
= 2,8.
Сравним полученную статистику по абсолютной величине с критическим значением на заданном уровне значимости. На уровне α=0,05:
;
Нуль-гипотеза отклоняется, эластичность спроса по цене не может быть равна –1,2. На уровне α=0,01:
;
нуль-гипотеза не отклоняется, эластичность может быть равна –1,2.
■
Задача 2. Для двух видов продукции А и Б зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом:
= 15 + 8·lnx,
= 25x0,3.
Сравнить эластичность затрат по каждому виду продукции при x =50 и определить объемы продукции обоих видов, при котором эластичности будут одинаковы.
Решение Регрессионная зависимость для продукции А является полулогарифмической, и для вычисления эластичности воспользуемся формулой:
ЭА = 
= 
= 0,173.
Для продукции Б регрессионная зависимость является степенной, где коэффициент эластичности равен показателю степени при любых значениях независимой переменной, следовательно:
ЭБ = 0,3.
Теперь определим точку, в которой эластичности по обоим видам продукции одинаковы. Для продукции Б подходит любой объем, т.к. эластичность постоянна, а для определения объема выпуска продукции Б составим и решим уравнение:
= 0,3;
отсюда xА = 4,3 единиц.
Таким образом, при объеме производства продукции А, равном 4,3, эластичности удельных постоянных расходов обоих видов продукции по объему выпуска одинаковы и равны 0,3.
■
Задача 3. Пусть имеется уравнение парной регрессии: y = 5 - 6x + ε, построенное по 15 наблюдениям. При этом r = –0,7.
Определить доверительный интервал, в который с вероятностью 0,99 попадает коэффициент регрессии.
Решение. Для построения доверительного интервала необходимо знать стандартную ошибку mb коэффициента регрессии. Однако она не задана, и нужно определить ее косвенным путем. Для этого воспользуемся тем, что в парной регрессии существует связь между t- и F-статистиками:
tb = 
,
а F - статистику определим так:
F = 
· (15-2) = 12,5;
tb = 
= –3,53;
(берем минус, так как знак оцененного коэффициента b отрицательный).
mb = 
;
Доверительный интервал имеет вид (tтабл(0,01;13)=3,01):
-6 – 1,7·3,01 < b < -6 + 1,7·3,01
или
-11,11 < b < -0,89.
■
Задача 4. Уравнение регрессии потребления материалов от объема производства, построенное по 15 наблюдениям, имеет вид:
y = 5 + 5x + ε
(4,0)
В скобках – фактическое значение t-критерия. Определить коэффициент детерминации для этого уравнения.
Решение: Зная t-критерий для коэффициента регрессии, вычислим F - критерий для данного уравнения:
F = tb2 = 42 = 16.
Далее воспользуемся выражением для F через 
, из которого определим коэффициент детерминации при n=15:
.
■
Задача 5. По совокупности 18 предприятий торговли изучается зависимость между ценой x на некоторый товар и прибылью y торгового предприятия. При оценке регрессионной модели были получены следующие результаты:
Определить индекс корреляции и фактическое значение F-критерия, а также статистическую значимость уравнения регрессии. Построить таблицу дисперсионного анализа.
Решение: В условиях задачи n=18; остаточная СКО равна 23, а общая СКО – 35. Расчет индекса корреляции:
R = 
; R2 = 0,343.
Фактическое значение F-критерия:
F = 
При проверке статистической значимости уравнения в целом воспользуемся F-критерием и сравним его с критическим значением, задавшись уровнем значимости 0,05. Табличное (критическое) значение при этом равно:
Fтабл (0,05;1;18-2) = 4,49.
Поскольку фактическое значение, равное 8,35, больше критического, нуль-гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии следует отклонить, и уравнение на уровне α=0,05 является значимым; статистическая связь между y и x считается доказанной. Однако, если задать α=0,01, то:
Fкр = Fтабл (0,01;1;16)=8,53,
и в этом случае нуль-гипотезу отклонить нельзя, на уровне α=0,01 уравнение не значимо.
Для построения таблицы дисперсионного анализа определим из балансового уравнения величину факторной СКО:
Поскольку мы имеем дело с парной регрессионной зависимостью, число степеней свободы факторной СКО принимаем равным единице. С учетом этих условий таблица дисперсионного анализа выглядит следующим образом:
| Вариация y | СКО | Число степеней свободы | Дисперсия на 1 степень свободы | Fнабл = 
|
| Общая | - | - | ||
| Факторная | 8,35 | |||
| Остаточная | 1,4375 |
■
Задача 6. Зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих характеризуется моделью:
.
Ее использование привело к результатам, представленным в таблице:
| № п/п | Производительность труда рабочих, тыс.руб. (y) | № п/п | Производительность труда рабочих, тыс. руб. (y) | ||
| фактическая | расчетная | фактическая | расчетная | ||
Оценить качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F -критерий Фишера.
Решение: Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:
и характеризует среднее отклонение расчетных значений от фактических. Это значение считается приемлемым, если оно не превышает 8-10%.
Для приведенных в таблице данных имеем:
что оказывается в допустимых границах и говорит о приемлемой точности аппроксимации регрессионной модели.
Рассчитаем индекс корреляции рассчитаем, предварительно определив общую и остаточную СКО.
R2 =0,425.
F -критерий рассчитаем с учетом того, что число параметров при переменной x равно двум (зависимость квадратическая, эти параметры – b и c):
Сравним это значение с критическим на уровне 0,05:
,
,
следовательно, уравнение в целом на уровне 0,05 не значимо. Можно предположить, что в исследованном диапазоне строить квадратическую регрессию нецелесообразно. По – видимому, есть смысл упростить уравнение регрессии и описать исходные данные с помощью линейной зависимости.
■
Задача 7. Для следующих уравнений регрессии:
а) 
б) 
в) 
г) 
определить коэффициенты эластичности при значении фактора, равном 85.
Решение.
а) Уравнение регрессии является линейным, поэтому коэффициент эластичности равен 
.
б) Здесь имеем дело с полулогарифмической зависимостью: 
.
в) Это преобразованная (путем логарифмирования) степенная зависимость; её коэффициент эластичности постоянен и равен показателю степени, т.е. 0,0024.
г) В данном случае зависимость показательная (или экспоненциальная), в преобразованном виде логарифмируется только зависимая переменная. В любой из трех форм записи экспоненциальной регрессии коэффициент эластичности равен произведению коэффициента при факторе на значение самого фактора, т.е. 
.
■
Задача 8. Имеются следующие исходные данные (n =24):
- 
- корреляция между х и у отрицательная;
- значение критерия Фишера для линейной регрессии составило 17.
Определить:
- коэффициент детерминации;
- уравнение линейной регрессии;
- средний по выборке коэффициент эластичности (для линейной зависимости);
- доверительный интервал прогноза с вероятностью 0,9 при значении фактора на 15% выше среднего уровня.
Решение.
1. Коэффициент детерминации определяем из выражения:
, откуда 
2. Построение уравнения линейной регрессии начинаем с вычисления коэффициента регрессии с помощью выражения:
, откуда 
.
Учитывая, что корреляция отрицательная, получим:
Значения стандартных отклонений по каждой переменной найдем с использованием коэффициентов вариации:
, откуда 
и аналогично для у:
Таким образом,
Свободный член определим из выражения:
Запишем уравнение линейной регрессии:
.
3. Средний по выборке коэффициент эластичности находим из выражения для линейной зависимости:
4. Доверительный интервал прогноза по линейному уравнению регрессии построим по выражению:
Серединой доверительного интервала является прогнозное значение зависимой переменной, полученное при значении фактора, равном
Отсюда прогнозное значение получаем подстановкой в уравнение регрессии:
Табличное значение статистики Стьюдента:
Стандартная ошибка прогноза индивидуального значения определяется по выражению:
Рассчитаем отдельные компоненты этого выражения:
- 
;
- поскольку 
, можно записать 
;
- поскольку 
, то 
(по аналогии с предыдущим); тогда 
Отсюда стандартная ошибка равна
Теперь строим доверительный интервал прогноза:
■
Задача 9. По выборке из 16 предприятий холдинга была построена следующая регрессионная зависимость объема продаж у (тыс. руб.) от расходов на рекламу х (тыс. руб.):
- 
Задание:
- определить коэффициент корреляции;
- построить таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения регрессии в целом;
- оценить значимость коэффициента регрессии;
- построить доверительный интервал для коэффициента регрессии с вероятностью 0,9 и сделать вывод.
Решение.
1. Коэффициент корреляции находим с помощью формулы:
2. Для построения таблицы дисперсионного анализа найдем значения различных СКО в балансовом выражении (13):
Общ.СКО= 
Факт.СКО=Общ.СКО 
Ост.СКО=Общ.СКО-Факт.СКО=1008,6-233,35=775,25.
Отсюда строим таблицу:
| Вариация | СКО | df | Дисперсия на 1 степень свободы | Fнабл= 
|
| Общая | 1008,6 | n-1 =15 | - | - |
| Факторная | 233,35 | 233,35 | 4,214 | |
| Остаточная | 775,25 | n-2 =14 | 55,375 |
3. Для нахождения стандартной ошибки оценки коэффициента регрессии можно воспользоваться формулой:
или формулой:
, где 
откуда
4. Значимость коэффициента регрессии определяем через t - критерий Стьюдента:
Проверка нуль - гипотезы 
против альтернативной 
показывает, что параметр b значим на уровне 0,1 и не значим на уровнях 0,05 и 0,01.
5. Доверительный интервал для коэффициента регрессии на уровне значимости 0,1 строим по соответствующей формуле:
или
Он накрывает неизвестное значение параметра с вероятностью 0,9; границы интервала имеют одинаковые знаки, поэтому на уровне 0,1 параметр статистически значим.
