050200 «Физико-математическое образование»
- Основы аксиоматической теории натуральных чисел. Свойства сложения и умножения натуральных чисел. Отношение порядка. Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» натуральном числе. Методы математической индукции.
- Свойства кольца целых чисел. Упорядоченность целых чисел. Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» целом числе. Методы математической индукции для целых чисел.
- Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Группа корней n -ой степени из единицы.
- Линейное (векторное) пространство над полем. Примеры. Подпространства, простейшие свойства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность векторного пространства.
- Евклидовы линейные пространства. Свойства скалярного произведения. Ортогональный и ортонормированный базисы.
- Линейные операторы векторного пространства. Матрица линейного оператора и ее изменение при переходе к другому базису. Ядро и образ линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
- Группа, примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы.
- Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Поле. Примеры полей. Простейшие свойства. Минимальность поля рациональных чисел.
- Теорема о делении с остатком для целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел, их свойства и способы нахождения.
- Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Кольцо классов вычетов по модулю. Теоремы Эйлера и Ферма.
- Сравнения с неизвестными, число решений сравнения. Линейное сравнение с одним неизвестным (критерий разрешимости, способы решения).
- Наибольший общий делитель двух многочленов, его свойства и способы нахождения. Многочлены над полем. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов.
- Поле разложение многочлена. Соотношение между корнями многочлена и коэффициентами (теорема Виета). Многочлены от нескольких переменных. Основная теорема о симметрических многочленах и следствия из нее.
- Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их приложение к решению задач.
- Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
- Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы.
- Движения плоскости и их свойства. Группа движений плоскости. Теорема существования и единственности движения. Формулы движений. Классификация движений плоскости.
- Преобразования подобия плоскости, их свойства. Формулы подобия. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы.
- Аффинные преобразования плоскости, их свойства и способы задания. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.
- Проективная плоскость и ее модели. Проективные преобразования, их свойства. Группа проективных преобразований. Формулы проективных преобразований.
- Понятие параллельности в геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
- Предел числовой последовательности, Единственность предела. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.
- Отображения множеств (функции). Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства непрерывных функций на отрезке (доказать одну теорему).
- Дифференцируемые функции одной или нескольких действительных переменных. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
- Условия постоянства и монотонности функции на промежутке. Экстремумы. Условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
- Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
- Понятие площади плоской фигуры. Приложения определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры и объема тел вращения.
- Числовые ряды. Признаки сравнения Даламбера и Коши для положительных рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.
30. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура их общих решений.
Примерные вопросы по методике преподавания математики
