Основные правила дифференцирования

Приложение 2

Вычисление производной

Определение: Действие нахождения производной функции называется ее дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке.

Так как дифференцировать приходится функции с различным способом задания (в явном, неявном, параметрическом виде) и всякой степени сложности (основные элементарные, сложные, элементарные), то и подходы к решению подбираются в зависимости от ситуации.

В простейших случаях продифференцировать функцию можно с использованием определение производной, вычислив соответствующий предел. Этот метод можно назвать непосредственным дифференцированием.

Пример: Найти производную , используя определение.

Решение: Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента и воспользуемся формулами тригонометрии:

Осталось применить первый замечательный предел для получения конечного результата:

Если Вам потребовалось найти производную одной из основных элементарных функций, то все они собраны в таблице основных производных и доказаны на основании определения.

Пример: Найти производные следующих постоянных функций

, , , , .

Решение: Производные всех этих функций равны нулю для любого действительного x (на всей области определения)

, , , , .

При нахождении производных суммы, разности функций, их произведения или отношения к Вашим услугам правила дифференцирования. Их приходится использовать почти в каждой задаче.

Основные правила дифференцирования

Пусть с — константа, а u(х) и v(x) имеют производные в некоторой точке х. Тогда функции u(x)±v(x), c·u(x), u(x)·v(x) и (где v(x)≠ 0) также имеют производные в этой точке, причем:

1. (u±v)'=u'±v';

2. (и·v)'=u'v+uv', в частности, (с·и)'=с·и';

3. в частности .

Пример: Найти производную функции .

Решение: Из таблицы производных для тригонометрических функций видим . Воспользуемся правилом вынесения множителя за знак производной: .

Пример: Найти производную функции .

Решение: Упростим вид исходной функции .

Используем правило производной суммы (разности):

Постоянный множитель можно выносить за знак производной,

поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

Пример: Продифференцировать функцию .

Решение: В данном примере , . Применяем правило производной произведения:

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:

Пример: Найти производную функции .

Решение: Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1. Применим правило дифференцирования дроби:
.

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

Если к таблице производных и правилам дифференцирования добавить формулу нахождения производной сложной функции, то вмести они позволят дифференцировать любую элементарную функцию, заданную в явном виде .

Производная сложной функции: у=f (u), u=g (x), тогда у =f (g (х)) – сложная функция. Найдем производную для этой функции

Пример: Найти производную сложной функции .

Решение: В данном примере f – функция возведения в квадрат, а g(x) = 2x+1 – линейная функция.

Вот подробное решение с использованием формулы производной сложной функции:

;

Для дифференцирования показательно степенной функции очень удобно использовать логарифмическую производную. С ее помощью достаточно просто находятся и производные громоздких дробей.

Сначала производим логарифмирование по основанию e, упрощаем вид функции, используя свойства логарифма, и далее находим производную неявно заданной функции:

.

Пример: Найдите производную функции .

Решение: Воспользуемся формулой логарифмической производной:

Если функция представлена параметрическим способом , , , то ее дифференцирование производят по формуле: .

Пример: Найти производную параметрически заданной функции .

Решение: В данном примере , поэтому , . Используем выведенную формулу и сразу записываем ответ: .

Ответ: .

Существует несколько способов дифференцирования неявно заданной функции вида .

Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x, считая y – функцией от x, и после этого выразить .

Пример: Найти производную неявной функции .

Решение:

Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x и y: . Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:

 

 

Разрешим полученное уравнение относительно производной:

 

.