Математическое ожидание, его свойства

Функция распределения вероятностей случайной величины, её свойства

Как было сказано выше, универсальной характеристикой, полностью характеризующей любую случайную величину с вероятностной точки зрения, является функция распределения. Напомним, что функция распределения случайной величины Х - это такая функция аргумента х, которая задает вероятность выполнения неравенства , то есть:

.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , то есть

.

 

Замечание. Неравенство означает, что часть графика функции распределения находится на оси , часть – на прямой , а часть – между ними.

Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть

, если .

 

Следствие 1 .Вероятность попадания значений случайной величины в данный промежуток равна приращению функции распределения на этом промежутке.

Следствие 2. Вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в данную точку равна нулю, то есть

.

 

Следствие 3. .

Свойство 3. Справедливы следующие предельные соотношения:

, .

Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения , функция распределения имеет вид:

(1)

Пример. Производится один выстрел по мишени с вероятностью попадания 0,3. Построить функцию распределения числа попаданий.

Решение. Обозначим число попаданий через Х, тогда ряд распределения для случайной величины Х имеет вид:

 

	0,7	0,3

Построим функцию распределения:

1)при ;

2)при ;

3)при

График функции приведен на рис.1. Из графика видно, что функция распределения дискретной величины представляет собой разрывную ступенчатую функцию, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины. Сумма всех скачков функции равна единице.

 

 

Рис.1.

Математическое ожидание, его свойства.

Мы уже знаем, что закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Зная закон распределения случайной величины, можно ука­зать, где располагаются возможные значения случайной величины и какова вероятность появления ее в том или ином интервале.

Однако при решении многих практических задач нет необходимости характеризовать случайную величину пол­ностью, а достаточно иметь о случайной величине только некоторое общее представление. Зачастую достаточно бы­вает указать не весь закон распределения, а только лишь некоторые характерные черты закона распределения.

В теории вероятностей для общей характеристики случайной величины используются некоторые величины, которые носят название числовых характеристик случай­ной величины. Основное их назначение – в сжатой форме выразить наиболее существенные особенности того или иного распределения.

О каждой случайной величине необходимо, прежде всего, знать ее некоторое среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной вели­чины, а также какое-либо число, характеризующее сте­пень разбросанности этих значений относительно сред­него. Кроме указанных числовых характеристик, для более полного описания случайной величины используют ряд других числовых характеристик. Все они помогают в той или другой мере уяснить характерные черты рас­пределения случайной величины. Такими характеристиками являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Обозначается математическое ожидание через М (Х), или , или а. Если дискретная величина принимает конечное число значений х ₁ ,х ₂ ,…,х_n соответственно с вероятностями p ₁ ,p ₂ ,…,p_n, то по определению имеем

(1)

Математическое ожидание дискретной случайной величины приближенно равно среднему арифметическому ее возможных значений. Поэтому математическое ожидание случайной величины называется ее средним значением или центром распределения.

Из определения математического ожидания легко получить его свойства.

1) Постоянный множитель можно выносить за знак среднего значения:

(2)

2)Среднее значение постоянной величины равно этой постоянной величине:

. (3)

3)Среднее значение суммы любых случайных величин равно сумме их средних значений:

M(X+Y)=M(X)+M(Y) (4)

4)Среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению их средних значений:

M(XY)=M(X)M(Y) (5)

Пример. Найти среднее значение случайной величины – числа успехов в серии из n однотипных испытаний, в каждом из которых вероятность успеха одна и та же и равна p (величина распределена по биномиальному закону).

Решение. Пусть - число успехов в одном, k -м (k = 1, 2, …, n) испытании серии. Так как M()= 0 q+ 1 p=p для любого k, а , то, используя (4), получим ответ:

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл

.

Если возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат всей оси , то математическое ожидание определяется интегралом:

. (5)

Понятие математического ожидания случайной величины имеет простую механическую интерпретацию. Действительно, распределение вероятностей случайной величины можно интерпретировать механически как распределение масс на прямой. Вся распределенная на прямой масса принимается за единицу. Дискретной случайной величине Х, имеющей возможные значения с вероятностями соответствует прямая с сосредоточенными в точках с абсциссами массами .

Непрерывной случайной величине соответствует непрерывное распределение масс на прямой с плотностью в каждой точке, равной плотности вероятности в этой точке. Тогда математическое ожидание, определяемое по формуле (5), есть не что иное, как абсцисса центра тяжести стержня, так как (5) совпадает с выражением для координаты центра тяжести стержня, имеющего массу, равную единице.

Дисперсия, её свойства.

Практика показывает, что для более полного описания случайной величины необходимо ввести еще меру рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной Х, вокруг её математического ожидания. Введем полезное в дальнейшем понятие.

Определение. Случайная величина называется центрированной случайной величиной (флюктуацией).

Основными характеристиками разброса случайной величины относительно среднего значения служат дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Определение. Дисперсией D(X) (рассеянием) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата её флюктуации:

(6)

Для дискретной случайной величины Х имеем по определению:

(7)

Для непрерывной случайной величины дисперсия выражается формулой:

.

Из формулы (7) видно, что физическим аналогом дисперсии случайной величины является центральный момент инерции стержня, на котором распределена (дискретно или непрерывно с плотностью равной f(x)) единичная масса. Чем меньше разброс массы вокруг центра тяжести стержня, тем меньше момент инерции стержня.

Рассмотрим свойства дисперсии.

1)Дисперсия случайной величины неотрицательна.

2)Дисперсия случайной величины Х равна разности среднего значения квадрата случайной величины и квадрата её среднего значения:

. (8)

 

3)Дисперсия постоянной величины равна нулю.

4)Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(9)

5)Для любых случайных величин X,Y

(10)

Таким образом, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Отметим, что дисперсия разности двух независимых случайных величин также равна сумме их дисперсий.

Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Если нужно получить оценку рассеивания случайной величины в тех же единицах, то используют среднеквадратическое отклонение.

Определение. Среднеквадратическим отклонением σ(X) случайной величины Х называется корень квадратный из её дисперсии:

(12)