Сходимость знакопеременных рядов

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть дана бесконечная последовательность чисел Числовым рядом называется символ вида

. (1)

Конечные суммы

(2)

называются частичными суммами ряда (1).

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2) , то ряд (1) называется сходящимся, а число S – суммой ряда (1); если же предел не существует, то ряд (1) называется расходящимся.

Пример. Доказать, что ряд сходится и найти его сумму.

Решение.

СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

1. Если ряды сходятся и их суммы равны соответственно, то ряд сходится и его сумма равна .

2. Если ряд сходятся и его сумма равна , то ряд сходится и его сумма равна , где .

Теорема (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то .

Доказательство. , …

Замечание. Необходимое условие достаточным не является, т.е. из того, что не следует, что ряд сходится. Например, …

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если , то ряд расходится.

СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ

I. Признак сравнения. Если даны два ряда с неотрицательными членами, причём, начиная с некоторого номера n > N все , то

1. если – расходящийся ряд, то ряд расходится;

2. если – сходящийся ряд, то ряд сходится.

Для сравнения часто используются ряды:

1. (геометрический), сходится при и расходится при .

Доказательство…

2. (обобщённый гармонический ряд), сходится при и расходится при .

Пример. .

Признак сравнения в предельной форме. Даны два ряда с неотрицательными членами. Если существует конечный предел , то ряды (1) и (2) либо оба сходятся, либо расходятся.

Более точно: Если существует конечный предел , то при из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а при из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Примеры.

1. Исследовать на сходимость .

Решение. Сравним данный ряд с рядом . Он расходится.

. Значит, ряды ведут себя одинаково.

Ответ. Исследуемый ряд расходится.

 

2. Исследовать на сходимость .

Решение. Сравним данный ряд с рядом . Он сходится.

. Значит, ряды ведут себя одинаково.

Ответ. Исследуемый ряд сходится.

Замечание. Если общий член ряда имеет вид отношения двух многочленов, то для сравнения подбирается обобщенный гармонический ряд , где степень находится как разность степеней знаменателя и числителя дроби.

Признак Даламбера. Если для ряда с неотрицательными членами существует конечный предел , то при ряд сходится, при ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость .

Решение. Для этого ряда .

.

Ответ. Исследуемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Если для ряда с неотрицательными членами существует конечный предел , то при ряд сходится, при ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость .

Решение. Для этого ряда .

Ответ. Исследуемый ряд сходится.

СХОДИМОСТЬ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Перейдём к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие ряды называют знакопеременными.

 

Например,

У этого ряда первое слагаемое положительное, следующие три отрицательные, затем снова три положительных и так далее.

 

Пусть дан ряд , члены которого – числа произвольного знака. Если ряд сходится, то исходный ряд называют абсолютно сходящимся.

Если же ряд расходится, а ряд сходится, то исходный ряд называют условно сходящимся.

Теорема. Если ряд сходится, то ряд сходится (абсолютно).

Пример. Исследовать на сходимость .

Решение. Рассмотрим ряд из модулей .

При всех значениях верно неравенство .

Ряд сходится, т.к. он является обобщенным гармоническим и степень .

Применяя признак сравнения, делаем вывод, что ряд из модулей сходится. Согласно теореме исследуемый ряд также сходится, причем абсолютно.

 

Ответ. Исследуемый ряд сходится абсолютно.