ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть дана бесконечная последовательность чисел 
Числовым рядом называется символ вида
. (1)
Конечные суммы
(2)
называются частичными суммами ряда (1).
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2) 
, то ряд (1) называется сходящимся, а число S – суммой ряда (1); если же предел не существует, то ряд (1) называется расходящимся.
Пример. Доказать, что ряд 
сходится и найти его сумму.
Решение.
СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
1. Если ряды 
сходятся и их суммы равны 
соответственно, то ряд 
сходится и его сумма равна 
.
2. Если ряд 
сходятся и его сумма равна 
, то ряд 
сходится и его сумма равна 
, где 
.
Теорема (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд 
сходится, то 
.
Доказательство. 
, …
Замечание. Необходимое условие достаточным не является, т.е. из того, что не следует, что ряд сходится. Например, …
Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если 
, то ряд расходится.
СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
I. Признак сравнения. Если даны два ряда с неотрицательными членами, причём, начиная с некоторого номера n > N все 
, то
1. если 
– расходящийся ряд, то ряд 
расходится;
2. если 
– сходящийся ряд, то ряд 
сходится.
Для сравнения часто используются ряды:
1. 
(геометрический), сходится при 
и расходится при 
.
Доказательство…
2. 
(обобщённый гармонический ряд), сходится при 
и расходится при 
.
Пример. 
.
Признак сравнения в предельной форме. Даны два ряда 
с неотрицательными членами. Если существует конечный предел 
, то ряды (1) и (2) либо оба сходятся, либо расходятся.
Более точно: Если существует конечный предел 
, то при 
из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а при 
из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Примеры.
1. Исследовать на сходимость 
.
Решение. Сравним данный ряд с рядом 
. Он расходится.
. Значит, ряды ведут себя одинаково.
Ответ. Исследуемый ряд расходится.
2. Исследовать на сходимость 
.
Решение. Сравним данный ряд с рядом 
. Он сходится.
. Значит, ряды ведут себя одинаково.
Ответ. Исследуемый ряд сходится.
Замечание. Если общий член ряда имеет вид отношения двух многочленов, то для сравнения подбирается обобщенный гармонический ряд , где степень 
находится как разность степеней знаменателя и числителя дроби.
Признак Даламбера. Если для ряда с неотрицательными членами существует конечный предел 
, то при 
ряд сходится, при 
ряд расходится.
Пример. Исследовать на сходимость 
.
Решение. Для этого ряда 
.
.
Ответ. Исследуемый ряд сходится.
Радикальный признак Коши. Если для ряда с неотрицательными членами существует конечный предел 
, то при 
ряд сходится, при 
ряд расходится.
Пример. Исследовать на сходимость 
.
Решение. Для этого ряда 
.
Ответ. Исследуемый ряд сходится.
СХОДИМОСТЬ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Перейдём к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие ряды называют знакопеременными.
Например, 
У этого ряда первое слагаемое положительное, следующие три отрицательные, затем снова три положительных и так далее.
Пусть дан ряд 
, члены которого – числа произвольного знака. Если ряд 
сходится, то исходный ряд называют абсолютно сходящимся.
Если же ряд расходится, а ряд сходится, то исходный ряд называют условно сходящимся.
Теорема. Если ряд сходится, то ряд сходится (абсолютно).
Пример. Исследовать на сходимость 
.
Решение. Рассмотрим ряд из модулей 
.
При всех значениях 
верно неравенство 
.
Ряд 
сходится, т.к. он является обобщенным гармоническим и степень 
.
Применяя признак сравнения, делаем вывод, что ряд из модулей сходится. Согласно теореме исследуемый ряд также сходится, причем абсолютно.
Ответ. Исследуемый ряд сходится абсолютно.
