Для дискретных случайных величин

Для непрерывных случайных величин

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки (а_х,а_у). Об этом, в частности, свидетельствуют свойства ковариации случайных величин.

1. Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

2. Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.

3. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений, т.е.

Ковариация, как уже отмечено, характеризует не только степень зависимости двух случайных величин, но и их разброс, рассеяние. Кроме того, она — величина размерная, ее размерность определяется произведением размерностей случайных величин. Это затрудняет использование ковариации для оценки степени зависимости для различных случайных величин. Этих недостатков лишен коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1], т.е.

2. Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, т.е. r = 0.

Случайные величины называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю. Таким образом, из независимости случайных величин следует их некоррелированность.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из некоррелированности двух случайных величин еще не следует их независимость.

Пример. По данным примера предыдущей лекции (табл. 5.2), определить ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

Решение. В примере были получены следующие законы распределения одномерных случайных величин:

и

 

Найдем математические ожидания и средние квадратические отклонения этих случайных величин:

Для нахождения математического ожидания M(XY) произведения случайных величин X и Y можно было составить закон распределения произведения двух дискретных случайных величин, а затем по нему найти М(ХУ). Но делать это вовсе не обязательно. M(XY) можно найти непосредственно по табл. 5.2 распределения двумерной случайной величины (X, Y) по формуле:

где двойная сумма означает суммирование по всем nm клеткам таблицы (n — число строк, m — число столбцов):

Вычислим ковариацию К_XY:

Вычислим коэффициент корреляции:

т.е. между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость; следовательно, при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться).