Теорема 4. 2. Достаточные условия существованиялокального экстремума

Тема. Касательная плоскость, нормаль. Экстремумы.

Занятие 5.

Напомним следующие утверждения. Пересечением двух плоскостей

является прямая, каждая точка которой

удовлетворяет системе уравнений

(4.1)

Линия, являющаяся пересечением графика функции и плоскости

задается системой уравнений

(4.2)

График – это поверхность в пространстве. Выберем точку принадлежащую графику.

Определение 4.1. Касательной плоскостью к поверхности графика в данной точке называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведённым на поверхности графика через эту точку.

Докажем, что уравнение касательной плоскости задаётся уравнением

(4.3)

Через точку проведём в произвольном направлении прямую её уравнение

имеет вид

, где коэффициент

- это тангенс угла наклона к оси ОХ. В пространстве

это уравнение задаёт плоскость П1 параллельную оси

П2

П1

Эта плоскость, пересекаясь с графиком функции, задает кривую, лежащую на графике . Уравнение кривой имеет вид

(4.4)

Или

(4.5)

Вычисляя производную (используя цепное правило) по в точке получаем наклон касательной прямой L. Касательная прямая L

является пересечением плоскостей П2()и плоскости П1 в пространстве

Точка лежит на касательной прямой и на плоскости (4.3). Докажем, что касательная целиком лежит на плоскости (4.3):

Пусть точка лежит на касательной прямой. Докажем, что она лежит на плоскости (4.3). Подставляем координаты точки в уравнение плоскости (4.3)

Мы доказали, что точка лежит на плоскости. Следовательно, если две точки лежат на плоскости, то и вся касательная прямая лежит на плоскости. Поскольку касательная прямая произвольна, то уравнение (5) задаёт, по определению, касательную плоскость.

Если уравнение поверхности задано уравнением, то есть неявно: (например, эллипсоид или гиперболоид), то уравнение касательной плоскости имеет вид

(4.6)

Определение 4.2. Нормалью к поверхности в точке называется прямая перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания .

Упражнение 1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

Определение полного дифференциала.

Если функция дифференцируема в точке , то линейная часть

относительно приращения аргументов () называется полным дифференциалом функции и обозначается

(4.7)

Таким образом, имеет место формула линейного приращения функции

(4.8)

Здесь .

Касательная плоскость наиболее близко примыкает к поверхности в окрестности точки касания.

Упражнение 2. Вычислить приращение функции в точке относительно приращения аргументов . Вычислить её линейную часть (полный дифференциал) и сравнить приращение функции и полный дифференциал.

Локальные экстремумы функции двух переменных

Определение 4.3. Точка называется точкой локального максимума функции , если для всех точек ,принадлежащих -окрестности ,

справедливо неравенство (рис.1а)

Рис.1а рис1в

Определение 4.4. Точка называется точкой локального минимума функции

, если для всех точек ,принадлежащих -окрестности ,

справедливо неравенство (рис.1в).

Точки локального максимума или локального минимума функции называются точками экстремума, а локальные максимумы или минимумы функции –экстремумами функции.

Определение 4.5. Точки , в которых одновременно выполняются условия

(4.8)

Называются стационарными точками.

Теорема 4.1. Любая экстремальная точка дифференцируемой функции – стационарная.

Теорема 4.1 говорит нам, что если нам нужно найти локальные экстремумы у дифференцируемой функции, то сначала нужно найти все её стационарные точки и столько среди них искать точки локальных экстремумов. Критерии отбора точек локальных экстремумов среди стационарных точек у дважды дифференцируемых функций.

ТЕОРЕМА 4.2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА.

Пусть задана функция у которой все вторые частные производные