Сведения о случайных событиях

Задание 1. Случайное событие.

Сведения о случайных событиях.

В теории вероятностей для каждого эксперимента строится множество Ù элементарных исходов Ω = {ω ₁ ,ω ₂ ,ω ₃ ,...}, определяемое условием: результатом эксперимента всегда является ровно один исход из Ω.

Сами элементы ω ₁ ,ω ₂ ,ω ₃ ,... называются элементарными исходами. Случайное событие - это некоторое множество, состоящее из элементарных исходов A {ω_i ₁ ,ω_i ₂ ,ω_i ₃ ,...} =. При этом исходы ω_i ₁ ,ω_i ₂ ,ω_i ₃ ,... называются благоприятствующими событию A. Поскольку не все элементарные исходы благоприятствуют событию A, случайное событие A при данном эксперименте может либо появиться, либо не появиться. Событие, которое происходит при любом эксперименте, называется достоверным и обозначается через E. Ясно, что достоверное событие содержит все элементарные исходы из Ω, то есть, E = Ω. Событие, не происходящее ни при одном эксперименте, называется невозможным и обозначается через ∅; это событие не содержит ни одного элементарного исхода. Произведением AB событий A и B называется новое событие, состоящее в одновременном появлении событий A и B. Суммой A + B называется событие, состоящее в появлении либо A, либо B, либо в их одновременном появлении. Разностью А\В называется событие, состоящее в появлении A и непоявлении B. Событие A называется противоположным к событию A, если A происходит при непоявлении А. Ясно, что A A = ∅, A+ A = E. События A и B называются несовместными, если они не могут происходить одновременно. Ясно, что для несовместных событий AB =∅.

2. Примеры решения задач.

Пример 1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Вводятся события: A = {выбранное число делится на 5}, B = {выбранное число оканчивается нулем}. Выяснить смысл событий AB, A + B.

Решение. Согласно определению, АВ описывается так: выбранное число делится на 5 и одновременно оканчивается нулем, т.е. число, оканчивающееся нулем. Значит, AB = B. Согласно определению A + B описывается так: выбранное число или делится на 5, или оканчивается нулем, т. е. число, делящееся на 5. Значит, A + B = A.

Ответ: AB = B; A + B = A.

Пример 2. На рисунке изображена электрическая схема. Вводятся события: A = {работает блок а}, Bk ={работает блок bk, k=1,2}, C = {схема работает}, C = {схема не работает}. Записать выражение для C и C.

Решение. Параллельное соединение блоков b1,b2 работает, если работает хотя бы один из них, поэтому B1 + B2 = {работает параллельное соединение блоков}. Событие С произойдет, если одновременно с этим работает блок a. Значит, C = A (B 1 + B 2). Схема не работает, если не работает или блок a, или параллельное соединение блоков b1,b2, или и то, и другое сразу. Значит, C = A + B ₁ B ₂.

Ответ: C=A(B1 + B2), C = A + B₁B₂.

3. Индивидуальные задания.

Задание выбирается согласно вашего номера в журнале.

В задачах 1.1-1.4 построить множество элементарных исходов и выразить через эти исходы указанные события.

1.1. Кубик (игральная кость) подбрасывается один раз. События: A = {на верхней грани выпало четное число очков}, B = {на верхней грани выпало число очков, кратное 3}.

1.2. Одновременно подбрасываются две монеты. События: A = {герб выпадает на одной монете}, B = {герб выпадает на двух монетах}.

1.3. Из четырех отобранных тузов наугад вытаскивается две карты. События: A = {обе карты черной масти}, B = {карты разного цвета}.

1.4. Монета подбрасывается три раза. События: A = {герб выпал ровно один раз}, B = {ни разу не выпала цифра}, C = {выпало больше гербов, чем цифр}, D = {герб выпал не менее чем два раза подряд}.

1.5. Три изделия проверяются на стандартность. Вводятся события: A = {все изделия стандартны}, B = {хотя бы одно изделие нестандартно}. Выяснить смысл событий A + B, AB, AB, A \ B.

1.6. Два шахматиста играют одну партию. Вводятся события: A ={выигрывает первый игрок}, B = {выигрывает второй игрок}. Описать события AB, A \ B, AB, A + B + (A \ B).

1.7. Из колоды в 36 карт наугад вытаскивается карта. Вводятся события: A = {вытащен туз}, B = {вытащена карта красной масти}, C = {вытащена карта масти "пик"}. Выяснить смысл событий: AB, AC, BC, A \ B, B \ C, B \ A, BC, B + C.

1.8. Одновременно подбрасывается 4 монеты. Вводятся события: A = {гербов выпало больше, чем цифр}, B = {выпали все гербы}, C ={выпали все цифры}. Выяснить смысл событий: A, B, A \ B, A + B, AB, A \С, A ⋅ C, C \ A.

1.9. Из урны, в которой находятся белые и черные шары, производится последовательное извлечение шаров. Вводятся события A_k = {при k-ом извлечении появится белый шар}, k=1,2,3,... Описать события A ₁ A ₂, A ₁ A ₂ A ₃ A ₄, A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ + A ₁ A ₂ A ₃ A ₄.

1.10. Двухмоторный самолет терпит аварию, если одновременно отказывают оба двигателя или выходит из строя системы управления. Вводятся события: A_k = {выходит из строя k-ый двигатель}, k=1,2, B = {выходит из строя система управления}, C = {самолет терпит аварию}. Найти события C и C.

1.11. Из двух коробок, в каждой из которых красные и синие карандаши, наугад берется по карандашу. Вводятся события: A_k = {из k-ой коробки вытащен красный карандаш}, k=1,2. Построить множество элементарных исходов, выразив каждый элементарный исход через A 1 ,A 2.

Представить в алгебре событий следующие события: A = {вытащено два красных карандаша}, B = {вытащено два синих карандаша}, C = {вытащены карандаши одного цвета}, D = {вытащены карандаши разных цветов}.

1.12. Орудие дважды стреляет по цели. Пусть A_k = {попадание в цель при k-ом выстреле}, k=1,2. Построить множество элементарных исходов, выразив каждый элементарный исход через A ₁ ,A ₂. Представить в алгебре событий следующие события: A = {произойдет ровно одно попадание}, B = {не будет ни одного попадания}, C = {произойдет хотя бы одно попадание}, D = {произойдет хотя бы один промах}.

1.13. Произведено три выстрела из орудия по цели. Пусть A_k = {попадание в цель при k-ом выстреле}, k=1,2,3. Построить множество элементарных исходов, выразив каждый элементарный исход через события A_k. Записать в алгебре событий следующие события: A = {произойдет ровно одно попадание}, B = {произойдет хотя бы одно попадание}, C = {произойдет хотя бы один промах}, D = {произойдет не менее двух попаданий}, F = {попадание произойдет только на третьем выстреле}.

1.14. Пусть A ₁, A ₂, A ₃ - три события, наблюдаемые в данном эксперименте. Выразить в алгебре событий следующие события: А = {произойдет ровно одно событие A ₁ или A ₂, или A ₃ }, B = {произойдет хотя бы одно из событий A ₁, A ₂, A ₃}, C = {произойдет ровно два события из трех}, D = {произойдет не менее двух событий из трех}, F = {не произойдет ни одного из событий A ₁, A ₂, A ₃}, G = {произойдет хотя бы два события из трех}.

1.15. Обозначим события: Ak = {элемент с номером k вышел из строя}, k=1,2,3,4. B = {разрыв цепи}. Выразить событие B через Ak для электрической схемы, приведенной на рисунке.

1.16. Обозначим события: Ak = {элемент с номером k вышел из строя}, k=1,2,..,5, B = {разрыв цепи}. Выразить событие B через Ak для электрической схемы, приведенной на рисунке.