Уравнения с одной переменной.
| Определение 1. Равенством называется соединение двух выражений двумя горизонтальными черточками = (знаком равенства). |
# А, В, С… - выражения.
Свойства равенств.
1. Любое А равно самому себе: А=А (свойство рефлексивности)
2. Если А=В, то В=А (свойство симметричности)
3. Если А=В и В=С, то А=С (свойство транзитивности)
4. Если А=В, и С – любое выражение, то А+С = В+С (свойство стабильности (монотонности) сложения)
5. Если А=В, и С – любое выражение, то А*С = В*С (свойство стабильности (монотонности) умножения)
| Определение 2. Равенство, справедливое (верное) для любых значений букв, входящих в правую и левую его части, называется тождеством. |
| Определение 3. Равенство, справедливое не для всех значений букв, входящих в правую и левую части называется уравнением. |
Примечание. В зависимости от скольких букв, не являющихся постоянными, уравнения бывают с одним неизвестным (скажем, буквой Х), с двумя неизвестными (скажем, с буквами Х и У) и т.д.
| Определение 4. Корнем уравнения называется такое значение неизвестного (выраженного через числа или буквы), при котором уравнение обращается в истинное равенство (тождество). |
Примечание. Решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться, что их нет.
| Определение 5. Областью определения уравнения или областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) уравнения называется множество тех значений неизвестного, при которых имеют смысл его левая и правая части. |
В элементарной алгебре изучаются выражения (с переменными или без них), действия (или операции) над выражениями и соответствующие алгебраические преобразования, а также отношения между выражениями: равенства – тождества и уравнения, неравенства, совместное выполнение нескольких алгебраических условий и т.д. Все возможные отношения между выражениями с переменными – уравнения, неравенства, системы неравенств и уравнений, их совокупности – будем называть алгебраическими задачами или, коротко, задачами.
Понятие равносильности уравнений.
| Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают, или оба эти уравнения не имеют корней. |
| Определение 2. Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) (1) является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x), (2) то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). Уравнение (2) называют следствием уравнения (1), если множества их решений µ1 и µ2 / µ2 С µ1 |
Схему решения любого уравнения можно описать так: заданное уравнение (1) преобразуют в уравнение (2), более простое, чем уравнение (1); уравнение (2) преобразуют в уравнение (3), более простое, чем уравнение (2), и т.д.:
(1) → (2) → (3) → (4) → …
В конце концов, получают достаточно простое уравнение и находят его корни. В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает ли множество найденных корней последнего уравнения с множеством корней уравнения (1)?
Правила:
· Если в процессе решения задачи совершались только равносильные преобразования (убедитесь в этом на каждом шаге), то все полученные решения и только они являются ответами исходной задачи (в ходе решения не могло произойти появление посторонних ответов или их потери).
· Если примененный в решении технический прием потребовал исключения из области определения задачи некоторых чисел, то необходимо отдельно проанализировать все такие исключенные значения и учесть в ответе те из них, которые удовлетворяют решаемой задаче
· Если в процессе решения задачи было сделано хотя бы одно неравносильное преобразование, то необходимо:
а) убедиться, что в ходе решения не было потери корней, то есть все совершенные преобразования – или равносильны, или преобразования-следствия,
б) тем или иным способом проверить полученные решения, отбросив посторонние ответы, если они появились.
Теоремы о равносильности уравнений (неравенств).
1. Если функции f(x), g(x), h(x) определены на множестве X, то на X
f(x)<g(x) óf(x)+h(x)<g(x)+h(x),
f(x)=g(x) ó f(x)+h(x)=g(x)+h(x)
Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположенным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
2. Если h(x) > 0 на X, то на X
f(x)<g(x) ó f(x)*h(x)<g(x)*h(x),
то есть при умножении неравенства на положительную функцию знак неравенства не меняется.
3. Если h(x)<0 на х, то на х
f(x)<g(x) ó f(x)*h(x)>g(x)*h(x),
то есть при умножении неравенства на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.
4. Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x)=g(x);
б) нигде в этой области не обращается в 0, - то получится уравнение f(x)*h(x) =g(x)*h(x), равносильное данному.
Следствием теоремы 4 является еще одно утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
5. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
6. Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение, равносильное данному: f(x)n=g(x)n.
