Дифракция от прямоугольной щели

Руководство к лабораторной работе 307

 

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

 

В однородной среде световые лучи распространяется прямолинейно. Если на их пути имеется препятствие, то может наблюдаться явление дифракции – отклонение света от прямолинейного распространения. Свет, огибая препятствия, попадает в область геометрической тени. Дифракция происходит в том случае, если размеры препятствия или отверстий приблизительно равны длине световой волны.

 

Принцип Гюйгенса-Френеля

 

Этот принцип представляет собой метод решения задач о распространении световых волн. Принцип Гюйгенса гласит, что каждая точка поверхности, до которой дошло волновое возбуждение в данный момент, становится источником вторичных элементарных сферических

Рис.1 Рис.2

 

волн. Огибающая этих волн будет волновой поверхностью в следующий момент времени (рис.1). Обратные элементарные волны не должны приниматься во внимание. Принцип Гюйгенса позволяет качественно объяснить явление дифракции (рис.2), но не дает возможности рассчитать распределение интенсивности дифрагированных лучей. Френель развил и дополнил принцип Гюйгенса. По Френелю, волновые возмущения в любой точке пространства можно рассматривать как результат интерференции вторичных волн от некоторых фиктивных когерентных источников, на которые разбивается волновая поверхность.

Итак, анализ явления дифракции света осуществляется на основе принципа Гюйгенса и принципа интерференции вторичных волн. В таком объединенном виде эти принципы получили общее название принципа Гюйгенса-Френеля. Рассмотрим его несколько подробнее. Пусть – (рис.З) – сферический фронт волны, распространяющейся от некоторого точечного источника О. Амплитуда светового колебания в точке Р может быть найдена из следующих соображений. Каждый элемент поверхности является фиктивным источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади элемента поверхности. Поскольку амплитуда сферической волны убывает обратно пропорционально расстоянию от источника, световое возмущение в точке Р определяется выражением

(1)

где и – амплитуда и фаза колебаний на волновой поверхности ; – волновое число ; – длина радиуса-вектора , проведенного от элемента поверхности до точки Р. Коэффициент убывает с увеличением угла между нормалью к и направлением

Рис.3.

 

радиуса-вектора , причем . Результирующее колебание в точке Р определяется как результат суперпозиции колебаний (1), пришедших от всех элементов волновой поверхности. т.е.

(2)

Эту формулу следует рассматривать как аналитическое выражение принципа Гюйгенса-Френеля.

Метод зон Френеля

Вычисление результирующего колебания по формуле (2) является трудной задачей. Однако в тех случаях, когда волновая поверхность является симметричной относительно луча ОР, нахождение амплитуды результирующего колебания в точке Р может быть осуществлено приближенно, простым суммированием по методу зон Френеля. Френель предложил разбить волновую поверхность на зоны – концентрические участки сферической поверхности с центром в точке L, расстояние от которых до точки наблюдения изменяется от зоны к зоне на . Тогда световые возмущение, пришедшие в точку Р от двух соседних зон, будут иметь противоположные фазы. Площади зон приблизительно одинаковы (т.е. площадь зоны не зависит от ее номера ). С ростом увеличится угол и уменьшится коэффициент , следовательно, и амплитуда колебаний, приходящих в точку Р (рис.4): .Ввиду противоположности фаз колебаний, приходящих из двух соседних зон, амплитуда суммарного колебания, вызванного действием всех зон открытого фронта волны, будет выражаться соотношением

(3)

Представим амплитуды колебаний, приходящих от всех нечетных зон, в виде суммы двух слагаемых:

и т.д.

Рис.4

 

Тогда уравнение (3) будет иметь вид

Приближенно можно считать, что амплитуды колебаний от четных зон равны полусумме амплитуд колебаний от двух соседних нечетных зон. Тогда все выражения в скобках обращаются в нуль. Оставшаяся часть от амплитуды последней зоны пренебрежимо мала, и . Следовательно, амплитуда А световой волны в точке Р от полностью открытого фронта волны равна половине амплитуды от первой (центральной) зоны Френеля. Значение этой амплитуды почти не зависит от положения точки Р. Так как размер первой зоны Френеля не превышает долей миллиметра, можно считать, что свет распространяется по узкому каналу, т.е. прямолинейно. Рассмотрим теперь дифракцию от сферического фронта волны, частично закрытого экраном (рис.5). Если на этом отверстии укладывается только первая зона, то амплитуда колебаний в точке Р будет равна . Если на отверстии укладываются две зоны, то амплитуда колебаний близка к нулю. Ёслв в отверстии укладываются три зоны, то амплитуда становится приблизительно равной , так как амплитуды от первых двух зон взаимно погашаются. Итак, если в отверстии укладывается четное число зон,. то амплитуда световых колебаний в точке Р минимальна, если укладывается нечетное число зон, то амплитуда колебаний максимальна. Таким образом, если отверстие постепенно увеличивается, то в точке Р происходит чередование максимумов и минимумов амплитуды световых колебаний.

Рис.5

Дифракция от прямоугольной щели

Различают два вида дифракции: дифракцию в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера) и сходящихся лучах (дифракция Френеля).

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на узкой прямоугольной щели. Пусть пучок параллельных лучей монохроматического света падает перпендикулярно на узкую прямоугольную щель шириной в непрозрачном экране Э ₁ (рис.6). За щелью расположена линза , которая собирает лучи на экране Э ₂, помещенном в ее фокальной плоскости (рис.7). Если бы при прохождении света через щель соблюдался закон прямолинейного распространения света, то на экране Э ₂ получилось бы изображение прямоугольной щели.

Рис.6 Рис.7

Вследствие дифракции картина коренным образом изменяется: на экране наблюдается система интерференционных максимумов – размытых изображений щели, разделенных темными промежутками интерференционных минимумов.

Согласно принципу Гюйгенса, каждый элемент поверхности световой волны АВ является источником когерентных волн, распространяющихся в различных направлениях. Из всех возможных направлений выберем одно – под углом относительно нормали к плоскости щели. Лучи, идущие из разных участков щели АВ под углом по отношению к их первоначальному направлению, соберутся линзой в точке М. Они пройдут разные пути и будут сдвинуты по фазе. Результат их интерференции в точке М зависит от угла и ширины щели.

Для объяснения полученной картины воспользуемся методом зон Френеля и выполним следующее построение. Через крайнюю точку А щели (см. рис.7) проведем плоскость АС, перпендикулярную направлению дифрагированных лучей. Тогда отрезок ВС будет представлять собой раз-ность хода крайних-лучей. Разделим его на ряд отрезков длиной . Число таких отрезков будет равно

(4)

Через концы этих отрезков проведем плоскости, параллельные плоскости АС, до пересечения с открытой частью волновой поверхности АВ. Фронт волны АВ разобьется на полосок одинаковой ширины, являющихся зонами Френеля. Колебания, приходящие в точку М от любой пары соседних зон, имеют разность хода и, находясь в противоположных фазах, ослабляют друг друга. Следовательно, ослабление света (дифракционный минимум) в точке М наблюдается при четном числе (), а усиление (дифракционный максимум) – при нечетном числе (). Таким образом, из формулы (4) получим условия минимумов и максимумов освещенности:

(5)

(6)

где

Дифракционная картина от одной щели представляет собой чередование светлых и темных полос около нейтрального максимума, которому соответствует условие . Число и называется порядком, дифракционного максимума: числу соответствует максимум нулевого порядка, числам и – максимумы первого и второго порядков соответственно. На рис.7 указаны положение и интенсивности дифракционных максимумов. Область, лежащую между и , занимает центральная светлая полоса. Чем меньше длина волны и больше ширина щели, тем уже эта полоса. Положение максимумов и минимумов на экране Э ₂ зависят от длины падающей световой волны, Если падающий свет сложный, например, состоит из двух монохроматических излучений с длинами волн и , то на экране максимумы и минимумы этих волн располагаются а разных местах. Большим соответствуют большие углы отклонения.

 

Дифракционная решетка

Одним из наиболее распространенных приборов для получения спектров с помощью дифракции является дифракционная решетка. Дифракционные решетки бывают прозрачные и отражательные. Первые представляют собой последовательность параллельных щелей равной ширины, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. В отражательных решетках щели заменены зеркальными полосками. Чаще применяются прозрачные решетки. На рис.8 схематически изображена такая решетка. Ширина щели равна , ширина непрозрачного участка – . Сумма называется периодом, или постоянной дифракционной решетки. Постоянная решетки связана с числом штрихов на единицу длины (на 1 мм) соотношением .

Рис.8

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, падающую нормально на решетку. За решеткой расположим собирающую линзу, а в ее фокальной плоскости – непрозрачный экран Э (рис.9).

 

Рис.9

Каждая из щелей дает на экране дифракционную картину, показанную на рис.9 пунктирной линией. Картина, получаемая в результате интерференции лучей от многих щелей, является более сложной (на рис. 9 сплошная линия). Объясним образование такой картины. Линза собирает параллельные лучи, идущие от всех щелей под углом к главной оптической оси линзы в одну и ту же точку М на экране (на рис.9 показаны такие лучи от двух соседних щелей). Амплитуда колебаний, создаваемых в точке М каждой щелью в отдельности, будут одинаковыми. Рассмотрим сначала картину, получаемую на центральной линии экрана, проходящей через главный фокус линзы Р. Для этой линии , и лучи, идущие от всех щелей, сходятся без дополнительной разности фаз. т.е. в одной фазе. При этом амплитуды их просто складываются: в случае N одинаковых щелей амплитуда суммарного колебания будет в N раз больше, а интенсивность в раз больше, чем в случае одной щели. Теперь представим себе картину, которую дают лучи, идущие под углом к первоначальному направлению лучей. Эти лучи (см. рис.9) сходятся в точке М, пройдя разные пути и имея, следовательно, разные фазы колебаний. Возьмем две соседние щели. Лучи, идущие от соответственных точек обеих щелей, имеют одну и ту же разность хода: и приходят в точку М со сдвигом фаз , равным

(7)

Очевидно, такой сдвиг фазы будет между колебаниями, приходящими от любой пары соседних щелей. Резкое возрастание амплитуды наблюдается только при тех углах , при которых достигается разность фаз , т.е. когда векторы амплитуд колебаний от всех щелей направлены одинаково (см. векторную диаграмму на рис.10). Из формулы (7) следует, что это условие соответствует разности хода

(8)

или

(9)

 

где – порядковый номер дифракционного максимума. Эту формулу называют также основной формулой дифракционной решетки. Для анализа результатов интерференции дифрагированных лучей используем векторную диаграмму. Результирующая амплитуда равна

,

где – амплитуда колебаний от -й щели, имеющих разность фаз . По модулю одинаковы и равны . Как отмечалось. при выполнении условия (8) все векторы совпадают по направлению, и возникает главный максимум. При большом количестве щелей ширина главных максимумов становится малой. Действительно, если мы сдвинемся на малый угол в сторону от главного максимума, то условие нарушится, и между векторами появится дополнительный сдвиг фаз , равный

(10)

Рис.10

Тогда вместо прямой (см. рис.10а) при сложении амплитуд получится многоугольник. Каждый вектор будет повернут относительно предыдущего на один и тот же угол . Амплитуда результирующего колебания является замыкающей многоугольника из векторов (см.рис.10 б и в), Положение замыкающего вектора зависит от числа щелей и угла . Если число щелей велико, то многоугольник даже при малом сдвиге фаз несколько раз обернется вокруг центральной точки О. Если суммарный угол сдвига фаз при обходе многоугольника , то многоугольник замкнется (см.рис.10 б), и результирующая амплитуда будет иметь максимальное значение. При результирующая амплитуда имеет минимальное значение (см. рис.10 в). С увеличением угла изменяется и , поэтому при отклонении от главного максимума суммарная амплитуда возрастает и убывает. Однако величина возникающих побочных максимумов и минимумов будет небольшой (близкой к ), пока мы не дойдем до следующего главного максимума, определяемого условием (9).

Таким образом, интерференционная картина, даваемая дифракционной решеткой, состоит из интенсивных узких главных максимумов, между которыми расположены серии небольших побочных максимумов, интенсивности которых тем меньше, чем больше общее число щелей (рис.11).

 

 

Рис.11

Из формулы (9) следует, что для данной волны может наблюдаться несколько главных максимумов. В направлении, соответствующем , наблюдается максимум нулевого порядка, при – два главных максимума первого порядка, расположенных симметрично по обеим сторонам максимума нулевого порядка. Далее следуют попарно максимумы второго (), третьего () и т.д. порядков. Распределение интенсивности главных максимумов определяется видом распределения интенсивности дифракционной картины от одной щели (см. рис.9).