Аналитическая геометрия, векторная алгебра

I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

 

1. Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Длина отрезка. Деление отрезка в заданном отношении.

2. Векторы на плоскости и в пространстве. Сложение векторов и умножение вектора на скаляр. Коллинеарность и компланарность векторов.

3. Проекция вектора на ось; теоремы о проекциях. Понятие базиса. Разложение вектора по ортонормированному базису. Операции над векторами, заданными в координатной форме.

4. Скалярное произведение двух векторов, его основные свойства. Угол между двумя векторами. Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.

5. Уравнение линии на плоскости. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

6. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Точка пересечения прямых. Расстояние от точки до прямой.

7. Уравнение поверхности. Уравнение сферы.

8. Общее уравнение плоскости. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

9. Уравнения прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

10. Определители и матрицы.

11. Решение систем линейных уравнений.

 

II. Дифференциальное исчисление

1. Функция и способы ее задания. Область определения и область значения функции.

2. Понятие предела функции; основные теоремы о пределах. Замечательные пределы, эквивалентные, бесконечно малые.

3. Непрерывность функции в точке на множестве. Точки разрыва функции и их классификация.

4. Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной, уравнение касательной.

5. Свойства производных, основные правила нахождения производных. Производная сложной функции. Таблица производных.

6. Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

7. Возрастающие и убывающие функции. Признаки возрастания и убывания функции на промежутке.

8. Локальные максимум и минимум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.

9. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба. Признаки выпуклости и вогнутости функции на промежутке.

10. Асимптоты функции. Исследование функции и построение графика.

 

III. Интегральное исчисление

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенных интегралов.

2. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

3. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

4. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла.

5. Метод замены переменной и интегрирование по частям для вычисления определенного интеграла.

6. Понятие о несобственных интегралах.

 

IV. Комплексные числа и действия над ними

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики

 

2. Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики

 

3. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Аналитическая геометрия, векторная алгебра

1-10. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны AB; 2) внутренний угол A в радианах с точностью до 0,01%; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину C; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника. Сделать чертеж.

1. А (1;1), В (7;1), С (4;5)

2. А (1;1), В (7;2), С (4;5)

3. А (1;1), В (7;3), С (4;5)

4. А (1;1), В (7;4), С (4;5)

5. А (1;1), В (7;5), С (4;5)

6. А (1;1), В (8;1), С (4;5)

7. А (1;1), В (8;2), С (4;5)

8. А (1;1), В (8;3), С (4;5)

9. А (1;1), В (8;4), С (4;5)

10. А (1;1), В (8;5), С (4;5)

 

11-20. Дано уравнение . Требуется:

1) доказать, что оно является уравнением сферы; 2) найти координаты центра и радиус сферы; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы и ось Oz; 4) составить уравнения прямой, проходящей через центр сферы и начало координат.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление

21-30. Найти пределы функций.

 

21. 1) при a) , b) , c) ;

2) 3) ;

4)

22. 1) при a) , b) , c) ;

2) 3) ;

4)

23. 1) при a) , b) , c) ;

2) 3) ;

4)

24. 1) при a) , b) , c) ;

2) 3) ;

4)

25. 1) при a) , b) , c) ;

2) 3) ;

4)

26. 1) при a) , b) , c) ;

2) 3) ;

4)

27. 1) при a) , b) , c) ;

2) 3) ;

4)

28. 1) при a) , b) , c)

 

2) 3)

 

 

4)

29. 1) при a) , b) , c) ;

2) 3) ;

4)

30. 1) при a) , b) , c) ;

2) 3) ;

4)

 

31-40. Найти производные заданных функций.

 

31. а) ; б)

в) г) .

32. а) ; б)

в) г) .

33. а) ; б)

в) г) .

34. а) ; б)

в) г) .

35. а) ; б)

в) г) .

36. а) ; б)

в) г) .

37. а) ; б)

в) г) .

38. а) ; б)

в) г) .

39. а) ; б)

в) г) .

40. а) ; б)

в) г) .

 

41-50. Вычислить приближенное значение , заменив в точке приращение функции дифференциалом.

 

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

 

51-60. Исследовать функцию и построить ее график.

 

51. 52.

 

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

 

61-70. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

 

61. а) ; б) ;

62. а) ; б) ;

63. а) ; б) ;

64. а) ; б) ;

65. а) ; б) ;

66. а) ; б) ;

67. а) ; б) ;

68. а) ; б) ;

69. а) ; б) ;

70. а) ; б) .

71-80. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .

 

71. 72. 73.

74. 75. 76.

77. 78. 79.

80.

 

81-90. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.

 

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.