Фрагмент решения задачи 2.1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: сформировать навыки решения нелинейных уравнений численными методами.

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы по каждой задаче:

1) постановка задачи;

2) необходимый теоретический материал;

3) результаты вычислительного эксперимента;

4) анализ полученных результатов;

5) графический материал (если необходимо);

6) тексты программ.

Варианты заданий к задачам 2.1-2.10 даны в ПРИЛОЖЕНИИ 2.A.

Основные теоретические сведения

1.1.Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корни уравнения

f(x)=0 (1)

на всей числовой оси или на некотором интервале .

Всякое значение , удовлетворяющее условию , называется корнем уравнения (1), а способ нахождения этого значения - решением уравнения (1).

Численное решение уравнения проводится в два этапа:

1 этап. Отделение корней уравнения.

2 этап. Уточнение интересующих корней с заданной точностью ε.

Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого их них достаточно малого отрезка [a,b], которому он принадлежит.

Уточнение корня – это вычисление интересующего корня с заданной точностью e.

Расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения.

Метод дихотомии (половинного деления, бисекций):

x = (a+b)/2, если ¦(a) ·¦(x)>0 => x^*Î [x,b] => a=x, иначе x^*Î [a, x] => b=x

Оценка количества итераций n, требуемых для достижения требуемой точности ε (на заданном отрезке [a,b]):

Условие завершения вычислений: длина отрезка не превышает заданную точность и значение функции близко к 0 с заданной точностью:

b-a ≤ ε ∩ |¦(x)| ≤ ε.

Метод простых итераций (метод последовательных приближений).

x_i=φ(x_i_-1), i=1,2,… где i − номер итерации

Условие сходимости

Условие завершения итерационного процесса:

Упрощенный метод Ньютона: , n=0,1,…

Условие окончания расчета:

где −корректирующее приращение или поправка.

Условие сходимости итерационного процесса:

Метод ложного положения: , n=0,1,…;

c-фиксированная точка из окрестности корня

Метод секущих: , n=0,1,…

Метод Стеффенсена: , n=0,1,…

Модифицированный метод Ньютона для поиска кратных корней:

, n=0,1,…, m=1,2,…

Индивидуальные задания

Задача 2.1. Даны два уравнения f(x)=0 и g(x)=0. Найти с точностью все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [ a, b ]. Для решения задачи использовать метод бисекции.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Найти аналитическое решение уравнения f(x)=0.

2. Локализовать корни f(x)=0 графически.

3. Найти корни уравнения f(x)=0 с точностью с помощью метода бисекции.

4. Найти корни уравнения f(x)=0 с точностью .

5. Аналогично п. 1-4 попытаться найти корни уравнения g(x)=0. Объяснить полученные результаты.

Фрагмент решения задачи 2.1.

=0, [a,b]=[0, ]

Аналитическое решение задачи:

, =1.31811607652818, =1.738244406014586

Численное решение задачи: Локализация корней для численного решения задачи:

Метод бисекции

(на примере работы пакета MATHCAD)

ПЕРВЫЙ КОРЕНЬ

bisec

Встроенная функция пакета MATHCAD

- задание начального приближения

Значение корня отличается от найденного с помощью функции bisec, так как по умолчанию величина погрешности при работе встроенных функций равна 0.001.

Переопределим параметр для задания погрешности

Значение корня с заданной точностью 1.3181160717.

ВТОРОЙ КОРЕНЬ

bisec

Значение корня с заданной точностью 1.7382444060, число итераций 32.

- задание начального приближения

Значения корней в пределах заданной точности совпадают.

Задача 2.2. Найти указанный в варианте корень уравнения f(x)=0 с точностью , двумя способами.

а) Использовать метод бисекции. Предварительно определить отрезок локализации [ a, b ].

b) Использовать метод Ньютона. В качестве начального приближения для метода Ньютона взять середину отрезка локализации из п. а).

Сравнить число итераций в п. a), b).

Задача 2.3. Локализовать корни уравнения f(x)=0 и найти их с точностью , используя метод простой итерации. К виду x= j (x), удобному для итераций, уравнение f(x)=0 привести двумя способами.

a) Преобразовать уравнение к виду x=x- a f(x), где a=2/ (M+m), , а x принадлежит отрезку локализации [ a, b ].

b) Любым другим преобразованием уравнения. Проверить достаточное условие сходимости метода.

Использовать критерий окончания итерационного процесса вида , где в п. a) q =(M-m)/(M+m), в п. b) .

Сравнить число итераций и значения величины q в п. a), b).

Задача 2.4. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью , используя методы простой итерации и Ньютона. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций).

Задача 2.5. Найти приближенно корень уравнения f(x)=0, принадлежащий отрезку [ a,b ], с точностью , используя модификацию метода Ньютона для случая кратного корня при значениях m =1,2,3,4,5. По числу итераций определить кратность корня.

Задача 2.6. (ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ)

Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью и , используя метод Ньютона и метод, указанный в индивидуальном варианте. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения .

Задача 2.7. Локализовать корни уравнения f(x)=0. Найти их с точностью и , используя метод Ньютона, упрощенный метод Ньютона и метод секущих. Сравнить скорость сходимости методов (по числу итераций) для каждого значения .

Задача 2.8. (ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ)

Найти приближенно все (в том числе комплексные) корни уравнения f(x)=0 с точностью , используя метод Ньютона.

УКАЗАНИЕ. Для поиска комплексных корней следует использовать комплексные начальные приближения.

Задача 2.9. (ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ)

a)Локализовать корни уравнения f(x)=0. Уточнить их с точностью , используя метод Ньютона. Для поиска кратного корня и определения его кратности следует использовать модификацию метода Ньютона для случая кратного корня с m =1,2,3. При любых ли начальных приближениях такой метод сходится?

b) Рассмотреть уравнение f(x)+d=0, где . Найти корень кратности 1, используя метод Ньютона. Применить для нахождения кратного корня соответствующую модификацию* метода Ньютона. Удается ли найти кратный корень? Если нет, то использовать метод Ньютона с комплексными начальными приближениями. Сохранился ли кратный корень? Объяснить результаты.

Задача 2.10. (ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ)

Функция y=f(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. На отрезке [1, 5] построить таблицу значений функции y=f(x) с шагом h =0.5, применяя один из методов численного решения нелинейного уравнения (с точностью ). Построить график функции y=f(x) на заданном отрезке.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.A.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 2

Таблица к задаче 2.1

N	f(x)	g(x)	[ a, b ]
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.1.7.			[5,25]
2.1.8			[0.1,10]
2.1.9			[0.1,2]
2.1.10
2.1.11
2.1.12
2.1.13			[0,3]
2.1.14			[0,2]
2.1.15			[0,3]
2.1.16
2.1.17
2.1.18
2.1.19
2.1.20
2.1.21
2.1.22			[0.001,3]
2.1.23			[0.1,35]
2.1.24			[0.01,3]
2.1.25
2.1.26			[-0.5,1.5]
2.1.27			[-1.5,0]
2.1.28			[1,3]
2.1.29			[0,3]
2.1.30			[0,5]

Таблица к задаче 2.2 Таблица к задаче 2.3

N	f(x)	Найти корень	N	f(x)
2.2.1		отрицательный	2.3.1
2.2.2		положительный	2.3.2
2.2.3		положительный	2.3.3
2.2.4		наибольший по модулю	2.3.4
2.2.5		все корни	2.3.5

Таблица к задаче 2.4

f(x)
N
2.4.1	4.545004	-3.055105	-18.06895	4.002429	4.722482
2.4.2	-2.656764	-3.406111	10.89372	-1.752935	-3.423612
2.4.3	-4.556062	2.93309	9.274868	-10.32081	0.422098
2.4.4	7.809249	16.28542	-2.771356	-27.95304	-11.33921
2.4.5	-13.0072	60.24546	-122.0716	105.6798	-30.19201

Таблица к задаче 2.5

N	f(x)	[ a, b ]
2.5.1		[0.8,1.2]
2.5.2		[0.3,0.7]
2.5.3		[0.5,1]
2.5.4		[0,1]
2.5.5		[0,0.7]

Таблица к задаче 2.6 Таблица к задаче 2.7

N	f(x)	Метод*	N	f(x)
2.6.1		упрощенный метод Ньютона	2.7.1
2.6.2		метод ложного положения	2.7.2
2.6.3		метод простой итерации	2.7.3
2.6.4		метод секущих	2.7.4
2.6.5		метод Стеффенсена	2.7.5