Численное решение дифференциальных уравнений с частными производными

Часто при моделировании физических процессов и явлений получаются уравнения, которые содержат функции нескольких переменных и частные производные от этих функций. Такие уравнения называются уравнениями с частными производными (или уравнения в частных производных).

Приведем примеры уравнений второго порядка с частными производными разных типов:

– волновое уравнение (гиперболическое)

;

– уравнение теплопроводности или диффузии (параболическое)

, ;

– уравнение Пуассона (эллиптическое)

.

Если правая часть последнего уравнения равна нулю , то оно называется уравнением Лапласа.

 

Решение дифференциальных уравнений рассматривается, как правило, для систем, ограниченных в пространстве и в течение конечного промежутка времени. Следовательно, решение уравнения ищется в ограниченной, в данном случае прямоугольной, области G:

 

. (1)

 

Для получения частного решения параболического уравнения (уравнения теплопроводности) необходимо задать одно начальное условие и два граничных. Начальное условие может быть задано в виде

 

, , (2)

 

где – заданная функция, определяющая значение функции в начальный момент времени .

Граничные условия задают значения функции при и могут иметь, например, следующий вид:

 

, , , (3)

 

где и – заданные функции.

Например, если – температура тонкого однородного стержня длинной l, то условия (2) задает начальное значение температуры каждой точки стрежня при , а условия (3) означают, что температура в начале и конце стержня задана в каждый момент времени, в частности, поддерживается постоянной и .

Геометрической интерпретацией искомого решения является поверхность в пространстве , которая проецируется на область G плоскости , причем в соответствии с (2) и (3) заданы три кривые, которые представляют собой края этой поверхности (рис. 7.1). Внутри области G значения функции неизвестны, поэтому неизвестна форма поверхности и ее требуется найти путем решения начально-краевой нестационарной задачи.

Для обеспечения единственности решения уравнения гиперболического типа (волнового уравнения) необходимо задать два начальных условия и два граничных условия. Начальные условия, как правило, задаются в виде:

 

, , , (4)

 

где и – заданные функции, определяющие значение функции и ее первой производной по t в начальный момент времени . Граничные условия задаются аналогично (3). Геометрически решению данной начально-краевой задачи соответствует поверхность в пространстве (рис. 7.1).

 

Наиболее распространенными и универсальными среди численных методов для решения уравнений с частными производными являются разностные (сеточные) методы. Как и в случае решения обыкновенных дифференциальных уравнений в их основе лежит идея дискретизации задачи и замене частных производных, которые входят в уравнения, их приближенными разностными отношениями. При этом исходное дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, называемой разностной схемой. Решая эту систему можно найти в узлах сетки значения сеточной функции, которые приближенно считаются равными значениям искомой функции.

В случае прямоугольной области G расчетная сетка строится следующим образом (рис. 7.2). Отрезок на оси x разбивается на n равных частей длины , при этом получается узловых точек , . Аналогично отрезок на оси y разбивается на m равных частей длины , при этом получается узловых точек , . Проводя через эти точки прямые, параллельные осям координат, получаем сетку, разбивающую область G на элементарные прямоугольные ячейки. Любой узел сетки, номер которого , определяется координатами . Решение задачи ищется именно в этих точках. Поскольку все ячейки построенной сетки одинаковы, такую сетку называют равномерной. Узлы сетки, лежащие на границе области G, называются граничными узлами; все остальные узлы – внутренними.

Аналогично вводятся сетки и для многомерных областей, содержащих более двух измерений.

Для построения разностной схемы, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные в уравнении приближенно заменяются конечно-разностными отношениями. При этом точные значения искомой функции заменяются значениями сеточной функции в узлах сетки.

 

Уравнение теплопроводности. Уравнение параболического типа возникает при рассмотрении так называемых явлений переноса, при которых происходят процессы передачи теплоты, массы, количества движения. В частности, к явлениям переноса относятся теплопроводность, диффузия, внутреннее трение. Рассмотрим типичную постановку начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности, описывающего, например, распространение тепла в однородном стержне постоянного сечения:

 

, , , ,

(5)

, , ,

 

где – начальное распределение температуры U вдоль стержня (при ); , – значения температуры на концах стержня в любой момент времени t. Коэффициент a определяется теплопроводностью k и удельной теплоемкостью l материала стержня ( ). Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т.е. , .

Введем равномерную сетку с помощью координатных линий ( ), ( ); h и t – шаги сетки по направлениям x и t, соответственно. Значения искомой функции в узлах сетки обозначим . Эти значения заменим соответствующими значениями сеточной функции , которые удовлетворяют уравнениям, образующим разностную схему.

Заменим в уравнении (5) частные производные искомой функции приближенными разностными отношениями:

 

,

 

Подстановка этих соотношений в (5) дает систему разностных уравнений для внутренних узлов сетки

 

,

(6)

,

 

Значения сеточной функции в граничных узлах сетки определяются начальными и граничными условиями:

 

, ,

(7)

, ,

 

Соотношения (6) в совокупности с дополнительными условиями (7) образует замкнутую систему уравнений называемую разностной схемой.

Совокупность узлов при фиксированном значении j называется слоем (в данном случае временн ы м слоем).

Схема (7.10) позволяет последовательно находить значения ( ) на -м слое через соответствующие значения на j -том слое:

.

 

() (8)

Если функция в правой части уравнения не равна нулю, то соотношение (8) примет следующий вид:

()+ (9)

 

Рассмотренная выше явная разностная схема (6) является условно устойчивой. Можно показать, что решение будет устойчивым только при выполнении условия

. (10)

 

Задание: Решить параболическое уравнение описывающее распределение температуры в,

стержне длиной L=5 на временном интервале Т=2, начальная температура стержня задается произвольной функцией

φ(x)=exp(0.15x). Температуры концов стержня равны .

Задаются параметры: L (длина стержня),T (временой интервал), N (число разбиений по длине),K (число разбиений по времени), a (коэффициент температуропроводности), .

На выходе: вектора x,t и матрица решений u