Самостоятельная работа № 2
Часть1
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
Цель: По опытным данным построить уравнение регрессии вида 
.
Задание: Рассматривается зависимость урожайности некоторой культуры yi от количества внесенных в почву минеральных удобрений xi. Предполагается, что эта зависимость квадратичная. Необходимо найти уравнение регрессии вида 
.
| х | ||||||||||
| у | 26,6 | 45,7 | 63,8 | 78,3 | 86,4 | 97,7 | 96,9 | 113,6 | 113,6 | 120,9 |
. Для нахождения коэффициентов 
нужно решить систему уравнений:
| сумма | |||||||||||
| х | |||||||||||
| у | 26,6 | 45,7 | 63,8 | 78,3 | 86,4 | 97,7 | 96,9 | 113,6 | 113,6 | 120,9 | 843,5 |
| х^2 | |||||||||||
| x^3 | |||||||||||
| x^4 | |||||||||||
| x^5 | |||||||||||
| x*y | 45,7 | 127,6 | 234,9 | 345,6 | 488,5 | 581,4 | 795,2 | 908,8 | 1088,1 | 4615,8 | |
| x^2*y | 45,7 | 255,2 | 704,7 | 1382,4 | 2442,5 | 3488,4 | 5566,4 | 7270,4 | 9792,9 | 30948,6 | |
| Регрессия | 28,32 | 49,12 | 68,26 | 85,74 | 101,56 | 115,72 | 128,22 | 139,06 | 148,24 | 155,76 | 175940,9 |
Теперь решаем систему уравнений:
| A= | |||
| Аобр.= | 0,00189 | -0,017 | 0,0227 |
| -0,017 | 0,166 | -0,259 | |
| 0,0227 | -0,259 | 0,618 |
| В= | 30948,6 |
| 4615,8 | |
| 843,5 | |
| Коэффициенты | -0,83 |
| 21,63 | |
| 28,32 |
| Получаем | у= -0,83х^2+21,63х+28,32 |
| Регрессия | 28,32 | 49,12 | 68,26 | 85,74 | 101,56 | 115,72 | 128,22 | 139,06 | 148,24 | 155,76 | 175940,9 |
Построим графики исходных данных и полученных на основании уравнения регрессии.
Часть2
Прогнозирование по Линейной множественной регрессионной модели
Задание 1.
Цель: По опытным данным построить уравнение множественной линейной регрессии и определить его характеристики.
Построим линейное уравнение множественной регрессии. Для этого предварительно исследуем матрицу парных коэффициентов корреляции.
| Х1 | ||||||||||
| Х2 | ||||||||||
| y | 30,8 | 31,1 | 30,4 | 31,7 | 30,5 | 33,5 | 34,5 | 32,9 |
Для общей оценки мультиколлинеарности факторов и адекватности регрессионной модели рассчитаем определители матриц 
. Сформируем полную матрицу парных коэффициентов корреляции.
| Х1 | Х2 | y | |
| Х1 | -0,91743 | 0,659697 | |
| Х2 | -0,91743 | -0,58054 | |
| y | 0,659697 | -0,58054 |
| R= | 0,088806 |
| R11= | 0,158314 |
Найдем теперь коэффициент множественной корреляции.
| Rху= | 0,662608 |
Результат 0,662608 говорит о в принципе высокой связи между фактором и функцией отклика.
Проведем теперь отбор факторов.
Факторы можно считать коллинеарными (интеркоррелированными), если их парный коэффициент по модулю больше 0,7. В нашем случае таких пар факторов нет. Все факторы можно считать независимыми друг от друга и использовать в регрессионном уравнении. Определим теперь влияние каждого фактора 
на функцию отклика Y. Для этого рассмотрим коэффициенты парной корреляции: Rx1x2=-0,91743, Rx1y=0,659697, Rx2y=0,58054. Видно, что третий коэффициент 0,58054 намного меньше по модулю, чем примерная граница 0,7, поэтому влияние третьего фактора Х2 на результат мало и его можно отбросить из рассмотрения.
| Линейная | 0,4167476 | 29,15607 | #Н/Д |
| 0,1678538 | 1,332298 | #Н/Д | |
| 0,4351998 | 1,523683 | #Н/Д | |
| 6,164302 | #Н/Д | ||
| 14,311112 | 18,57289 | #Н/Д |
Первая строка результата – значения параметров регрессионного уравнения 
- числа 
..Следовательно, уравнение регрессии имеет вид у=29,16х1+0,42х2.
Вторая строка – стандартные ошибки коэффициентов. Все они меньше самих коэффициентов, это значит, что коэффициенты значимы. Коэффициент детерминации=0,435, что говорит о наличии не сильной связи. идно, что F-критерий регрессионной модели равен 6,16. Проверим модель на адекватность. Вычислим критическое значение статистики.
| F-критическое= | 5,317655 |
Видно, что F-статистика больше ее критического значения, поэтому модель адекватна.
Задание 2.
Отобрать факторы и построить регрессионную модель для данных.
| Х1 | |||||||||||||
| Х2 | |||||||||||||
| Х3 | |||||||||||||
| Х4 | |||||||||||||
| Y |
| Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Y | |
| Х1 | -0,88994 | 0,376987 | 0,968184 | -0,9526 | |
| Х2 | -0,88994 | -0,59595 | -0,89719 | 0,878017 | |
| Х3 | 0,376987 | -0,59595 | 0,467119 | -0,43245 | |
| Х4 | 0,968184 | -0,89719 | 0,467119 | -0,97951 | |
| Y | -0,9526 | 0,878017 | -0,43245 | -0,97951 |
| R= | 0,00022 | |
| 0,005563 | |
| Rх | 0,980008 |
| Х1 | |||||||||||||
| Х2 | |||||||||||||
| Х3 | |||||||||||||
| Y |
| линейная | -0,10429 | 0,088831 | -1,05268 |
| 0,20954 | 0,389401 | 0,284517 | |
| 0,914202 | 1,061996 | #Н/Д | |
| 31,96598 | #Н/Д | ||
| 108,1572 | 10,15053 | #Н/Д |
| F-критическое | 6,991917 |
Из вышепоказанного видно, F-критическое меньше F-статистика, что говорит об адекватности модели.
