Теоретические сведения
Пускай 
‑ некоторое приближенное значение точного числа 
.
Если 
, то приближает с недостатком.
Если 
, то приближает с избытком.
Под абсолютной погрешностью 
приближенного числа понимают абсолютное значение разницы точного и приближенного значений
| (1.1) |
Под относительной погрешностью 
приближеннго числа понимают отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения числа. Часто относительная погрешность измеряется процентами точного значения
| (1.2) |
Известно, что любое число может быть представлено в форме десятичной дроби, конечной или бесконечной.
Приближенные десятичные числа выражаются лишь конечными десятичными дробями.
Говорят, что n первых значащих цифр десятичного числа точные, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половину единицы разряда, выражющего n -ю значащую цифру, считая слева направо, то есть если
| (1.3) |
то 
цифр точные.
При проведении расчетов с приближенными числами следует руководствоваться следующими правилами:
1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате должны сохраняться столько точных разрядов, сколько их в наименьшем из слагаемых.
2. Правило 1 имеет место в случае операций умножения и деления.
3. В случае операции возведения в степень следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.
4. Правило 3 имеет место для операции извлечения корня.
5. Во всех промежуточных результатах расчетов следует брать на одну – две цифры больше. В окончательных результатах они отбрасываются.
6. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с 
верными цифрами исходные данные следует брать с таким количеством точных цифр, чтобы получить 
точную цифру в результате.
Примеры
Пример 1.1.
Число 402,35 имеет абсолютную погрешность 
.
Очевидно, 
. Все цифры этого числа точные.
Пример 1.2. Округлить следующие числа до четырех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел А1=625,51; А2=0,0039227.
Решение
а1=625,5;
а2=0,003923;
Пример 1.3. Определить абсолютную погрешность приближенного числа по его относительной погрешности а=20,725, 
.
Решение
; 
;
Пример 1.4. Определить количество точных знаков чисел а1 и а2, если известны их абсолютные погрешности 
и 
:
Решение
а1 имеет три точные значащие цифры
а2 имеет две точные значащие цифры, поскольку
Пример 1.5. Определить количество точных знаков числа а, если известна его относительная погрешность :
Решение
Находим 
Поэтому, а имеет две точных цифры
.
Пример 1.6. Даны числа 
и 
с абсолютными погрешностями 
. Оценить относительную погрешность их разности 
.
Решение
а=1,137-1,073=0,064;
;
;
;
.
Таким образом, относительная погрешность разности в 35 раз больше относительных погрешностей исходных данных. Результат не имеет ни одной точной цифры.
Пример 1.7. Вычислить 
, считая, что все числа даны с точными знаками:
а1=3,2; а2=356,7; а3=0,04811; а4=7,1948; а5=34,56.
Решение
Наибольшую относительную погрешность имеет число а1=3,2:
.
Поэтому относительная погрешность результата составит также приблизительно 1,6%, то есть результат будет содержать две точные цифры.
Сохраним в исходных данных по три точных цифры (один запасной знак), получим
.
Абсолютную погрешность результата вычислим по его относительной погрешности
.
Округляем результат, отбрасывая запасной знак, получим а=0,22 с абсолютной погрешностью 
.
Пример 1.8. Найти сумму приближенных чисел 
:
а1=0,146; а2=321,5; а3=78,27; а4=39,1.
Все данные знаки точные.
Решение
Наибольшую абсолютную погрешность имеют числа а2=321,5 и а4=39,1. Поэтому можно считать, что абсолютная погрешность суммы составляет 
.
Округляем слагаемые по примеру а2 и а4, сохраняем один запасной разряд
а=0,15+321,5+78,27+39,1=439,02.
В окончательном результате запасной знак отбрасываем, получим
а=439,0.
К абсолютной погрешности 
прибавим погрешность округления 
. Тогда
.
Таким образом, 
.
Индивидуальные задания к лабораторной работе№1
1. Округлить числа А1, А2, А3 до четырех значащих цифр, определить абсолютные и относительные погрешности полученных приближенных чисел:
| Варіант | А1 | А2 | А3 |
| 22,5538 | 2,855 | 0,002836 | |
| 17,2834 | 17,283 | 0,0017215 | |
| 34,8341 | 6,426 | 0,006401 | |
| 10,8495 | 34,834 | 0,0034821 | |
| 24,5643 | 2,345 | 0,002339 | |
| 13,6253 | 10,844 | 0,0010799 | |
| 15,8071 | 8,241 | 0,008311 | |
| 24,3608 | 23,574 | 0,0023611 | |
| 83,7306 | 7,521 | 0,007511 | |
| 12,6095 | 27,156 | 0,0027133 | |
| 46,0453 | 15,873 | 0,0015865 | |
| 15,6044 | 1,543 | 0,001539 | |
| 32,7486 | 4,884 | 0,004881 | |
| 38,4258 | 35,711 | 0,0035721 | |
| 15,8405 | 5,843 | 0,0005825 |
2. Определить абсолютные погрешности чисел а1 и а2 по известным относительным погрешностям δ1и δ2:
| Вариант | a1 |  , %
| a2 |  , %
|
| 232,44 | 0,896 | |||
| 35,72 | 0,7 | 0,453 | ||
| 81,05 | 0,2 | 0,012 | ||
| 142,31 | 0,001 | 0,01 | ||
| 274,12 | 0,018 | 0,9 | ||
| 52,35 | 0,05 | 0,125 | ||
| 45,08 | 0,508 | |||
| 23,75 | 0,911 | |||
| 91,11 | 0,381 | |||
| 11,91 | 0,3 | 0,397 | ||
| 253,02 | 0,9 | 0,856 | 0,3 | |
| 311,45 | 0,231 | |||
| 76,62 | 0,052 | |||
| 32,51 | 0,086 | 0,7 | ||
| 199,99 | 0,2 | 0,111 | 0,1 |
3. Определить количество точных знаков чисел а1 и а2, если известны их абсолютные погрешности Δ1 и Δ2:
| Вариант | a1 | 
| a2 |
|
| 0.3941 | 0.25  10-2
| -0.12356 | 0.36 10-3
| |
| 0.1132 | 0.1 10-3
| -2.4543 | 0.32 10-2
| |
| 38.2543 | 0.27 10-2
| -8.3445 | 0.22 10-2
| |
| 293.481 | 0.1 | -3.7834 | 0.41 10-2
| |
| 2.325 | 0.1 10-1
| -13.537 | 0.005 | |
| 14.00231 | 0.1 10-3
| -13.6253 | 0.2 | |
| 0.0842 | 0.15 10-2
| -1.784 | 0.6 10-2
| |
| 0.00381 | 0.1 10-4
| -3.6878 | 0.1 10-2
| |
| 32.285 | 0.2 10-2
| -27.1548 | 0.2 10-3
| |
| 0.2113 | 0.5 10-2
| -0.8467 | 0.4 10-3
| |
| 22.553 | 0.16 10-1
| -0.98351 | 0.3 10-3
| |
| 6.4257 | 0.24 10-2
| -5.6483 | 0.8 10-2
| |
| 0.5748 | 0.34 10-2
| -32.7486 | 0.12 10-2
| |
| 2.3485 | 0.42 10-2
| -4.88445 | 0.5 10-3
| |
| 5.435 | 0.28 10-2
| -38.4258 | 0.14 10-2
|
4. Определить количество точных знаков числа а, если известна его относительная погрешность :
| Вариант | A | , %
|
| 3.87683 | 0.33 | |
| 0,088748 | 0,56 | |
| 23,75642 | 1,5 | |
| 72,354 | ||
| 46,7843 | 0,5 | |
| 24,3872 | ||
| 45,7832 | ||
| 8,24163 | 0,66 | |
| 8,25163 | 0,6 | |
| 0,3567 | 0,01 | |
| 0,85637 | ||
| 0,3945 | 0,15 | |
| 3,7542 | 0,8 | |
| 2,8867 | 0,04 | |
| 0,66385 | 0,001 |
5. Даны числа 
и 
. Все данные цифры этих чисел точные. Оцените относительную погрешность их разности . Оцените потерю точности результата по сравнению с исходными данными.
| Вариант | a1 | a2 |
| 2.855 | 2.836 | |
| 17.283 | 17.215 | |
| 6.426 | 6.401 | |
| 34.834 | 34.820 | |
| 2.345 | 2.339 | |
| 10.844 | 10.799 | |
| 8.241 | 8.300 | |
| 23.574 | 23.600 | |
| 7.521 | 7.506 | |
| 27.156 | 27.133 | |
| 15.873 | 15.865 | |
| 1.543 | 1.539 | |
| 4.884 | 4.880 | |
| 35.711 | 35.721 | |
| 5.843 | 5.825 |
6. Вычислить , считая, что все числа даны точными знаками. Оцените абсолютную и относительныю погрешности результата.
| Вариант | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 |
| 8,5 | 215,14 | 0,00975 | 9,375 | 17,81 | |
| 1,6 | 161,52 | 0,03611 | 11,562 | 45,32 | |
| 2,3 | 120,41 | 0,02972 | 30,12 | ||
| 1,2 | 122,57 | 0,01176 | 12,265 | 28,35 | |
| 3,8 | 152,81 | 0,03521 | 7,399 | 39,26 | |
| 6,9 | 392,85 | 0,02352 | 14,008 | 28,75 | |
| 7,2 | 411,12 | 0,01095 | 5,792 | 48,32 | |
| 1,5 | 392,24 | 0,00859 | 9,293 | 20,15 | |
| 3,2 | 225,55 | 0,02151 | 7,411 | 19,91 | |
| 5,8 | 109,53 | 0,01615 | 11,759 | 31,11 | |
| 6,1 | 235,21 | 0,00796 | 6,831 | 18,15 | |
| 2,4 | 352,12 | 0,01204 | 8,923 | 42,77 | |
| 2,7 | 117,59 | 0,1528 | 10,118 | 25,14 | |
| 5,6 | 297,17 | 0,00998 | 12,381 | 19,12 | |
| 4,7 | 361,12 | 0,03927 | 8,442 | 29,10 |
7. Найдите сумму приближенных чисел . Все данные знаки точные. Оцените абсолютную погрешность результата.
| Вариант | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 |
| 0,14532 | 211,63 | -61,95 | 0,007293 | 3,485 | |
| 0,41512 | 317,92 | -21,83 | 0,00899 | 11,753 | |
| 0,52161 | 157,11 | -41,52 | 0,008251 | 4,884 | |
| 0,14021 | 212,54 | -76,24 | 0,004021 | 3,451 | |
| 0,35221 | 125,32 | -51,81 | 0,000697 | 0,785 | |
| 0,58293 | 455,22 | -29,01 | 0,001512 | 12,570 | |
| 0,21114 | 421,93 | -51,20 | 0,000158 | 4,753 | |
| 0,42293 | 211,14 | -23,04 | 0,001901 | 14,285 | |
| 0,55522 | 500,93 | -57,82 | 0,002532 | 4,308 | |
| 0,35901 | 182,51 | -62,93 | 0,001253 | 5,200 | |
| 0,12532 | 109,92 | -53,82 | 0,006711 | 12,384 | |
| 0,21053 | 140,21 | -21,03 | 0,002792 | 6,204 | |
| 0,95901 | 251,61 | -23,54 | 0,001163 | 13,827 | |
| 0,70792 | 410,06 | -18,17 | 0,000179 | 5,408 | |
| 0,21454 | 415,93 | -71,23 | 0,006568 | 4,653 |
Лабораторная работа №2
Простейшие вычисления и операции в MATHCAD
Порядок выполнения работы
I. Вычислить значения арифметических выражений 25+ 
и 25+ 
.
| Указания. | Отображение на экране: |
| 1. Щелкните мышью по любому месту в рабочем документе - в поле появится крестик, обозначающий позицию, с которой начинается ввод. | 
|
| 2. Введите с клавиатуры символы в следующей последовательности: 25+12/3. | 
|
| 3. Введите с клавиатуры знак равенства, нажав клавишу <=>. Mathcad вычисляет значение выражения и выводит справа от знака равенства результат. | 
|
| 4. Щелкните мышью справа внизу возле цифры 3 и нажмите клавишу <Backspace> (справа во втором ряду клавиатуры). Теперь значение выражения не определено, место ввода помечено черной меткой и ограничено угловой рамкой. | 
|
| 5. Введите с клавиатуры цифру 4 и щелкните мышью вне выделяющей рамки. | 
|
6. Теперь удалим выражение с экрана. Щелкните мышью по любому месту в выражении 
| 
|
| 7. Нажимайте клавишу <Space> до тех пор, пока все выражение не будет выделено угловой синей рамкой. | 
|
| 8. Нажмите клавишу <Backspace> (поле ввода окрасится в черный цвет) и, нажав клавишу <Del>, удалите выделенное. Выражение исчезнет с экрана. | 
|
II. Вычислить значение выражения, содержащего переменные:
при t = 5, а = 9.8.
| Указания: | Отображение на экране: |
| 1. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры символы а:*. | 
|
| 2. Введите с клавиатуры символы 9. 8 и щелкните по свободному месту вне поля ввода. | 
|
| 3. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры t: 5, щелкните по свободному месту вне поля ввода. | 
|
| 4. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры а * t^2 <Space> / 2 <Space> <Space> = и щелкните по свободному месту вне поля ввода. | 
|
Если при вводе выражения была допущена ошибка, выделите неправильный символ угловой рамкой (щелкните мышью справа внизу возле символа), удалите выделенный символ (нажмите клавишу <Backspace>) и введите в помеченной позиции исправление.
Mathcad читает и выполняет введенные выражения слева направо и сверху вниз, поэтому следите, чтобы выражение для вычисления располагалось правее или ниже определенных для него значений переменных.
III. Определить функцию f(x) = 
, вычислить ее значение при х =1.2 и построить таблицу значений функции для х Î [0, 10] с шагом 1.
| Указания: | Отображение на экране: |
| 1. Щелкните по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f (х) = х + 1 <Space> / х ^ 2 <Space> + 1 и затем щелкните по рабочему документу вне поля ввода. | 
|
2. Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры  f( 1.2 )=.
Сразу после ввода знака равенства немедленно выводится вычисленное значение функции f(x) при х = 1.2.
| 
|
| 3. Задать дискретные значения аргумента х Î [0, 10] с шагом 1: щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры х: 0, 1; 10 и щелкните вне поля ввода. | 
|
| 4. Щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f(x)=. В результате под именем функции появится таблица значений функции. | 
|
IV. Построить график функции f{t) = 
.
| Указания: | Отображение на экране: |
| 1. Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры f(t):е х р (- t^2 <Space>) и щелкните мышью вне поля ввода. | 
|
2. Щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем - по кнопке  в панели математических инструментов и в открывшейся панели щелкните по кнопке.  .
| 
|
| 3. Курсор установлен в помеченной позиции возле оси абсцисс. Введите с клавиатуры имя аргумента t, затем щелкните по помеченной позиции возле оси ординат, введите с клавиатуры f(t) и щелкните вне прямоугольной рамки. | 
|
| 4. График получился невыразительным. Нужно определить промежуток изменения аргумента равным [—2, 2]. Для этого щелкните по полю графика, затем — по числу, задающему наименьшее значение аргумента (число в левом нижнем углу ограниченного рамкой поля графиков), нажмите на клавишу <Backspace> и введите с клавиатуры ”–2”. Аналогично измените вторую границу — вместо числа в правом нижнем углу поля графика введите 2. Щелкните мышью вне поля графика. | 
|
Выполните индивидуальные задания приведенные ниже. Подготовьте отчет по лабораторной работе в виде экранного документа.
Индивидуальные задания к лабораторной работе №2
I. Вычислить значения арифметических выражений:
| 1. | 
| 11. | 
| |
| 2. | 
| 12. | 
| |
| 3. | 
| 13. | 
| |
| 4. | 
| 14. | 
| |
| 5. | 
| 15. | 
| |
| 6. | 
| 16. | 
| |
| 7. | 
| 17. | 
| |
| 8. | 
| 18. | 
| |
| 9. | 
| 19. | 
| |
| 10. | 
| 20. | 
|
II. Вычислить значение выражения:
| 1. |  ,
при 
| 11. |  ,
при 
| |
| 2. |  ,
при 
| 12. |  ,
при 
| |
| 3. |  , при 
| 13. |  , при 
| |
| 4. |  ,
при 
| 14. |  , при 
| |
| 5. |  ,
при 
| 15. |  , при 
| |
| 6. |  , при 
| 16. |  , при 
| |
| 7. |  , при 
| 17. |  , при 
| |
| 8. |  , при 
| 18. |  , при 
| |
| 9. |  , при 
| 19. |  , при 
| |
| 10. |  , при 
| 20. |  , при 
|
III. Определить функцию f(x), вычислить ее значение при x=2,9 и построить таблицу значений функции для xО[2;12] с шагом 1. Построить график функции.
| 1. | 
| 11. | 
| |
| 2. | 
| 12. | 
| |
| 3. | 
| 13. | 
| |
| 4. | 
| 14. | 
| |
| 5. | 
| 15. | 
| |
| 6. | 
| 16. | 
| |
| 7. | 
| 17. | 
| |
| 8. | 
| 18. | 
| |
| 9. | 
| 19. | 
| |
| 10. | 
| 20. | 
|
Лабораторная работа №3
Численные методы решение нелинейных уравнений
Наиболее распространенными методами уточнения корней являются следующие: графического решения, деления пополам, хорд, касательных (Ньютона), комбинированный (хорд и касательных), итераций.
Все возможные случаи при уточнении корней можно классифицировать с помощью таблицы 3.1.
Таблица 3.1
| № вар. | СХЕМА | 
| 
| 
| 
| Нулевое приближение 
| |
| метод хорд | метод касательных | ||||||
| I | 
| ‑ | + | + | + | 
| 
|
| II | 
| + | ‑ | ‑ | ‑ |
|
|
| III | 
| + | ‑ | ‑ | + |
|
|
| IV | 
| ‑ | + | + | ‑ |
|
|
Дано уравнения 
, где 
‑ непрерывная функция, которая имеет в интервале 
непрерывные и знакопостоянные производные первого и второго порядков. Корень 
изолирован и отделен на , то есть выполняется условие 
. Необходимо уточнить корень с заданной степенью точности 
.
Рассмотрим некоторые из перечисленных выше методов.
Метод хорд
Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке дуга кривой 
заменяется стягивающей ее хордой. Искомый корень уравнения 
есть абсцисса точки пересечения графика функции с осью Ох.
1. Если имеют место варианты I и II, тогда 
на отрезке , то приближенные значения корней 
будут находиться внутри отрезков 
, 
, …, то есть недвижимым концом отрезка будет конец 
, а приближенные значения корней будут находиться по формуле
 ,
| (3.1) |
при этом 
2. Если имеют место варианты III и IV, тогда 
на отрезке , то приближенные значения корней будут находиться внутри отрезков 
, 
, …, то есть недвижимым концом отрезка будет конец , а приближенные значения корней будут находиться по формуле
 ,
| (3.2) |
при этом 
Выбор тех или других формул можно осуществить, пользуясь простым правилом: недвижимым концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной, а нулевое приближение выбирается согласно условия
 .
| (3.3) |
Процесс последовательного приближения к корню нужно продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие 
, где ‑ заданная точность; 
и 
- приближения, полученные на -м и 
-м шагах. При этом уточненное значение корня принимается 
.
Метод Ньютона (метод касательных)
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой 
касательной, проведенной к некоторой точке кривой. Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс дает нам первое приближение 
корня .
Любое 
-ое приближение корня определяется равенством
 .
| (3.4) |
Выбор нулевого приближения корня осуществляется таким образом:
если 
на , то 
;
если 
на , то .
Чем большее численное значение производной в окрестности данного корня, тем меньшая поправка, которую необходимо учитывать в -м приближении. Поэтому метод Ньютона особенно удобно применять тогда, когда в окрестности данного корня график функции имеет большую крутизну.
Если численное значение производной возле корня мало, то поправки будут большими и процесс уточнения корня может оказаться продолжительным. Если кривая близ точки сечения с осью Ох почти горизонтальная, то применять метод Ньютона не рекомендуется.
Точность приближения на -м шагу оценивается таким образом:
если , то 
.
Если производная мало меняется на отрезке , то для упрощения вычислений можно использовать формулу
 ,
| (3.5) |
то есть значение производной в начальной точке достаточно вычислить один раз.
Метод итераций или метод последовательных приближений
Для применения метода итераций (латинское "итерацио" ‑ повторение) исходное уравнение ( ‑ непрерывная функция) необходимо, во-первых, записать его в виде 
, во-вторых, выделить интервал изоляции корня этого уравнение и в-третьих, выбрать нулевое приближение корня . Для получения первого приближения в правую часть уравнения вместо 
подставляем , так что 
.
Следующие приближения образовываются по схеме
| (3.6) |
Таким образом, в результате применения некоторого одинакового процесса строятся последовательные приближения
При этом могут быть два случая:
1) процесс может сходиться, то есть последовательные приближения направляются к некоторой конечной границе , которая является корнем уравнения;
2) процесс может расходиться, то есть конечной границы построенных приближений существовать не будет; из этого не вытекает, что решения исходного уравнения не существует, просто могло оказаться, что процесс последовательных приближений избран неудачно.
Приближение нужно вычислять до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
,
где ‑ заданная предельная абсолютная погрешность корня .
Если 
и 
положительная вокруг корня, то последовательные приближения 
и 
сходятся к корню монотонно. Если же производная отрицательная, то последовательные приближения колеблются возле корня .
Примеры решения нелинейных уравнений
Пример 3.1.
Найти корень уравнения 
на отрезке [10, 12] методом хорд.
Решение
Вычисляем значение функции на концах отрезка: 
Поскольку 
, то за нулевое приближение принимаем 
и вычисление будем проводить по формуле (3.2).
.
Итак, 
. Это говорит о том, что истинный корень расположен в интервале [11, 12].
Повторяя процесс для определения второго приближения корня, получим 
, для которого значения функции 
. Теперь корень находится в интервале [11.17, 12]. В конце концов, третье приближение дает нам 
, для которого 
.
Таким образом, 
, то есть в данном примере на третьем шаге мы получили точное значение корня.
Пример 3.2. Методом касательных уточнить корень уравнения 
для 
, расположенный на отрезке [-2.75, -2.5].
Решение
По условию 
. Определяем вторую производную :
.
Таким образом, 
, поэтому 
.
Определяем значение первой производной в точке :
.
Для удобства дальнейшие вычисления сводим в таблицу 3.2.
Таблица 3.2
|
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
| -2.75 | -20.797 | 7.5625 | 22.6875 | -1.111 | 0.179 | |
| -2.571 | -16.994 | 6.6100 | 19.8300 | -0.164 | 0.026 | |
| -2.545 | -16.484 | 6.4770 | 19.431 | -0.053 | 0.008 | |
| -2.537 | -16.329 | 6.4364 | 19.309 | 0.020 | 0.003 | |
| -2.534 | -16.271 | 6.4212 | 19.2636 | 0.007 | 0.001 | |
| -2.533 |
Окончательно получим 
.
Пример 3.3. Методом итераций уточнить при 
корень уравнения 
, изолированный на отрезке [0, 1].
Решение
Приведем уравнение к виду . Это можно сделать следующим образом:
1. 
, тогда 
;
2. 
, тогда
