Вывод формулы для косвенных измерений момента тормозящей силы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

 

Цели работы

 

1.Оценить момент тормозящей силы, действующий на тело в процессе вращения.

2. Определить момент инерции тела с учетом момента тормозящей силы.

3. Произвести расчет моментов, пользуясь энергетическими соотношениями.

Описание установки

 

Установка представляет собой тело со шкивом, которое вращается в шарикоподшипниках. На шкив намотана нить, один конец которой прикреплен к шкиву, а другой – к подставке массой . На подставку могут помещаться подгрузки массой . Груз под действием силы тяжести может опускаться, приводя во вращение тело. После того, как груз от отметки h ₀ опустится на полную длину нити до отметки h ₁ (см. рис. 4.1), тело, вращаясь по инерции, поднимет груз снова на некоторую высоту до отметки h ₂.

В процессе движения часть механической энергии системы тело-груз расходуется на работу против тормозящей силы и, следовательно, превращается во внутреннюю энергию системы и окружающего воздуха, которые нагреваются. Из этого следует, что тело поднимет груз на высоту меньшую начальной, то есть отметка h ₂ всегда будет расположена ниже отметки h ₀. Тормозящая сила складывается из силы трения в подшипниках и из силы трения о воздух при движении тела и груза.

 

 

Рис. 4.1

 

ВЫВОД РАБОЧИХ ФОРМУЛ

 

Вывод формулы для косвенных измерений момента тормозящей силы

 

Для оценки момента тормозящей силы воспользуемся энергетическими соотношениями. Поскольку силы трения являются диссипативными, то работа тормозящей силы А _Т при переходе системы тело-груз из начального состояния в конечное равна

, (4.1)

где - механическая энергия системы тело-груз в начальном состоянии;

- механическая энергия системы тело-груз в конечном состоянии.

Механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий. В те моменты времени, когда система покоится, кинетическая энергия равна нулю и, следовательно, механическая энергия становится равной только потенциальной энергии системы. Такие состояния системы возникают в начальный момент времени, когда груз находится на отметке , и в тот момент, когда, спустившись вниз, груз за счет вращения тела поднимается до отметки (рис. 4.1). Если принять, что на высоте потенциальная энергия груза равна нулю, то приращение механической энергии для выбранных начального и конечного состояний системы равно

 

, (4.2)

 

где - расстояние между отметками и ;

- расстояние между отметками и .

Будем считать, что момент тормозящей силы в основном связан с вращательным движением тела, т. е. тормозящей силой, действующей на груз, пренебрежем. Тогда элементарная работа момента тормозящей силы равна скалярному произведению

,

где - вектор момента тормозящей силы;

- вектор бесконечно малого углового перемещения тела.

Оба вектора и направлены вдоль оси вращения, но в противоположные стороны. Следовательно,

 

.

 

Полная работа момента тормозящей силы, если предположить, что он постоянен, тогда равна

 

, (4.3)

 

где - угол поворота тела вокруг оси при переходе системы из начального состояния в конечное (груз при этом перемещается от отметки до отметки ).

При движении груза вниз от отметки до отметки со шкива сматывается нить длиной . Учитывая, что длина окружности шкива равна и каждый оборот шкива соответствует углу радиан, найдем угол поворота шкива при движении груза вниз:

 

радиан. (4.4)

 

Очевидно, что при дальнейшем вращении тела до момента, когда груз остановится на отметке , оно повернется на угол

 

радиан.

 

Тогда общий угол поворота тела, соответствующий переходу груза от отметки до отметки , равен

 

радиан. (4.5)

 

Подставляя (4.2) и (4.3) в (4.1) найдем

 

.

 

Отсюда, используя (4.5), получаем формулу для оценки модуля вектора момента тормозящей силы

 

. (4.6)