Анализ мгновенной мощности в индуктивном элементе

Проектирование и технология электронно-вычислительных средств

 

Пояснительная записка к

Лабораторной работе №2

на тему:

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

 

Руководитель:

Суханов А. В.

 

Выполнил:

ст. гр. ЭТМО-24 Белякова О. А.

 

 

 

МИЭТ 2012

СОДЕРЖАНИЕ:

Теоретическая часть 3

Практическая часть 6

Выводы 17

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Синусоидальный (гармонический) ток – периодический переменный ток, при котором мгновенные значения тока и напряжения изменяются по закону синуса (косинуса):

Рис. 1 Некоторый параметр изменяется по закону косинуса. Ось абсцисс – время либо текущая фаза, ось ординат – величина параметра. Высота пика – амплитуда его изменения, расстояние между двумя соседними пиками – период.

Напряжение - u(t) = U_m sin (ωt + φ)

Ток - i(t) = I_m sin (ωt + φ), где

U_m, I_m - амплитудные (пиковые - pk) значения

(ωt + φ) - электрическая фаза

φ - начальная фаза напряжения или тока

ω - угловая частота, ω = 2πf, (рад/сек), f - циклическая частота (Гц)

Т=1/f - период повторения (сек).

Действующие значения напряжения/тока за период Т – такие значения постоянных напряжения/тока, при которых падение мощности в цепи равно падению мощности при данном переменном токе.

I=√(1/T∫I_m²sin²(ωt + φ)dt)= I_m/√2; U=√(1/T∫U_m²sin²(ωt + φ)dt)= U_m/√2;

Частотные функции (комплексные выражения) действующих значений напряжения и тока (по формуле Эйлера e^(jφ) = cosφ + jsinφ; j=√(-1):

Ū = U e^(jφ) = U (cosφ + jsinφ) = (U1 + jU2), U = √ ((U1)² + (U2)²),

Ī = I e^(jφ) = I (cosφ + jsinφ) = (I1 + jI2), U = √ ((I1)² + (I2)²).

Действующее значение резистивного сопротивления и проводимости: R, g = 1/R. I_m=U_m/R, I=U/R, i(t)=u(t)/R;

Действующее частотное значение резистивного сопротивления и проводимости: R(ω), G(ω) - const (частотная независимость).

Действующие комплексные значения «R» и «G» сохраняются.

Действующее значение индуктивности – L (катушка индуктивности).

При переменном токе индуктивность обладает некоторым реактивным сопротивлением. Напряжение на ней равно U_L=L(di/dt).

Действующее частотное значение индуктивного сопротивления и проводимости: x_L = ωL; b_L = 1/x_L = 1/ωL.

Действующее комплексное значение индуктивного сопротивления и проводимости: X_L = jx_L = x_L e^(j90°), B_L = –jb_L = –j(1/ωL) = b_Le^(–j90°).

Действующее значение емкости C (конденсатор).

При переменном токе конденсатор также имеет некоторое реактивное сопротивление. Величина напряжения на нем равна U_C=1/C∫i(t)dt;

Действующее частотное значение емкостного сопротивления и проводимости: x_C = 1/ωC; b_C = 1/x_C = ωC.

Действующее комплексное значение емкостного сопротивления и проводимости: X_C = –jx_C = x_C e^(–j90°), B_C = jb_C = jωC = b_Ce^(j90°).

Действующее частотное значение полного сопротивления при последовательном соединении R, L, C элементов: z = √(R² + (x_L – x_C)²)= √ (R² + x²).

Im X_L

Z X Z

φ X R Re

R Re X_C

Рис. 2. Треугольник сопротивлений Рис. 3. Векторы сопротивлений (X=X_L-X_C)

Полная проводимость при параллельном соединении R, L, C элементов: y = √ (g² + (b_C – b_L)²).

Комплексные значения полных сопротивлений и проводимостей:
Z = z e^(jφ) = R + jx; φ = arctg (x/R) - сдвиг (разность) начальных фаз тока и напряжения Y = y e^(jΨ) = g + jb, Ψ = arctg (b/g) = (90⁰ – φ).

Полные комплексные значения мощностей:

Ŝ = Ū×Ï = P ± jQ = S e^(jφ). φ = arctg (Q/P) = arctg (x/R) - сдвиг (разность) начальных фаз тока и напряжения источника (ток по R, напряжение по Z).

Действующие значения мощностей.

Полная (смешанная) мощность S = U×I = √ (P² + Q²), (В*А).

Активная (резистивная) мощность P = S cos φ, P = I²R, (Вт) – мощность, потребляемая нагрузкой.

Реактивная (индуктивно-емкостная) мощность Q = S sin φ, Q = I²x, (В*A) - мощность, забираемая из цепи L и C и впоследствии возвращаемая в неё.

Практическая часть

Вариант 5

Задание 1:

По параметрам варианта рассчитать и записать аналитическое выражение (мгновенное значение) синусоидального сигнала (амплитуду, угловую частоту, период). Собрать схему эксперимента в Multisim, зафиксировать показания вольтметра, осциллографа, частотомера (V_RMS,V_peak,Т,(мс)_, f(Гц), Ψ_e(°)).

Дано:

V_RMS=42.3 В;

f=100 Гц;

Ψ_e=120°;

Исходя из этих данных, заполним таблицу:

 

Em, В	Частота f, Гц f=1/Т	Период Т, мс Т=1/f	Угловая частота ω, рад/с ω=2 f	Началь-ная фаза Ψe, °	Мгновенное, комплексное значения напряжения
Действующие значения (RMS - root-mean-square) VRMS=	Амплитудные значения, Vpeak= VRMS	Двойные амплитудные значения, размах (peak to peak) Vp-p, В Vp-p=2Vp
42.3	59.643	119.286	100			120	u=59.643sin(628t+120°)

V_peak= V_RMS=42.3 59.643 В;

V_p-p=2V_peak=119.286 В;

T=1/f=1/100=0.01 c= 10 мс;

ω=2 f=2 100=200

u=U_msin(ωt+ Ψ_e)= 59.643sin(628t+120°)

По формуле Эйлера,

Ū = U_m e^(jφ) = U (cosφ + jsinφ)= 59.643e^{j(628 t+120°)} = 59.643 (cos(628 t+120°) + jsin(628 t+120°))

 

Рис. 1.1. Экспериментальная схема в Multisim.

 

Рис. 1.2. Показания осциллографа.

 

 

Задание 2:

По аналитическому выражению (мгновенное значение) напряжения синусоидального сигнала рассчитать и записать действующее значение, амплитудное значение, полный размах напряжения, частоту, период, начальную фазу. Собрать схему эксперимента в Multisim, снять показания вольтметра, осциллографа и частотомера (V_{RMS ,} V_peak, Т,(мс)_, f (Гц), Ψ_e (°)). Изобразить мгновенное(i(t)), комплексное(J) значения напряжения на временной и векторной диаграммах.

 

Дано:

u(t)=310sin(314t-120°);

Учитывая, что, u=U_msin(ωt+ Ψ_e), заполним таблицу:

Em, В	Частота f, Гц f=1/Т	Период Т, мс Т=1/f	Угловая частота ω, рад/с ω=2 f	Началь-ная фаза Ψe, °	Мгновенное, комплексное значения напряжения
Действующие значения (RMS - root-mean-square) VRMS=	Амплитудные значения, Vpeak= VRMS	Двойные амплитудные значения, размах (peak to peak) Vp-p, В Vp-p=2Vp
219.9					314 100	-120	u=31sin(314t-120°)

V_RMS= V_peak/2^0.5 ;

V_peak= 310 В;

V_p-p=2V_peak=620 В;

ω=314

T=2π/ ω =2π/100π=0.05 c= 50 мс;

f=1/T=1/0.05=20 U=Гц;

Ψ_e=-120°;

По формуле Эйлера, Ū = U_m e^(jφ) = U (cosφ + jsinφ)=310e^{j(314t-120°)} = 310 (cos(100πt-120°) + jsin(100πt-120°)) B;

Ī =Ū/R=0.310e^{j(100πt-120°)} = 0.310 (cos(100πt-120°) + jsin(100πt-120°)) A=310 (cos(100πt-120°) + jsin(100πt-120°)) мА;

i, 100 мA/дел

-100

-200

t, 5 мс/дел

 

 

Рис. 2.1. Мгновенная сила тока i(t)

 

 

Im, j*mA

i₀

ω I_m =310 Re, mA

Ψ_e= -120°

Ī₀

 

 

Рис. 2.2. Комплексная сила тока Ī₀ в начальный момент времени.

Ī ₀= 0.310e^j(-120°) = 0.310 (cos(-120°) + jsin(-120°)) A=-0.310 (cos(60°) + jsin(60°)) A =-0.155(1+ j) A=-155(1+ j) mA;

Рис. 2.3. Экспериментальная схема в Multisim.

 

 

Рис. 2.4. Показания осциллографа.

Задание 3:

R элемент в линейной электрической цепи синусоидального тока. Используя аналитическое выражение источника ЭДС (данные из таблицы 2) собрать принципиальную электрическую схему с R элементом. Рассчитать мгновенное значение тока, напряжения, мощности, действующие комплексные значения тока, напряжения, мощности. Собрать схему эксперимента в Multisim, снять показания осциллографа (VRMS, Vpeak, Т,(мс), f(Гц), Ψe (°), i(t), u(t), p(t)).

Дано:

u(t)=310sin(314t-120°);

R₁ = 5 Ом;

R₂ = R_вн = 10 мОм = 0,01 Ом;

Исходя из этих данных, заполним таблицу:

Em, В	Частота f, Гц f=1/Т	Период Т, мс Т=1/f	Угловая частота ω, рад/с ω=2 f	Началь-ная фаза Ψe, °	Мгновенное, комплексное значения напряжения
Действующие значения (RMS - root-mean-square) VRMS=	Амплитудные значения, Vpeak= VRMS	Двойные амплитудные значения, размах (peak to peak) Vp-p, В Vp-p=2Vp
219.858		620	50		100	-120°	u=310sin(100 t+45°)

V_peak=310 В;

V_RMS=V_peak/2^0.5=219.858 В;

T=1/f=1/50=0.02 c= 20 мс;

ω=2 f=2 50=100

u=U_msin(ωt+ Ψ_e)= 310sin(100 t-120°);

По формуле Эйлера, Ū = U_m e^(jφ) = U (cosφ + jsinφ)=310e^{j(100πt-120°)} = 310(cos(100πt-120°) + jsin(100πt-120°))

Ū ₀= 310e^j(-120°) = 310 (cos(60°) + jsin(60°)) B

Im, j*В

Ū₀

ω Ψ_e=60°

U_m =310 Re, В

Рис. 3.1. Комплексное напряжение Ū₀ в начальный момент времени.

 

Рис. 3.2. Экспериментальная схема в Multisim.

 

 

Рис. 3.3. Показания осциллографа.

 

Мгновенное значение тока

Для резистивного сопротивления

Зависимость мощности от времени на резистивном сопротивлении

Задание 4.

L элемент в линейной электрической цепи синусоидального тока. Используя аналитическое выражение источника ЭДС (данные из таблицы 2) собрать принципиальную электрическую схему с L элементом. Рассчитать мгновенное значение тока, напряжения, мощности, действующие комплексные значения тока, напряжения, мощности. Собрать схему эксперимента в Multisim, снять показания осциллографа (V_{RMS ,} V_peak, Т,(мс)_, f (Гц), Ψ_e (°), i(t), u(t), p(t)).

V_RMS = 219.858 В

V_peak, =310 В

f = 50 Гц,

Ψ_e =-120°

Т,(мс) = 20 мс

По закону Ома находим ток протекающий через катушку индуктивности

Сопротивление катушки индуктивности

Ток протекающий через катушку индуктивности

Соотношение фазы напряжения и тока на индуктивности

Рис. 4.1. Экспериментальная схема в Multisim.

Рис. 4.2. Показания осциллографа в четвертом эксперименте.

Анализ мгновенной мощности в индуктивном элементе

Из аналитического выражения для мощности можно сделать вывод, что это знакопеременная функция, изменяющаяся с двойной частотой по отношению к частоте изменения напряжения U_L и тока I_L в цепи. Среднее значение мощности P_L(t) за период T равно нулю. В индуктивном элементе в первую четверть периода T напряжение U_L и ток I_L имеют знак плюс, поэтому мощность больше нуля, т.е. Индуктивный элемент потребляет электрическую энергию источника и преобразовывает её в магнитную, накапливая её в магнитном поле катушке. Во вторую четверть периода напряжение U_L и ток I_L имеют противоположные знаки, поэтому мощность отрицательна. В это время накопленная магнитная энергия возвращается источнику, преобразовываясь в электрическую энергию. В третьей четверти происходит накопление энергии в магнитном поле элемента L, в четвертой — её возврат источнику энергии.

 

Задание 5.

C элемент в линейной электрической цепи синусоидального тока. Используя аналитическое выражение источника ЭДС (данные из таблицы 2) собрать принципиальную электрическую схему с C элементом. Рассчитать мгновенное значение тока, напряжения, мощности, действующие комплексные значения тока, напряжения, мощности. Собрать схему эксперимента в Multisim, снять показания осциллографа (V_{RMS ,} V_peak, Т,(мс)_, f (Гц), Ψ_e (°), i(t), u(t), p(t)).

 

V_RMS = 219,858 В

V_peak, =310 В

f = 50 Гц,

Ψ_e =-120°

Т = 0,02 с

С= 5 нФ

Соотношение фазы тока и напряжения на конденсаторе

Реактивное емкостное сопротивление Ом

По закону Ома и

Рис. 5.1. Экспериментальная схема в Multisim.

Рис. 5.2. Показания осциллографа.

 

Анализируя мгновенную мощность в емкостном элементе

заключаем, что это знакопеременная функция времени, изменяющаяся в противофазе с реактивной индуктивностью мощностью PL

Среднее значение мощности Pc(t) за период рано нулю.

В ёмкостном элементе в первую очередь периода T напряжения Uc и ток Ic имеют разные знаки, это означает, что емкостной элемент в первую четверть возвращает накопленную электростатическую энергию источнику. Во вторую четверть периода ток и напряжение имеют одинаковое направление и следовательно конденсатор заряжается. В третьей четверти происходит вовзрат энергии, в четвертой зарядка конденстора энергией.

Вывод

Мы рассмотрели 3 случая задания значений источника ЭДС: V_RMS, V_peak, V_p-p;

во всех случаях показания вольтметра совпадают с V_{RMS ,} то есть оно показывает действующее значение напряжения U. Также мы рассчитали теоретически компоненты уравнения мгновенного напряжения и сверили их с показаниями осциллографа. Они сходятся с достаточно высокой точностью. Мы получили тригонометрические и комплексные уравнения u(t) и i(t) и построили по ним графики.

Мы научились переводить действующие значения E_m в амплитудное. Рассмотрели схемы с разными их значениями. Научились строить векторные диаграммы комплексных значений.