Находим свободную составляющую

Общее решение: t)

Для нахождения i₁(t) – тока в конденсаторе, определим U_C(t)

Запишем систему уравнений для напряжения на конденсаторе:

 

6) Определяем А₁ и А₂ из расчета системы при t=0 (начало переходного процесса)

 

По законам коммутации запишем независимые начальные условия:

Определим зависимые начальные условия из формулы

Подставляем значения в уравнение:

 

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

Суть операторного метода заключается в замене дифференциально-интегральных уравнений с вещественной переменной , алгебраическими уравнениями с некоторой комплексной переменной . Такая замена осуществляется за счет перевода решения из плоскости с переменной в плоскость с переменной .

Функции с вещественной переменной называются оригинальными.

Функции с комплексной переменной называются изображениями.

,

где - знак соответствия.

Для перехода от оригинала по найденному изображению используется прямое преобразование Лапласа:

Для определения оригинала по найденному изображению используют либо таблицы соответствия, либо формулу разложения.

,

где , -изображение искомой функции.

Составим операторную схему замещения:

 

Рассмотрим схему методом контурных токов. Найдем I₁(p)=I₁₁(p).

-квадратное уравнение такое же как в классическом методе

Приравниваем

Получаем корни

Производная:

По формуле разложения перейдем от I₁(p) к i₁(t):

 

Построим график закона изменения (t)

 

 

Задача №2

Дана Электрическая схема, на входе которой действует напряжение, изменяющейся во времени по заданному закону u₁(t). Требуется определить закон изменения во времени тока в одной из ветви схемы или напряжения на заданном участке схемы. Параметры цепи R,L,C заданы в буквенном виде.

Задачу требуется решить с помощью интеграла Дюамеля. Искомую величину следует определить (записать ее аналитическое выражение) для всех интервалов времени. В зависимости от условий задачи полный ответ будет содержать два или три соотношения, каждое из которых справедливо лишь в определенном диапазоне времени.

В каждом ответе следует выполнить приведение подобных членов относительно и выделить постоянную составляющую.

Определить

 

Формула интеграла Дюамеля:

Определим g(t)-переходную проводимость из расчета включения схемы на ЭДС E=1 В

Принужденное значение:

Свободная составляющая

Определим p-показатель затухания переходного процесса из расчета характеристического уравнения схемы:

z(p)=0 если числитель 3+4RCp=0

Определим A-постоянную интегрирования из расчета схемы при t=0

По 2 закону коммутации

-g(t)-переходная проводимость

1) Запишем интеграл Дюамеля для

На этом интервале:

Заменим для удобства на p

=>

2) Запишем интеграл Дюамеля для

На этом интервале:

 

Заменим на p

3) Запишем интеграл Дюамеля для

На этом интервале:

Заменим на p

 

«Нелинейные магнитные цепи постоянного тока»

Задача №3

1. Рассчитать магнитную цепь методом двух узлов и определить заданные величины.

2. Для принятых в п. 1 положительных направлений магнитных потоков и заданного направления МДС составить систему уравнений по законам Кирхгофа.

Указания: 1. Обозначения: l- длина средней магнитной линии одной ветви магнитной цепи; - длина воздушного зазора (его положение в магнитной цепи дано на схемах магнитопроводов); S- сечение участков магнитопровода; ω-число витков катушек; I -постоянный ток в катушке.

Обозначения величин даются с индексами, которые указывают, к какой ветви магнитной цепи относится та или иная величина; индекс 1-к левой магнитной ветви, 2-к средней, 3-к правой.

2.Магнитные свойства стали, из которой изготовлены магнитопроводы, определяются кривой намагничивания, которая дана в следующей таблице:

 

H, A/м
B, Тл	0,22	0,75	0,93	1,02	1,14	1,28	1,47	1,53	1,57	1,6

 

Схема замещения магнитной цепи.

Дано:

e₁=33,5 см=0,335 м e₃=45 см=0,45 м

S₁=7,6 см²=7,6×10^-4 м² S₃=11,3 см²=11,3×10^-4 м²

ω₁=500 ω₃=975

I₁=0,21 A ω₄=20

e₂=12 см=0,12 м I₄=0,5 A

S₂=12 см²=12×10^-4 м² Ф₃-Ф₁=20×10^-5 Вб

ω₂=400

I₂=0,05 A

Найти: I₃ и Ф₁

Составим уравнения по законам Кирхгофа для магнитных цепей:

(1)- по первому закону Кирхгофа

(2)-по второму закону Кирхгофа через U_мdk

Отсюда получаем:

(2.3)

I₃ – неизвестно

Магнитные потоки в ветвях схемы рассчитаем по формулам:

Магнитные напряжения определим по формулам (2.1), (2.2)

Значения магнитной индукции B и напряженности магнитного поля H берем из заданной по условию кривой намагничивания: B=f(H)

Расчетная таблица

Н, А/м	В, Тл	10 Вб	А	10 Вб	, А
			105.000		30.000
	0.22	1.672	98.300	2.640	27.600
	0.75	5.700	91.600	9.000	25.200
	1.02	7.752	78.200	12.240	20.400
	1.14	8.664	64.800	13.680	15.600
	1.28	9.728	38.000	15.360	6.000
	1.47	11.172	-29.000	17.640	-18.000
	1.53	11.628	-96.000	18.360	-42.000
	1.57	11.932	-163.000	18.840	-66.000
	1.6	12.160	-297.000	19.200	-114.000

По расчетным значениям построим графики , выразим из дополнительного условия Ф₃

и подставим Ф₃ в (1)

(3)

 

По графику находим точку “A”, где выполняется условие (3), перпендикуляром на ось U_мdk определяем U_мdk_{истинное}=25 A и находим на этом U_мdk_ист магнитные потоки

Проверка по первому закону Кирхгофа:

 

 

Ф,×10^-4 Вб

20

 

Ф₂

15

 

10,2

10

 

Ф₁

 

5

 

 

U_мdk

-300 -200 -100 0 30 100 200 A

 

U_мdk=25 A

 

 

Магнитная индукция в третьем стержне:

По заданной кривой намагничивания B=f(H) определяем напряженность магнитного поля H₃.

В, Тл

1,8

1,6

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 Н, А/м

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

 

Из уравнения (2.3) выразим I₃:

Проверка:

По кривой намагничивания:

Подставим найденные значения в уравнение (1):

 

 

Задача №4

Рассчитать периодические процессы в нелинейной электрической цепи по характеристикам для мгновенных значений и построить графики изменения требуемых величин во времени.

 

Соответствуя своему варианту №84, решаю задачу 3д.

Схема рисунка 4.25 имеет резисторы сопротивлениями R₁, R₂, два идеальных диода, вольт-амперные характеристики которых изображены на рисунке 4.21, а, два источника синусоидальной ЭДС: и (где n- численный коэффициент) и источник постоянной ЭДС Е₀. Значения Е_m, Е₀, R₁, R₂ и n даны в таблице.

 

Построить графики величин, указанных в таблице:

 

Вариант	Еm, В	n	Е0, В	R1, Ом	R2, Ом	Построить графики в функции времени
д		1,4				i1, i2

 

 

 

1) Напишем систему уравнений по Законам Кирхгофа для мгновенных значений величин:

 

2) Рассмотрим работу схемы на разных участках ВАХ диода

Участок (0-1): (диод открыт)

 

 

 

 

0,05-0,14sinωt 0,2sinωt

0,2

 

0,1

0,05

ωt₁=21⁰ 159 ωt

0 90⁰ 180⁰ 270⁰ 360⁰

 

-0,1

 

-0,2

 

 

 

 

Заключение:

При расчёте переходного процесса в линейной электрической цепи и в классическом, и в операторном методе пришли к одному и тому же решению. Оба эти метода можно применять для решения задач любой сложности. Каким из них пользоваться, во многом зависит от навыка и привычки. Однако, классический метод физически более прозрачен, чем операторный, в котором решение уравнений во многом формализовано. Если при сравнении этих методов исходить из объёма вычислительной работы, то решение уравнений первого, второго, а иногда и третьего порядков для источников постоянной (синусоидальной) ЭДС или тока целесообразно проводить классическим методом, а решение уравнений более высоких порядков - операторным. Объясняется это тем, что чем выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и трудоёмкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирования в классическом методе. Операторный метод имеет перед классическим явное преимущество при решении задач, в которых определение принуждённой составляющей искомой величины оказывается затруднительным вследствие сложного характера принуждающей силы.

Расчет и исследование нелинейных цепей во многих случаях производят графо-аналитическими методами, в основу которых положены законы Кирхгофа. Если ВАХ НС выражена аналитической функцией, то может быть выполнен и аналитический расчет (на основании законов Кирхгофа). При расчете нелинейных цепей вводят понятие статического и динамического (дифференциального) сопротивлений нелинейного элемента.

 

 

Список литературы и интернет-ресурсы

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: Учебник / Л.А. Бессонов. - М.: Юрайт, 2012.

2. Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е. и др. Сборник задач по теоретическим основам элек­тротехники. - М.: Высшая школа, 2000.

3. Прянишников В.А., Петров Е.А., Осипов Ю.М. Электротехника и ТОЭ в примерах и задачах: Прак­тическое пособие. - КОРОНА принт, 2003.

4.Теоретические основы электротехники: Методические указания и контрольные задания для студен­тов технических специальностей вузов / Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди и др. - М.: Высш. шк., 2003.