Рассматривается обусловленное потребление для случая покупки страхового полиса. Предполагается, что возможны два «состояния природы»: 1) неблагоприятное, при котором индивид терпит ущерб и 2) благоприятное. Условия страхового контракта таковы: К – стоимость страхового полиса (сумма страховки равна величине ущерба), r - величина страхового взноса.
Обозначим начальное богатство индивида через W0, через С1 – переменную, соответствующую величине дохода, которым будет располагать индивид при условии, что будет иметь место «состояние природы 1», через С2 – переменную, соответствующую величине дохода, которой будет располагать индивид при условии, что будет иметь место «состояние природы 2».
Рис. 1
Задание 11. Опишите координаты точки А, которая характеризует состояние индивида без страхового контракта.
Ответ: С1А =, С2А =.
Задание 12. Опишите координаты точки В, в которую возможно переместиться, купив страховой полис стоимостью К ден. ед.
Ответ: С1В =, С2В =
Задание 13. Выпишите уравнение бюджетной линии в пространстве обусловленного потребления (С1, С2):
Ответ:
Задание 14. Выпускнику МГУ (далее В) предложили два места работы. Безопасная
работа преподавателя с заработной платой 400 ден.ед в месяц. Либо опасная работа, связанная с риском – менеджером полукриминальной фирмы с заработной платой, равной W ден.ед. в месяц. Вероятность «неудачи» на последней работе оценивается в 40%.
Функция полезности В имеет вид: V (w) = 50 – (8000/w) - Н, где Н – параметр, значение которого Н = 10 при «неудаче» и Н = 0 в нормальной ситуации.
Какова должна быть премия за риск, чтобы В предпочел стать менеджером?
Ответ (обосновать):
Задание 15. Приведите определение относительной меры Эрроу-Пратта.
Обладает ли функция полезности V (С) = С1/3 свойством постоянности относительной меры Эрроу-Пратта.
Ответ (обосновать):
Задание 16. Приведите определение абсолютной меры Эрроу-Пратта. Приведите пример функции полезности, имеющей постоянную абсолютную меру Эрроу-Пратта.
Ответ (обосновать):
Задание 17. Пусть функция полезности Бернулли для некоторого индивида
имеет вид: V(C ) = C 1/2. Ему предлагается лотерея, в которой он может выиграть 10
с вероятность 2/3 или выиграть 4 с вероятность 1/3. исходный уровень богатства индивида равен 20. Определите:
1) цену продажи (продавца); Ответ (обосновать):
2) цену покупки (покупателя). Ответ (обосновать):
Задание 18. Перечислите типы равновесия на рынке некоторого товара с асимметричной информацией в зависимости от степени дифференциации товара
(рассматриваются две градации качества).
Ответ:
Задание 19. Доход индивида равен 50 ден.ед. Он может принять участие в следующей игре: бросается монета; если выпадет «орел», то он выиграет 1 ден.ед, если появится «решка» то он проиграет 0,6ден.ед.
Изобразите бюджетное ограничение индивида и линию равных возможностей данной игры в пространстве случайных товаров (С1,С2) на рис.2. Выпишите их уравнения.
Рис.2
Задание 20. Какой должна быть вероятность выигрыша в игре из задания 19, чтобы игра стала актуарно справедливой?
Экзаменационная работа по курсу
«Учет неопределенности в микроэкономических процессах»
(10 декабря 2009 г.)
ВАРИАНТ №
Задание 1. Перечислите основные элементы модели принятия решений в условиях неопределенности:
1)
2)
3)
4)
5)
Задание 2. Заданы составные лотереи: (L1,L2,L3; 1/3, 1/3, 1/3) и (L4,L5; 1/2, 1/2), где
L1 = (1/5, 2/5, 2/5), L2 = (0,1,0), L3 = (3/5, 1/5, 1/5), L4 = (2/15, 8/15, 1/3), L5 = (2/15, 2/3, 1/5).
Являются ли приведенные лотереи эквивалентными. Ответ обоснуйте.
Задание 3. Теорема ожидаемой полезности утверждает, что
 | |
| |
 | |
 |
Задание 4. Неравенство Йенсена:
выполняется тогда и только тогда, когда функция v (c).
Задание 5. Свойство строгой выпуклости вверх функции полезности Бернулли отражает определенное экономическое содержание. Выберите правильный ответ:
1) характер изменения предельной полезности денег строго зависит от начальной величины богатства;
2) предельная полезность от каждой последующей денежной единицы больше, чем от предыдущей;
3) предельная полезность денег одинакова для каждой дополнительной единицы;
4) предельная полезность от каждой последующей денежной единицы меньше, чем от предыдущей.
Задание 6. Приведите определение относительной меры Эрроу-Пратта.
Обладает ли функция полезности V ( C ) = C1/4 свойством постоянности относительной меры Эрроу-Пратта.
Ответ (обосновать):
Задание 7. Приведите определение абсолютной меры Эрроу-Пратта. Приведите пример функции полезности, имеющей постоянную абсолютную меру Эрроу-Пратта.
Ответ (обосновать):
Задание 8. Функция полезности студентки (выпускницы) медицинского института описывается следующей формулой: 
(с – уровень потребления, выраженный в тысячах ден. ед). Если она согласится пойти на административную работу, которую ей предложили в одном из медицинских учреждений, то она будет гарантированно получать 30 тыс. ден. ед. в месяц. В случае, если она будет работать по специальности педиатром, то ее доход составит 60 тыс. ден ед при подъеме рождаемости или 20 тыс. ден. Ед. при спаде рождаемости. Вероятность бума рождаемости равна 1/4, а вероятность спада – 3/4.
ОПРЕДЕЛИТЕ:
1) Отношение студентки к риску (постройте график функции полезности на рис.1).
Рис.1
2) Какой вариант выбора предпочтительнее для студентки?
3) Чему равен ожидаемый доход в случае работы педиатром?
4) На какой доход могла бы согласиться студентка на работе педиатром, чтобы избежать риска при спаде рождаемости?
5) Какой величины дохода готова лишиться студентка на работе педиатром, чтобы избежать риска при спаде рождаемости?
Задание 9. Лотерея L обещает выплату в размере 10 Д.Е, с вероятностью q либо 5
Д.Е. с вероятностью (1 – q). Обозначим цену, по которой индивид владеющей лотерей согласится ее продать (цена продажи) через РА, а цену, по которой индивид согласится такую лотерею купить (цену покупки) через Рв. Каково соотношение между РА и Рв, если функция полезности денег индивида имеет вид:
V© = aC – 0,5C2, a > 0, C < a?
. Задание 10. Менеджер совершенно конкурентной фирмы должен определить объем производства, максимизирующий прибыль, не располагая достоверной информацией о цене продукции и издержках. При этом он предполагает, распределение вероятностей цены таково:
| Цена | 15 ДЕ | 16 ДЕ | 17 ДЕ | 18 ДЕ |
| Вероятность | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
Что касается издержек: аналитический отдел фирмы оценил с помощью регрессионного анализа функцию средних переменных издержек как следующую:
AVC = 16 – 0,024Q + 0.00002Q2 , а величина постоянных издержек составляет 1000 ДЕ.
Объем производства, максимизирующий ожидаемую прибыль равен:
1) 820 2)960 3) 1120 4) 1263 5) 1294
Ответ обосновать:
Задание 11. Пусть элементарная функция полезности менеджера фирмы имеет вид:
V (w,e) = (w)1/2 – e2,
где w - заработная плата, е – усилия агента, причем переменная е может принимать лишь два значения: 1 или 2. Валовая прибыль Q в зависимости от усилий менеджера и ситуации на рынке может принимать три значения Q1 = 320, Q2 = 100, Q3 = 0. Вероятности достижения перечисленных уровней валовой прибыли при уровне усилий
е = 1 составляют 1/4, 1/4 и 1/2, соответственно, а при уровне усилий е = 2 соответствующие вероятности равны 1/2, 1/4 и 1/4.
Пусть полезность работника при альтернативной занятости равняется 6 (
= 6). Собственник фирмы нейтрален к риску и является монополистом на данном рынке труда.
1) Найдите равновесие (оптимальный контракт) при условии, что усилия менеджера наблюдаемы для собственника фирмы.
2) Найдите равновесие (оптимальный контракт) при условии, что усилия менеджера ненаблюдаемы для собственника фирмы.
3) Сравните ожидаемую заработную плату в пункте 2) с заработной платой в пункте
1). Сохранится ли это соотношение для любых значений параметров задачи и
произвольной вогнутой по w функции полезности менеджера? (Если вы считаете,
что сохранится, то докажите. Если вы полагаете, что найденное соотношение не
всегда имеет место, то приведите пример с обратным соотношением.
(Подсказка: вспомните неравенство Йенсена для вогнутых функций).
Задание 12.
Экзаменационная работа по курсу
«Учет неопределенности в микроэкономических процессах»
(10 декабря 2009 г.)
ВАРИАНТ №
Задание 1. Заданы составные лотереи: (L1,L2,L3; 1/3, 1/3, 1/3) и (L4,L5; 1/2, 1/2), где
L1 = (2 /5, 1/5, 2/5), L2 = (0,1,0), L3 = (1/5, 1/5, 3/5), L4 = (2/15, 8/15, 1/3), L5 = (2/15, 2/3, 1/5).
Являются ли приведенные лотереи эквивалентными. Ответ обоснуйте.
Задание 2. Основная Теорема оптимизации потребительского выбора в пространстве случайных товаров утверждает, что
| |
| |
| |
|
Задание 3. Свойство строгой выпуклости вниз функции полезности Бернулли отражает определенное экономическое содержание. Выберите правильный ответ:
1) характер изменения предельной полезности денег строго зависит от начальной величины богатства;
2) предельная полезность от каждой последующей денежной единицы больше, чем от предыдущей;
3) предельная полезность денег одинакова для каждой дополнительной единицы;
4) предельная полезность от каждой последующей денежной единицы меньше, чем от предыдущей.
Задание 4. Приведите определение линии равных возможностей в пространстве
случайных товаров. Чему равен наклон этой линии?
Задание 5. Неравенство Йенсена:
выполняется тогда и только тогда, когда функция v (c).
Задание 6. Приведите определение относительной меры Эрроу-Пратта.
Обладает ли функция полезности V ( C ) = lnC свойством постоянности относительной меры Эрроу-Пратта.
Ответ (обосновать):
Задание 7. Приведите определение абсолютной меры Эрроу-Пратта и пример функции полезности, имеющей постоянную абсолютную меру Эрроу-Пратта.
Ответ (обосновать):
Задание 8. Функция полезности индивида описывается формулой:
V(С) = 200 –150/C. Начальное богатство индивида составляет 50 Д.Е. У индивида есть две возможности выбора:
1) достоверно получить 10 ден.ед.;
2) принять участие в лотерее, где он может выиграть 3 ден.ед. с вероятностью 3/5 или
выиграть 1 ден.ед с вероятностью 2/5 с каждой поставленной на кон денежной единицы. Допустим, если он принимает участие в лотерее, то вкладывает в игру 10 Д.Е., вычитая их из своего начального богатства.
ОПРЕДЕЛИТЕ (ответы обосновать)
1) 
каково отношение индивида к риску (постройте график функции полезности Бернулли)?
2) что предпочтительней для индивида: играть или получить 10 ден.ед.? Приведите графическое обоснование решения.
Ответ:
3) чему равен ожидаемый выигрыш лотереи?
Ответ:
4) чему равен безрисковый эквивалент лотереи?
Ответ:
5) Какой величины дохода готов лишиться индивид, чтобы избежать риска?
Задание 9. Лотерея L обещает выплату в размере 10 Д.Е, с вероятностью q либо 5
Д.Е. с вероятностью (1 – q). Обозначим цену, по которой индивид владеющей лотерей согласится ее продать (цена продажи) через РА, а цену, по которой индивид согласится такую лотерею купить (цену покупки) через Рв. Каково соотношение между РА и Рв, если функция полезности денег индивида имеет вид:
V© = - е -ас, а > 0?
Задание 10. Менеджер фирмы – дуополиста решает повысить цену продукции. Он надеется, что с вероятностью 60% фирма – соперник примет его цену, а с вероятностью 40% - оставит прежнюю цену без изменения. В настоящий момент цена равняется 50 ДЕ.
Спрос фирмы описывается функцией Q = 8000 – 280P + 200PC, где PC - цена фирмы-конкурента. Предельные издержки фирмы постоянны и составляют 20 ДЕ.
Какую цену установит менеджер, максимизирующий ожидаемую прибыль?
1) 47,5 2) 52,50 3) 54 4) 62,50 5) 65
Ответ обосновать:
Задание 11. Пусть элементарная функция полезности менеджера фирмы имеет вид:
V (w,e) = (w)1/2 – e2,
где w - заработная плата, е – усилия агента, причем переменная е может принимать лишь два значения: 1 или 2. Валовая прибыль Q в зависимости от усилий менеджера и ситуации на рынке может принимать три значения Q1 = 320, Q2 = 100, Q3 = 0. Вероятности достижения перечисленных уровней валовой прибыли при уровне усилий
е = 1 составляют 1/4, 1/4 и 1/2, соответственно, а при уровне усилий е = 2 соответствующие вероятности равны 1/2, 1/4 и 1/4.
Пусть полезность работника при альтернативной занятости равняется 6 ( = 6). Собственник фирмы нейтрален к риску и является монополистом на данном рынке труда.
1) Найдите равновесие (оптимальный контракт) при условии, что усилия менеджера наблюдаемы для собственника фирмы.
2) Найдите равновесие (оптимальный контракт) при условии, что усилия менеджера ненаблюдаемы для собственника фирмы.
3) Сравните ожидаемую заработную плату в пункте 2) с заработной платой в пункте
1). Сохранится ли это соотношение для любых значений параметров задачи и
произвольной вогнутой по w функции полезности менеджера? (Если вы считаете,
что сохранится, то докажите. Если вы полагаете, что найденное соотношение не
всегда имеет место, то приведите пример с обратным соотношением.
(Подсказка: вспомните неравенство Йенсена для вогнутых функций).
Задание 12.
