Некоторые следствия соотношения неопределенностей

Закон Стефана-Больцмана устанавливает связь между энергетической светимостью и температурой тела: энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температу­ры

, (9)

где s=5,67×10^-8 Вт / м ²× К ⁴. Если (9) записать в виде где 0 <k< 1, то, зная k, можно вычислять для тел, не являющихся абсолютно черными.

Спектральная плотность энергетическойсветимости ( или ) может быть введена не только для интервала частот (4), но и для интервала длин волн:

. (10)

Закон смещения Вина: длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолют­но черного тела, обратно пропорциональна абсолютной темпе­ратуре тела

, (11)

где С =2,9×10^-3 м×К. На рис. 3 в соответствии с (11) l ₀₂ >l ₀₁, Þ Т ₁ >Т ₂. Площадь под кривой численно равна энергетической светимости абсолютно черного тела при соот­ветствующей темпе­ратуре.

Формулы Рэлея-Джинса и Планка. Чтобы найти вид функции Рэлей и Джинс исходили из классической теоремы о равном распределении внутренней энергии по степеням свободы, где на каждое электромагнитное колебание прихо­дится в среднем энергия kТ (по 0,5 kT на электрическую и магнитную энергию волны). Полученная формула

(12)

согласуется с опытом только при больших длинах волн (малых частотах). На рис. 4 представлены опытная зависимость r _{о l,} (кривая 1) и кривая 2, полученная из формулы (12). Интегрирование формулы (12) в пределах от 0 до ¥ дает для энергетической светимости бесконечно большие значения, что иронично называется "ультрафиолетовой катас­трофой". На самом деле при малых длинах волн не верна классическая формула (12). Чтобы получить согласующуюся с экспериментом формулу для f (w,Т)Планку пришлось ввести гипотезу, коренным образом противоречащую представлениям классической физики. В качестве модели Планк использовал полость с зеркальными стенками, внутри кото­рой находятся осцилляторы, которые являются элементар­ными излучателями и поглотителями электромагнитного излучения. Планк допустил, что осциллятор обладает дискретным спектром значений энергии и может изменить свою энергию только на величину, кратную где - постоянная Планка. В итоге была полу­чена формула Планка

. (13)

При малых w (больших l) эта формула переходит в формулу Рэлея-Джинса (12). Из формулы Планка можно получить эксперимен­тальные законы Стефана-Больцмана (интегрированием формулы (13) в пределах от 0 до ¥) и смещения Вина (если выразить универсальную функцию Кирхгофа в виде и решить задачу на нахождение экстремума). Гипотеза Планка о том, что электромагнитное излучение испускается и поглощается в виде квантов и вывод формулы (13) явились первым шагом в становлении квантовой физики.

 

КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Фотоэффект. Законы фотоэффекта. Внешним фотоэффектом называется испускание элек­тронов под действием электромагнитного излучения видимого и УФ -диапазона (рис. 5). Из­лучение попадает в откачан­ный баллон 1 через кварцевое окно 2. Напряжение между катодом (К) и анодом (А) регулируется с помощью потенциометра (П). Электро­ны, испускаемые фотокатодом, замыкают цепь, и микроамперметр фиксирует ток. Зависимость величины фототока I от напряжения U приведена на рис. 6. Начиная с некоторого напряжения U фототок дости­гает насыщения (I_н). С этого момента все электроны, испускаемые катодом, достигают анода. Интересно, что даже при малых отрицательных значениях U, не превышающих величину задерживающего потенциала U _з, фототок отличен от 0. Следовательно, кинетическая энергия некоторых фото­электронов оказывается достаточной для того, чтобы электроны попадали на анод. Величину U _з можно определить из условия:

где e - заряд, т - масса, _max - максимальная скорость фотоэлектрона. Максимальной скоростью обладают электроны, выбиваемые с поверхности металла. Опытным путем были установлены следующие законы фотоэффекта.

1. Фототок насыщения, возникающий при падении на фотокатод монохроматического потока излучения, пропорционален величине этого потока - закон Столетова

2. Максимальная скорость фотоэлектронов не зави­сит от величины потока, вызывающего фотоэффект, а опреде­ляется частотой падающего на фотокатод излучения

3. Для каждого металла существует некоторая мини­мальная частота w_min и соответственно максимальная длина волны l_max падающего излучения, при кото­рых еще имеет место фотоэффект. Эту длину волны l_max называют красной границей фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Фотоны. На основании волновой теории максимальная скорость электронов должна определяться не частотой излучения, падающего на фотокатод, а величиной соответствующего потока. Развивая идеи М. План­ка, А.Эйнштейн в 1905 г предпринял успешную попытку объяснения законов фотоэффекта. В соответствии с этой теорией энер­гия каждого кванта должна расходоваться на работу выхода электрона из металла (A)и сообщение фотоэлектрону кинети­ческой энергии. Формула Эйнштейна для фотоэффекта имеет вид

. (14)

Из этой формулы следует выполнение второго и третьего законов фотоэффекта. Найдем выражение для красной грани­цы фотоэффекта (для этого кинетическую энергию положим равной нулю). Минимальную энергию кванта, при которой еще возможен фотоэффект, определим из формулы (14):

, Þ Þ . (15)

Квант (фотон) имеет скорость c =3×10⁸ м/с, масса покоя его равна 0. Импульс фотона

(16)

где k - волновое число. Фотон движется в направлении распространения электромагнитной волны.

Эффект Комптона состоит в том, что при рассеянии рентге­новских лучей с длиной волны l _о, в рассеянном излучении присутствуют не только l _о, но и большие длины волн l >l _о. Согласно классической теории при рассеянии не должно быть изменения длин волн. Опыты Комптона показали, что эффект является результатом взаимодействия падающих на вещество рентгеновских фотонов со «свободными», т.е. слабее всего связанными электронами атомов. При этом смещение длины волны D l = l - l _о зависит только от угла рассеяния q и не зависит от рассеивающего вещества. Законы сохранения энергии и импульса (рис. 7) для взаимодействия рентге­новского кванта со свободным электроном имеют вид

(17)

(18)

где и - энергии, и - импульсы падающего и рассеянного фотонов; - энергия свободного электрона, масса которого ≈ массе покоя m ₀; и - энергия и импульс электрона после взаимодейст­вия с фотоном. Связь между энергией и импульсом релятивистского электрона (см. инварианты теории относительности) имеет вид

. (19)

Из (17) найдем ; Из (18)

и подставим в (19). После сокращений получим

(20)

Переходя к длинам волн, получим величину сдвига длины волны в эффекте Комптона

, или , м.

Величина D l весьма мала, и обнаружить ее можно только для рентгеновских лучей. Для видимого диапазона измерить столь малое изменение длины вол­ныпрактически невозможно. Наличие несмещенной компоненты в рассеянном излучении обусловлено внутренними электронами атомов рассеивающего вещества. Такие электроны уже нельзя считать свободными. Их энергия связи сравнима с энергией рентгеновских фотонов. В этом случае обмен энергией и импульсом рентгеновского фотона происходит с атомом как целым. Поскольку масса атома значительно превышает массу электрона, комптоновское смещение фотонов на таких атомах ничтожно, и длина рассеянной волны совпадает с длиной волны падающего излучения.

СТРОЕНИЕ АТОМА

Модель атома Томсона. Опыты Резерфорда по рассеянию a-частиц. Одну из первых моделей атома, согласно которой положительный заряд равномерно рас­пределен по всему объему атома, в который вкраплены электроны, предложил Томсон. Для проверки правильности этой модели в 1911-1913 гг. Резерфорд выполнил серию работ по рассеянию a -частиц (рис.8). Узкий пучок a -частиц от источника 1 падал на тонкую фольгу 2. На экране 3 в местах попадания a -частиц происходили вспышки, которые можно было наблюдать в микроскоп 4. Микроскоп можно было располагать под разными углами J. Вся установка находилась в откачанном объеме для предотвращения столкновений a -частиц с молекулами воздуха. Если справедлива модель Томсона (в атоме нет обра­зований сравнимых по массе и величине заряда с a -частицей), то послепрохождения металлической фольги a -частицы не должны были менять свое направление. Действительно, поч­ти все a -частицы не отклонялись от первоначального направ­ления, однако некоторые регистрировались под углами J¹ 0, в том числе примерно 0,01 % частиц отклонялись на углы J > 90°. Следовательно, основная масса атома сконцентрирована в весьма малом (по сравнению с самим атомом) положительно заряженном ядре размером ~10^-14 м (оценка Резерфорда), поэтому боль­шинство a -частиц пролетает, не встречаясь с ядрами, и не меняет своего направления. По Резерфорду в центре атома находится положительно заряженное ядро, а вокруг ядра вращаются электроны. Однако в соответ­ствии с классической электродинамикой, электрон, двигаясь с центростремительным ускорением вокруг ядра, должен излучать энергию и, в конце концов, упасть на ядро, т.е. атомы должны быть неустойчивыми системами, что противоречит опыту. Модель Резерфорда не могла разрешить это противоречие.

Постулаты Бора. Датский физик Н.Бор в 1913 г. создал теорию атома, в основе которой лежат два постулата:

1. Электроны в атомах могут находиться только на определенных стационарных орбитах, при этом не происхо­ дит ни излучения, ни поглощения энергии.

Условием стационарности орбит по Бору является квантование орбитального момента импульса электрона:

, где n = 1,2,3,…(21)

где m - масса электрона, - его скорость, r - радиус орбиты.

2. Излучение и поглощение энергии атомом происходит при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. При этом величина кванта излучения или поглощения равна разности энергий соответствующих стационарных состояний:

(22)

Первым доказательством существования дискретных энергетических уровней у атомов является опыт Франка и Герца (рис. 9). В трубке при пониженном давлении находят­ся пары ртути. Батарея Бс создает небольшое задерживающее поле (-0,5 В) между сеткой (С) и анодом (А). Ток регулируется потенциометром П. На рис. 10 представлена зависимость силы тока от напряжения между катодом исеткой. Наличие максимумов объясняется следующим образом. При U =4,9 В энергия электронов равна 4,9 эВ. Пока энергия электронов меньше этой величины столкновения между ними и атомами ртути носят упругий характер, энер­гия электронов при этом не меняется, с ростом U растет I. При достижении электроном энергии 4,9 эВ и больше столкновения перестают быть упругими. Электроны отдают атомам ртути энергию 4,9 эВ. Оставшейся энергии может не хватить для достижения ими анода. Следовательно, разность между двумя дискретными уровнями атома ртути составляет 4,9 эВ. При энергии электронов 9,8 эВ они могут дважды не упруго столкнуться с атомами ртути и т.д.

Теория Бора атома водорода и водородоподобных ионов. Водородоподобными ионами называются ионы, имею­щие один электрон, в частности, Не⁺, Li⁺⁺, Ве⁺⁺⁺_.. При движе­нии электрона по орбите имеет место второй закон Ньютона:

(23)

где е - заряд электрона, Zе - заряд ядра. Если (23) дополнить формулой (21) из первого постулата Бора, то можно определить радиус орбиты, скорость электрона на орбите, энергию элек­трона. Из (23) после сокращения на , следует

(24)

Поделим (24) на (21): , Þ . (25)

(25)®(23)® (26)

Полная энергия электрона на орбите складывается из кинетической и потенциальной энергии, причем потенциальная энергия отрицательна.

(27)

Из (23) следует ® (27). Тогда полная энергия равна

(28)

(26)®(28) ®

(29)

Таким образом, полная энергия электронов в стаци­онарных состояниях является отрицательной. Для атома водорода =1.

Закономерности в атомных спектрах. Недостатки теории Бора. Теория атома Бора позволила объяснить происхождение спектров атома водорода и водородоподобных ионов. Согласно Бору, частоты электромагнитных волн, излучаемых атомами, определяются разностью энергий стационарных состояний до и после излучения. К концу XIX было установлено, что атомные спектры состоят из отдельных линий, которые могут быть объединены в серии. Так, например, в спектре водорода фиксируется пять серий. В ультрафиолетовой области спектра наблюдается серия Лаймана, частоты линий которой подчиняются соотношению

(30)

где R - постоянная Ридберга. Для серии Бальмера (видимая область спектра) выполняется соотношение . (31)

Для частот линий всех серий справедлива формула

, (32)

При n ®¥, w ® . Это значение частоты называется границей серии. Теория Бора хорошо объясняет приве­денные выше закономерности. На рис. 11 представлены энергетические уровни атома водорода и переходы, соответст­вующие сериям Лаймана (a) и Бальмера (b) и Пашена (c). При больших значени­ях n уровни практически расположены непрерывно. Несмотря на успехи теории Бора, ей присущи и недостатки: 1) она не является ни последовательно классической, ни последовательно квантовой; 2) не объясняет устойчивости атома; 3) не позволяет создать теорию других атомов. Таким образом, теория Бора является только одним из этапов в создании более общей теории.

Гипотеза де Бройля. Вследствие двойственного характера электромагнитного излучения, особому микрообъекту фотону свойственен квантово-волновой дуализм: в одних опытах он проявляет квантовые (корпускулярные) свойства (фотоэффект, эффект Комптона), а в других - волновые (интерференция, дифракция). В 1924г. де Бройль предположил, что описанный выше дуализм присущ любым микрообъектам, например, электронам. Энергия и импульс фотона определяются формулами

; (33)

. (34)

Гипотеза де Бройля заключалась в том, что любому движущемуся микрообъекту могут быть сопоставлены длина волны и частота, выраженные из формул (33) и (34), т.е.

; . (36)

Например, для электрона, ускоренного в полях обычных электронных приборов(U ~1-10⁴) B, скорость можно определить из формулы , Þ

® (36), Þ , (37)

что ≈ длине волны рентгеновских лучей. Если размер приборов l~ 10 см, то l<<1, и волновые свойства пучка электронов в таких условиях непроявятся. Поэтому волновые свойства электронов стали искать на периодических структурах порядка межатомных расстояний, т.е. на кристаллических решетках. Так, в опыте Девиссона и Джермера (1927 г.) электроны отражались от поверхности монокристалла никеля (рис. 12) и затем попадали в цилиндр Фарадея (Ф), присоединенный к гальванометру. Большинство рассеянных электронов наблюдалось при угле j= 50^о (и ускоряющем напряжении 54 В),указывающем на отражение от атомных плоскостей кристалла Ni, отстоящих друг от друга на расстояния = 0,215 нм. Этот максимум можно истолковать, как максимум первого порядка от плоской дифракционной решетки с таким же периодом . Вычисление по формуле дифракционной решетки для первого максимума, , дает величину 0,165 нм, а

длина волны, вычисленная по формуле (37), оказалась равной 0,167 нм. Совпадение этих значений является прямым доказательством гипотезы де Бройля.

Другим опытом, подтверждающим гипотезу де Бройля, являются опыты по дифракции электронов на поликристаллической структуре металлической фольги (Тартаковский, Томсон). Оказалось, что полученная таким образом дифракционная картина (рис.13), эквивалентна рентгенограмме, полученной при дифракции рентгеновских лучей на той же структуре. Поскольку через металлическую фольгу проходило одновременно большое количество электронов, можно было говорить о волновых свойствах пучка электронов. Однако в 1949 г. в СССР Биберман, Сушкин и Фабрикант провели опыты при последовательном прохождении отдельных электронов через фольгу. При достаточно большой экспозиции была получена весьма похожая дифракционная картина, чем было доказано, что отдельный электрон обладает волновыми свойствами. Таким образом, экспериментально была подтверждена гипотеза де Бройля.

Свойства микрообъектов. Микрообъект может проявлять как квантовые (корпускулярные), так и волновые свойства. Но, строго говоря, микрообъект не является в классическом представлении ни частицей, ни волной. Отличие микрообъекта от волны состоит, например, в том, что он всегда обнаруживается как целое, нельзя наблюдать пол-электрона. Волну же с помощью полупрозрачного зеркала можно разделить на части. Микрообъект отличается и от макрочастицы тем, что к нему в общем случае не применимо понятие траектории. Это поясняет эксперимент, в котором параллельный пучок электронов падает на ширму с двумя щелями (рис. 14). Эксперимент аналогичен опыту Юнга для волн. Сначала закроем щель 2. Почернение на фотопластинке Фп представлено кривой 1(а). Закрыв щель 1, получим кривую 2 (а). Если открыть обе щели, то результат почернения (б) - не является наложением кривых 1 и 2, но подобен картине при интерференции волн от двух когерентных источников. Интересно, что попытка экспериментально определить, через какую именно щель проходит электрон, разрушает интерференционную картину. Следо­вательно, на движение электрона каким-то образом оказывают влияние обе щели, что не совместимо с представлением о траектории движения электрона. Волны де Бройля отличаются от объективно существующих электромагнитных волн. Например, невозможно заранее указать место на фотопластинке, в которое попадет электрон. Это вносит в рассуждения вероятностный характер. Поэтому волны де Бройля называют волнами вероятности. Интенсивность сопоставляемой микрообъекту волны в некоторой точке оказывается пропорциональной вероятности найти частицу в окрестности той же точки.

Критерий классического описания. В каких случаях можно ограничиться классическим описанием, а когда микрообъект ведет себя принципиально квантовым образом? Обобщение экспериментальных фактов приводит к следующему критерию. Если в данной физической системе значение некоторой физической величины с размерностью момента импульса сравнимо с постоянной Планка , то поведение этой системы может быть описано только в рамках квантовой теории. Если же значение указанной величины очень велико по сравнению с , то поведение системы с высокой точностью описывается законами классической физики.

Соотношение неопределенностей. Особые свойства микрообъектов, выражают сформулированные в 1927 г. В.Гейзенбергом соотношения неопределенностей: невозможно одновременное и точное определение координаты и импульса (или скорости) микрообъекта. Это утверждение математически можно записать в виде неравенств:

; ; (38)

где D х, D y, D z - неопределенности в определении координат частицы; Dp_x, Dp_y, Dp_z - неопределенности в определении соответствующихпроекций ее импульса.

Соотношение неопределенностей для энергии и времени записывается следующим образом:

(39)

где D Е - неопределенность энергии микрообъекта, a D t - время существования в состоянии с этой энергией. Например, если атом находится в возбужденном состоянии, то D Е - естественная ширина энергетического уровня, соответствующего этому состоянию, а D t - время жизни атома в возбужденном состоянии. Неопределенности обусловлены не недостаточной точностью измерительных приборов, а сущностью самих микрообъектов.

Покажем, что произведение неопределенностей имеет порядок величины постоянной Планка. Пусть микрообъект проходит через щель шириной D х (рис. 15), Þ неопределенность его координаты в момент прохождения щели равна D х. Оценим D р_х, допустив, что частица на экране окажется в пределах первого дифракционного максимума (угол j определяет направление на первый минимум, Þ ). Тогда , Þ , Þ

(40)

Подставляя длину волны де Бройля (36) → (40), получим , что с точностью до порядка величины в правой части, совпадает с (38). Подставляя в (38) p_x=mu_x, получим , Þ чем больше m, тем меньше неопределенность координаты и скорости. Поэтому для макрообъектов соотношения неопределенности учитывать не нужно.

Некоторые следствия соотношения неопределенностей

1. К микрообъектам неприменимо понятие траектории. Это вытекает из того, что Dх¹ 0. Однако в некоторых случаях, например при движении электронов в электромагнитных полях в вакуумных устройствах (электронно-лучевая трубка), Dх мало и практически можно говорить о траектории электронов.

2. Доказательство стабильности атома (электрон не падает на ядро). Радиус атома водорода ~10^-10 м, следовательно, для электрона в атоме водорода D x =10^-10 м. Если бы электрон упал на ядро, размеры которого 10^-14 м, то для него Dx=10^-14 м. Учитывая, что = 1,054·10^-34 Дж·с, из (38) получим

кг×м/с.

При этом импульс электрона должен иметь, по крайней мере, такой же порядок, а такому импульсу соответствует энергия электрона, при которой он должен вылететь из атома наружу.

Волновая функция. Развитием гипотезы де Бройля стало сопоставление движению микрообъекта волновой функции сделанное Шредингером. Свободное движение микрообъекта с определенной энергией и импульсом было предложено описывать волновой функцией, соответствующей плоской волне де Бройля. Эта функция имеет вид

, (41)

где - волновой вектор ( - волновое число, - нормаль к волновому фронту), - радиус-вектор частицы. Поскольку микрообъекту свойственен корпускулярно-волновой дуализм, волновая функция не может иметь прямого физического смысла. Однако М. Борном была дана статистическая интерпретация -функции, согласно которой квадрат ее модуля определяет вероятность (dP) того, что частица будет обнаружена в пределах некоторого объема dV.

(42)

где Ψ* - комплексно сопряженная функция по отношению кΨ; ибо этот интеграл определяет вероятность того, что микрообъект находится в одной из точек всего объема V, т.е. вероятность достоверного события. Условие, налагаемое на волновую функцию

(43)

есть условие нормировки, а функция, удов­летворяющая этому условию, называется нормированной. Из (42) следует, что

(44)

т.е. квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности нахождения микрообъекта в соответ­ствующем месте пространства.

Из смысла волновой функции следуют ее свойства: однозначность, конечность и непрерывность во всей области изменения, а также тот факт, по можно предсказать вероятность обнаружения микрообъекта в окрестности любой точки пространства.

Принцип суперпозции состояний является одним из фундаментальных положений волновой теории. Из классической механики известно, что при суперпозиции волновых функций получается новая волновая функция. Кроме того, существует состояние покоя, в котором волновая функция равна нулю во всех точках пространства. В квантовой механике результат суперпозиции волновых функций будет существенно иным. Если, например, система может находиться в двух состояниях с энергиями Е₁ и Е₂, которые описываются волновыми функциями и соответственно, то в результате суперпозиции этих состояний возможно состояние с волновой функцией

(45)

которая с вероятностью описывает состояние с энергией Е₁ и с вероятностью описывает состояние с энергией Е_2. Набор всех для любой физической величины (например, энергии) есть полная система собственных функций. Волновую функцию любого состояния можно разложить по собственным функциям:

(46)

Уравнение Шредингера. В 1926 г. Шредингер написал основное уравнение для квантово-механического описания материи. Применение это­го уравнения позволяет получить набор стационарных энер­гетических состояний в атомах, объяснить природу химичес­кой связи. Рассмотрим один из возможных путей получения уравнения Шредингера (это не вывод, поскольку уравнение Шредингера является основным постулатом квантовой физики). Параллельному пучку микрообъек­тов, движущихся вдоль оси X, в соответствии с (41) можно сопоставить волновую функцию

. (47)

 

По де Бройлю свободному движению частиц соответ­ствует плоская волна с частотой

(48)

и длиной волны

. (49)

(48), (49) ®(47) ® (50)

Найдем первую производную от этой функции по времени и вторую по координате

, Þ , (51)

, Þ , Þ

 

. (52)

Подставим (51) и (52) в выражение и получим уравнение Шредингера для свободной частицы, движущейся вдоль оси х:

. (53)

Если направление движения частиц не совпадает с осью х, то вместо (53) нужно написать

, или . (54)

Это уравнение называется уравнением Шредингера для сво­бодной частицы, т.е. частицы, не находящейся в потенциаль­ном поле. В этом случае можно разделить временную и пространственную части волновой функции, т.е. представить ее в виде произведения

. (55)

Подставляя (55) ® (54) получим , что после сокращения приводится к виду , или . (56)

Уравнение (56) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний свободной частицы. В общем случае стационарными состояниями называются состояния, для которых Е и | | не зависят от времени. При движении частицы в потенциальном поле

(57)

где Е - полная энергия частицы, Е_к - ее кинетическая энергия, U - ее потенциальная энергия. Для свободной частицы Е=Е_к, следовательно, в общем случае

. ( 58 )

Подставляя Е_к (58) ® (56) вместо Е, получим уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы, движущейся в потенциальном поле

. (59)

Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Пусть частица может двигаться только вдоль оси х (рис. 16) и не может выйти за пределы ямы. При этом U = 0, если 0 £ х £ l и U = ¥, если х< 0и х>l. Для одномерного случая из (59) получим

, (60)

и для области внутри ямы

. (61)

Обозначим и подставим в (61):

(62)

Это уравнение формально похоже на уравнение гармоничес­ких колебаний, только производная взята не по времени, а по координате. Поэтому решение уравнения (62) можно искать в виде

(63)

Отметим еще раз, что за пределами ямы частица оказаться не может. Поэтому вероятность обнаружить частицу вне ямы равна 0. Следовательно, из условия непрерывности волновой функции можно утверждать, что и на границах должны выполняться условия

, (64)

. (65)

Рассмотрим совместно (64) и (65).

Þ , Þ , Þ ; (66)

, Þ , Þ , где (67)

Взять n = 0 в формуле (67) нельзя, так как при этом волновая функция тождественно равна 0 и частица в яме отсутствует. Из (67) следует, что

, Þ .

Таким образом, энергия частицы в бесконечно глубо­кой яме квантуется и собственные значения этой энергии зависят от целого числа :

, (68)

Разность энергий двух соседних уровней увеличивается с ростом :

, (69)

(см. рис. 21). Подставляя в (63) , получим собственные волновые функции

. (70)

Величину а найдем из условия нормировки: . В данном случае

, где чертой отмечено среднее квадрата синуса, Þ , Þ

. (71)

Подставляя (71)→ (70), получим нормированныесобственные волновые функции

. (72)

На рис. 17 представлены графики изменения волновой функ­ции и квадрата ее модуля для первых трех значений n. Рассмотрим |ψ|² для п= 2. Наибольшая вероятность обнару­жить частицу имеем при x = l / 4и x = 3 l / 4,однако при х = l/ 2 |ψ|² = 0. Значит, в центре ямы и на её краях вероятность найти частицу близка к нулю (при n =2). Таким образом, частице в бесконечно глубокой яме нельзя приписать траекторию.

Квантовый гармонический осциллятор. В квантовой теории понятие силы теряет смысл, поэтому квантовый гармонический осциллятор определим как поведение микрообъекта массы с потенциальной энергией , такой же, как у классического осциллятора. Заметим, что график зависимости от х – парабола. Введем обозначение , тогда потенциальную энергию можно записать так

. (73)

Запишем одномерное уравнение Шредингера для объекта с таким видом потенциальной энергии, т.е. уравнение Шредингера для квантового гармонического осциллятора

. (74)

Мы не будем приводить решение этого уравнения из-за его сложности, однако отметим, что конечные, однозначные и непрерывные его решения могут иметь место только при собственных значениях энергии, равных

, (75)

Схема энергетических уровней квантового гармонического осциллятора представлена на рис.18. Видно, что уровни отстоят друг от друга на одинаковую величину. Минимальная энергия ¹ 0! То, что минимальная энергия квантового гармонического осциллятора не равна нулю (частица не может лежать на дне ямы) связано с принципом неопределенности. Если бы энергия равнялась нулю, то частица покоилась бы, и ее импульс и координата имели бы определенные значения, что противоречит принципу неопределенности. Детальный расчет показывает, что для квантового осциллятора допустимы лишь переходы между соседними стационарными уровнями энергии, при которых квантовое число v изменяется на единицу

. (76)

Это условие называется правилом отбора для квантового гармонического осциллятора.

Колебания молекул. В атомной физике к осциллятору сводятся задача о колебаниях молекул и многие другие важные задачи. На рис. 19 представлена типичная потенциальная кривая взаимодействия атомов для двухатомной молекулы, где r – расстояние между атомами. Вид кривой U (r) показывает, что атомы могут совершать колебания относительно равновесного расстояния между ядрами атомов и у молекулы должны существовать дискретные уровни энергии. Эти уровни также описываются формулой (75), но теперь , где приведенная масса молекулы . Нижняя часть потенциальной кривой совпадает с параболой (пунктир), поэтому нижние уровни эквидистантны, как у квантового гармонического осциллятора. Поэтому весь колебательный спектр должен состоять из одной линии в соответствии с правилами отбора (76). На самом деле спектр является колебательно-вращательным. По мере увеличения амплитуды (и интенсивности) колебаний накапливается их отклонение от гармоничности: уровни сгущаются с ростом квантового числа v и в формулу (75) необходимо вводить поправку на ангармоничность. Спектры – незаменимый источник информации для структурных исследований в физике и химии, так как они исключительно чувствительны к особенностям строения молекул и межмолекулярным взаимодействиям.

Атом водорода по Шредингеру. Атом водорода состоит из протона и электрона, где масса протона в 1836 раз больше массы электрона. Поэтому в первом приближении можно считать, что электрон движется в поле неподвижного протона. Уравнение Шредингера для электрона в атоме водо­рода имеет вид

(77)

где потенциальная энергия электрона в поле протона равна . (78)

Так как U = U (r), а не от х, у, z, то и уравнение Шредин­гера нужно записать в сферических координатах. Связь между сферическими и прямоугольны­ми координатами известна: . Решение уравнения Шрединге­ра в этом случае можно искать в виде . Нормальное состояние атома водорода сферически симметрично, значит, волновая функция зависит только от r. В этом случае оператор Лапласа в сферичес­ких координатах записывается просто:

(79)

а само уравнение Шредингера после подстановки (79, 78) ®(77), выглядит так

(80)

Сферически симметричную волновую функцию будем искать в виде

. (81)

Отметим, что такая функция имеет конечное значение при r =0, а при r ®¥, Находим первую и вторую производные (81) по r.

. (82)

Подставим (81,82)®(80) Þ ; сокращаем и группируем:

Это равенство должно выполняться при любых r, поэтому обе скобки должны в отдельности равняться нулю. Поэтому, решая систему, найдем величины а и Е:

		Þ					(83)
				(84)

Сравнивая (83) и (84) с формулами (26) и (29), видим, что они эквиваленты радиусу первой боровской орбиты атома водорода и энергии электрона на ней, т.е. можно записать:

(85)

Вероятность нахождения электрона в шаровом слое радиуса r и толщиной dr, равна

,

где 4pr²dr – это объем шарового слоя радиуса r.

Следовательно, для рассматриваемого основного состояния атома водорода расстояния от электрона до протона распре­делены с плотностью вероятности

При этом если r = 0, то w(r) = 0 и если r®¥, то w(r) ®0. Таким образом, имеется определенная вероятность обнаружить элек­трон на любом расстоянии от ядра от 0 до ¥. Вычислим расстояние, на котором эта вероятность достигает максиму­ма:

Þ , (86)

Следовательно, наибольшая вероятность соответствует расстоянию, равному ра­диусу первой боровской орбиты. Однако нужно иметь в виду, что в данном случае получилась сфера радиуса а₁, а не плоская орбита по Бору.Существенно, что мы не получили при такой постановке задачи квантования энергии. Однако при допущении пребывания электрона только в области, ограниченной объемом атома, квантование автоматически получается из уравнения Шредингера (80). А именно: обнаруживается, что требованиям однозначности, конечности и непрерывности -функции можно удовлетворить при любых положительных значениях энергии, но в области отрицательных значений – только при дискретных значениях

, =1, 2, 3, …,

что совпадает с формулой (29) в теории Бора и эксперименту. Именно этот случай соответствует связанным состояниям электрона в атоме, причем вместо орбиты по Бору объект описывается вполне квантовой -функцией. Выяснилось также, что собственные функции уравнения Шредингера (80) зависят от трех чисел, называемых квантовыми, которые описывают состояние электрона в атоме.

Квантовые числа. Состояние электрона в атоме водорода характеризу­ется тремя квантовыми числами: п, l, т.

п - главное квантовое число. Оно определяет дискрет­ные значения энергии электрона в атоме. Для атома водорода

(87)

Это квантовое число может принимать следующие значения: n = 1, 2, 3,…

l - орбитальное квантовое число. Оно характеризует орбитальный момент импульса электрона:

(88)

где l = 0,1,2,3,...(n -1). Из (88) следует, что орбитальный момент импуль­са электрона квантуется.

т - магнитное квантовое число - характеризует вели­чину проекции на направление внешнего магнитного поля:

(89)

m имеет следующие значения: m = 0, ±1, ±2,...,± l.

Пространственное квантование. Cледовательно, при данном значении l проекция орбитально­го момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля может принимать 2 l+ 1значение, кратное . Это связано с тем, что сам вектор может иметь только определенную ориентацию в пространстве относительно направления внешнего магнитного поля . Этот факт называется пространственным квантованием. На рис. 20 представлены возможные ориентации вектора относительно направле­ния внешнего магнитного поля.

В 1925 г. Гоудсмит и Уленбек предположили, что наряду с орбитальным моментом импульса электрона существует собственный мо­мент импульса электрона - спин и связанный с ним собственный маг­нитный момент. Электрон можно рассматри­вать как частицу, вращающуюся во­круг собственной оси. При таком вращении возникает собственный момент импульса. Можно ввести четвертое квантовое число ( спиновое) – т_S,которое характеризует проекцию собственного момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля.

(90)

где L_S - собственный момент импульса электрона. Квантовое число m_S может принимать только два значения m_S = ±1/2. В 1921 Штерн и Герлах опытным путем обнаружили пространственное квантование. Опыты ставились для определения магнитных моментов атомов первой группы таблицы Менделеева.

пучок атомов Ag

В нормальном состоянии у этих атомов орбитальные механические и магнитные моменты всех электронов, кроме одного – внешнего, скомпенсированы. Было установлено, что, попадая в сильное неоднородное магнитное поле, пучок атомов раздваивается. Так как в этом случае внешний электрон находится в состоянии с n= 1 и l= 0, раздвоение пучка объясняется различными ориентациями в магнитном поле собственного магнитного момента импульса электрона: либо параллельно, либо антипараллельно полю. Таким образом опыты доказали пространственное квантование спина. Впоследствии эксперименты с атомами в более высоких энергетических состояниях показали, что квантуется также и орбитальный момент импульса электрона.

Принцип Паули: в атомной системе не может быть двух электронов с одинаковым набором четы­рех квантовых чисел. Найдем, исходя из этого принципа, количество элек­тронов, находящихся в состоянии при данном значении главного квантового числа п. Так как магнитное квантовое число имеет 2 l+ 1 значение, спиновое - 2 значения, а орбиталь­ное квантовое число меняется от 0 до п- 1, то искомое количе­ство электронов равно

Из принципа Паули следует, что на одной атомной орбитали с соответствующими n, l и m могут находиться максимум два электрона с m_s = + ½ и m_s = - ½.

Многоэлектронные атомы. Чтобы построить многоэлектронный атом, нужно мысленно последовательно заселить все электронные орбитали, начиная с наиболее близких к ядру.

Введем некоторые обозначения, которые помогут компактно записывать электронные состояния. Электроны с различными значениями l обозначаются следующим образом:

l = 0, 1, 2, 3 ...

s p d f …

Комбинация главного квантового числа с буквой, характери­зующей орбитальный момент импульса электрона, позволяет записывать состояния электронов. Например, 2 s (n= 2, l= 0);4 d (n=4, l= 2). Электроны атома, имеющие одинаковое главное квантовое число, образуют слои: п = 1 – К-слой, п = 2–L-слой, n = 3 – М-cлой, п = 4 – N-слой и т.д.

Отметим, что у многоэлектронных атомов в отсутствие внешнего магнитного поля энергия электронов зависит только от квантовых чисел n и l и не зависит от m.

В 1869 г. Д.И. Менделеев открыл периодический закон изменения химических и физических свойств элементов в зависимости от их порядкового номера, который опре­деляется числом электронов в атоме. Проведем заполнение электронных состояний некоторых атомов в соответствии с принципом Паули (таблица).

Из таблицы видно, что сходство свойств элементов определяется характером заполнения электронных оболочек. Например, свойства интертных газов Не, Ne, Кr или щелочных металлов Li, Na, К.

Номер	Элемент	К-слой	L	M	N
элемента		S-эл-ны	s	p	s	p	d	s	p	d	f
	H He Li Be B Ne
	Na Mg Ar
	K Ca Sc Kr				123Следующая ⇒ Поделиться с друзьями: Дата добавления: 2016-09-03; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1056 | Нарушение авторских прав Поиск на сайте: Лучшие изречения: Студенческая общага - это место, где меня научили готовить 20 блюд из макарон и 40 из доширака. А майонез - это вообще десерт. © Неизвестно ==> читать все изречения... 1663 - | 1612 - © 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.191 с.