Вариационные ряды распределения

Построим вариационный ряд распределения регионов по величине выбросов в атмосферу.

Таблица 2.1

Вариационный ряд распределения регионов РФ по величине по величине выбросов в атмосферу загрязняющих веществ, от стационарных источников

Группы	Частота	Середина	Нак. Частота	Часность	Нак. часность	Xi * Fi	Xi –	(Xi – )^2	(Xi – )^2 * Fi
0,77 - 654,186		327,478		91,57%	91,57%	24888,328	-123,52	15257,68	1159584,021
654,186 - 1307,602		980,894		3,61%	95,18%	2942,682	529,89	280787,65	842362,9537
1307,602 - 1961,018		1634,31		1,20%	96,39%	1634,31	1183,31	1400222,56	1400222,556
1961,018 - 2614,434		2287,726		2,41%	98,80%	4575,452	1836,73	3373562,40	6747124,798
2614,434 - 3267,85		2941,142		1,20%	100,00%	2941,142	2490,14	6200807,18	6200807,18
Итого		-	-	-	100,00%	36981,91	-	-	16350101,51

Где рассчитывается по формуле:

= = = 445,56

Также, изобразим графически в виде гистограммы распределения и полигона, (см. рис. 2.1, 2.2)

Рис.2.1

Гистограмма распределения регионов РФ по величине выбросов в атмосферу загрязняющих веществ, от стационарных источников

Рис. 2.2

Полигон распределения регионов РФ по величине выбросов в атмосферу загрязняющих веществ, от стационарных источников

Построим кумуляту распределения регионов по величине выбросов в атмосферу, отложив по горизонтальной оси значения середины интервалов, а по вертикальной – накопленные частоты (см. рис. 2.3)

Рис.2.3

Кумулята распределения регионов РФ по величине выбросов в атмосферу загрязняющих веществ, от стационарных источников

Также построим огиву, отложив по горизонтальной оси значения накопленной частоты, а по вертикальной – середины интервалов. (см. рис. 2.4)

Рис.2.4

Огива распределения регионов РФ по величине выбросов в атмосферу загрязняющих веществ, от стационарных источников

Рассчитаем моду и медиану.

Модальным интервалом будет интервал 0,77 - 654,186 тыс.тонн., т.к. частота этого интервала наибольшая. Вычислим моду по формуле:

где x_Mo – нижняя граница модального интервала; x_Mo = 0,77

h_Мо – ширина модального интервала; = 653,416

f_Mo, f_Mo_-1и f_Mo₊₁ – частоты модального интервала, интервала, предшествующего модальному, и интервала, следующего за модальным.

f_Mo,=76; f_Mo_-1= 0;f_Mo₊₁= 3

В итоге:

Большинство данных регионов имеют величину выбросов около тыс.тонн.

Этот же интервал будет медианным, т.к. половина единиц совокупности (42) достигла значения внутри этого интервала. Вычислим медиану по формуле:

где х_Ме – нижняя граница медианного интервала,

h_Ме – ширина медианного интервала, h_Ме 653,416

S_Ме-1 – накопленная частота до медианного интервала, = 0

f_M_е – частота медианного интервала,

Итак, половина регионов имеют величину выбросов меньше тыс.тонн, а половина – больше.

Теперь же, найдем дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации по формулам, используя таблицу 2.1:

Коэффициент вариации величины выбросов равен %, что свидетельствует о большом разбросе значений данного признака и о том распределение не равномерно.

Перейдем ко второму признаку – число умерших от болезней органов дыхания. Построим вариационный ряд распределения.

Таблица 2.2

Вариационный ряд распределения регионов РФ по величине по величине числа умерших от болезней органов дыхания.

Группы	Частота	Середина	Нак. Частота	Частность	Нак. частность	Xi * Fi	Xi -	(Xi - )^2	(Xi - )^2 * Fi
19 - 830,5		424,75		55,42%	55,42%	19538,5	-540,45	292086,20	13435965,32
830,5 - 1642		1236,25		26,51%	81,93%	27197,5	271,05	73468,10	1616298,255
1642 - 2453,5		2047,75		13,25%	95,18%	22525,25	1082,55	1171914,50	12891059,53
2453,5 - 3265		2859,25		4,82%	100,00%		1894,05	3587425,40	14349701,61
Итого		-	-	100,00%	-	80698,25	-	-	42293024,71

Где рассчитывается по формуле:

= = = 972,27

Дадим графическое представление ряда в виде гистограммы распределения и полигона.(см. рис. 2.5 и 2.6). На основе накопленной частоты построим кумуляту и огиву распределения (см. рис. 2.7 и 2.8).

Рис. 2.5

Гистограмма распределения регионов РФ по величине числа умерших от болезней органов дыхания

Рис. 2.6

Полигон распределения регионов РФ по величине числа умерших от болезней органов дыхания

Рис. 2.7

Кумулята распределения регионов РФ по величине числа умерших от болезней органов дыхания

Рис. 2.8

Огива распределения регионов РФ по величине числа умерших от болезней органов дыхания

Модальным интервалом будет интервал 19-830,5 чел., т.к. частота этого интервала наибольшая. Вычислим моду по формуле:

где x_Mo – нижняя граница модального интервала; x_Mo = 19

h_Мо – ширина модального интервала; = 811,5

f_Mo, f_Mo_-1и f_Mo₊₁ – частоты с модального интервала, интервала, предшествующего модальному, и интервала, следующего за модальным.

f_Mo,=46; f_Mo_-1= 0;f_Mo₊₁= 22

В итоге:

Большинство данных регионов имеют величину числа умерших около

где х_Ме – нижняя граница медианного интервала,

h_Ме – ширина медианного интервала, h_Ме 811,5

S_Ме-1 – накопленная частота до медианного интервала, = 0

f_M_е – частота медианного интервала,

Итак, половина регионов имеют величину числа умерших меньше чел., а половина – больше.

Найдем дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации, используя таблицу 2.2:

Итак, коэффициент вариации числа умерших равен 73,42%, что свидетельствует о большом разбросе значений и о том распределение не равномерно.

Анализ взаимосвязи

Исследуем возможную взаимосвязь между этими двумя признаками: числом умерших от болезней органов дыхания и выбросами в атмосферу загрязняющих веществ, исходящих от стационарных источников.

Для выявления связи, определения ее направления и тесноты используется корреляционный анализ.

Сначала нужно установить наличие связи. Для этого проведем визуализацию связи, нарисовав поле корреляции (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Поле корреляции между числом умерших от болезней органов дыхания и выбросами в атмосферу загрязняющих веществ, исходящих от стационарных источников в регионах РФ.

На поле корреляции точки, соответствующие отдельным регионам, расположены в общем достаточно хаотично: нет единой линии, вдоль которой выстраивается большинство точек. Можно представить себе линию с сильным положительным наклоном, такую, которая бы включала большинство точек, но остается много точек, которые эта линия не захватывает. Это значит, что признаками можно выделить формальную очень слабую прямую связь, но фактически связь практически отсутствует.

Рассмотрим аналитическую группировку регионов, проведенную в 1 задании (см. табл. 1.4). По ней также видно, что явной связи между данными признаками не выявляется

Степень тесноты и направление связи можно определить с помощью правила сложения дисперсий:

где – общая дисперсия признака-результата, найденная в задании 2;

– средняя из внутригрупповых дисперсий;

– межгрупповая дисперсия, вычисляемая по формуле

, где – среднее значение по группе, – общее среднее, – число единиц в группе.

Найдем межгрупповую дисперсию на основании данных аналитической группировки (см. табл. 1.4) и вычисленного среднего значения из задания 2:

Таблица 3.1

Таблица расчета межгрупповой дисперсии

№ П/П	Интервал	Число регионов	Сумма		-
	0,77 - 654,19		69361,00	912,64	-52,43	2748,65	208897,27
	654,19 -1307,61		4991,00	1663,67	698,59	488041,96	1464125,88
	1307,61 -1961,03		2152,00	2152,00	1186,93	1408797,39	1408797,39
	1961,03 -2614,45		2228,00	1114,00	148,93	22179,46	44358,93
	2614,45 -3267,87		1369,00	1369,00	403,93	163157,60	163157,60
	Итого		80101,00	965,07			3289337,06

= = = 39630,56697

Найдем коэффициент детерминации

и эмпирическое корреляционное отношение

Такое низкое значение эмпирического корреляционного отношения показывает, что связь между данными двумя признаками практически отсутствует.

Проведем регрессию между данными двумя признаками на основании линейной зависимости где х – значения признака-фактора (выбросы в атмосферу), у – значения признака-результата (число умерших), – расчетные значения результативного признака. Данные для расчетов приведены в таблице 6.1.

Таблица 3.2

Расчеты для линейной регрессии

Регионы РФ	х	у	x*у	х²	у²
Алтайский край	197,24		383428,73	38902,43		853,9922
Амурская область	115,65		67076,42	13374,69		751,6936
Архангельская область	425,91		266193,75	181399,33		1140,712
Астраханская область	103,30		53303,32	10671,10		736,2112
Белгородская область	126,12		63818,24	15907,01		764,8264
Брянская область	32,55		21221,95	1059,44		647,4993
Владимирская область	31,26		24975,94	977,13		645,8819
Волгоградская область	194,86		315095,09	37971,98		851,0168
Вологодская область	411,66		309152,91	169459,84		1122,839
Воронежская область	75,08		137400,06	5637,31		700,829
г.Москва	60,10		196233,03	3612,25		682,0464
г.Санкт-Петербург	50,52		98774,42	2552,67		670,0371
Еврейская автономная область	19,14		2488,72	366,49		630,6916
Забайкальский край	146,30		168681,59	21403,10		790,1227
Ивановская область	38,81		32019,90	1506,37		655,3521
Иркутская область	560,26		1130038,37	313887,91		1309,162
Кабардино-Балкарская Республика	2,91		869,49	8,46		610,3342
Калининградская область	30,36		10716,73	921,67		644,7534
Калужская область	11,77		7282,54	138,42		621,4395
Камчатский край	34,64		4954,09	1200,21		650,1261
Карачаево-Черкесская Республика	19,08		3376,81	363,97		630,6088
Кемеровская область	1408,12		3030263,48	1982787,85		2372,243
Кировская область	109,39		130394,07	11966,39		743,8471
Костромская область	54,82		22092,06	3005,12		675,4224
Краснодарский край	150,15		325834,18	22546,22		794,9575
Красноярский край	2446,40		4254296,56	5984892,53		3674,094
Курганская область	58,01		43045,65	3365,51		679,4272
Курская область	36,88		40639,56	1359,99		652,9272
Ленинградская область	214,86		224527,66	46164,39		876,0874
Липецкая область	345,63		239865,14	119458,02		1040,05
Магаданская область	24,30		3864,18	590,64		637,1601
Московская область	193,64		622346,10	37494,90		849,4771
Мурманская область	280,56		85008,17	78711,11		958,4598
Ненецкий авт.округ	176,30		3349,64	31080,63		827,7367
Нижегородская область	160,57		279709,46	25782,08		808,015
Новгородская область	37,61		17753,34	1414,74		653,8488
Новосибирская область	233,49		310779,18	54518,98		899,4515
Омская область	214,18		241385,37	45874,79		875,241
Оренбургская область	646,81		924936,87	418361,88		1417,685
Орловская область	22,42		11143,73	502,75		634,8017
Пензенская область	21,70		17748,96	470,80		633,8939
Пермский край	321,87		500823,50	103597,72		1010,257
Приморский край	226,12		280836,07	51128,45		890,2019
Псковская область	20,75		12677,03	430,48		632,7027
Республика Адыгея	3,31		592,31	10,95		610,837
Республика Алтай	9,86		1755,44	97,26		619,0534
Республика Башкортостан	397,90		1236682,52	158326,80		1105,596
Республика Бурятия	96,25		73149,24	9263,87		727,3691
Республика Дагестан	19,53		33998,25	381,34		631,173
Республика Ингушетия	0,77		19,99	0,59		607,6522
Республика Калмыкия	2,21		247,52	4,88		609,459
Республика Карелия	105,52		39569,63	11134,26		738,9922
Республика Коми	598,28		327859,63	357943,74		1356,842
Республика Марий Эл	36,62		30357,98	1341,02		652,6037
Республика Мордовия	32,82		15818,76	1077,09		647,8379
Республика Саха (Якутия)	193,91		57977,60	37599,15		849,8144
Республика Северная Осетия-Алания	4,43		842,08	19,64		612,245
Республика Татарстан	268,26		537601,06	71965,57		943,0488
Республика Тыва	20,29		3287,47	411,81		632,1322
Республика Хакасия	96,16		36154,66	9245,98		727,2525
Ростовская область	175,24		265135,09	30708,36		826,4089
Рязанская область	131,79		99240,13	17369,39		771,9357
Самарская область	288,63		390515,04	83306,70		968,5833
Саратовская область	120,87		136700,58	14608,83		758,2362
Сахалинская область	115,82		36829,81	13413,58		751,9043
Свердловская область	1137,51		2869932,68	1293924,45		2032,944
Смоленская область	42,96		31233,37	1845,73		660,5556
Ставропольский край	64,24		61545,75	4127,29		687,2399
Тамбовская область	85,63		77582,59	7332,84		714,057
Тверская область	54,19		52619,46	2936,66		674,635
Томская область	359,96		215977,80	129573,36		1058,025
Тульская область	156,21		180270,96	24402,81		802,5558
Тюменская область	3267,85		4473682,54	10678824,02		4704,054
Удмуртская Республика	94,45		104083,90	8920,80		725,1134
Ульяновская область	31,33		20331,22	981,38		645,9671
Хабаровский край	114,42		87299,41	13091,02		750,1477
Ханты-Мансийский авт.округ-Югра	2201,04		1076306,60	4844559,47		3366,441
Челябинская область	798,38		1865818,73	637413,82		1607,733
Чеченская Республика	41,43		5758,21	1716,11		658,6297
Чувашская Республика	35,64		57803,21	1270,00		651,3712
Чукотский авт.округ	25,21		932,73	635,49		638,2961
Ямало-Ненецкий авт.округ	972,07		127341,56	944925,92		1825,515
Ярославская область	77,50		52003,84	6006,56		703,8633
Всего	22173,34		29221852,65	29228643,87	120658009,00	78157,00

Значения параметров a и b найдены по следующим формулам:

Видно, что расчетные значения признак-результата сильно отличаются от фактических, что свидетельствует о том, что выраженная линейная связь между данными двумя признаками отсутствует.

Построим империческую линию регрессии.

Рис3.1

Империческая линия регрессии.

Найдем коэффициент корреляции:

= 0,242

Вывод: Различными методами было обнаружено, что связь между величиной числа умерших от болезней органов дыхания и выбросами в атмосферу загрязняющих веществ, исходящих от стационарных источников в 83 регионах РФ на 2010 год, практически отсутствует.

Ряды динамики

В таблице 4.1 приведены данные о числе умерших от болезней органов дыхания в Псковской Области за период с 2000 по 2010 год.

Таблица 4.1

Число умерших от болезней органов дыхания в Псковской Области.

Годы	Число умерших от болезней органов дыхания, чел.

Рассчитаем цепные и базисные показатели динамики по формулам:

– абсолютное изменение: Δ_ц= у_n – y_n_-1, Δ_б = y_n – y₀;

– коэффициенты роста: ;

– коэффициенты прироста: К_пр = К_р – 1;

– темпы роста и темпы прироста: Т_р = К_р ∙ 100%, Т_пр = К_пр ∙ 100%,

где у_n – значение показателя в текущем периоде, y_n_-1 – в предыдущем периоде, а y₀ – в базисном (2000 году) периоде.

Результаты занесены в таблицу 4.2.

Таблица 4.2

Цепные и базисные показатели динамики числа умерших от болезней органов дыхания в Псковской Области

Годы	Число умерших, чел..	Δ		К_пр	Т_р	Т_пр
ц	б	ц	б	ц	б	ц	б	ц	б
		-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
		-20	-20	0,974	0,974	-0,026	-0,026	97,39%	97,39%	-2,61%	-2,61%
				1,071	1,043	0,071	0,043	107,1%	104,3%	7,1%	4,3%
		-35	-2	0,956	0,997	-0,044	-0,003	95,63%	99,74%	-4,38%	-0,26%
		-43	-45	0,944	0,941	-0,056	-0,059	94,38%	94,13%	-5,62%	-5,87%
		-56	-101	0,922	0,868	-0,078	-0,132	92,24%	86,83%	-7,76%	-13,17%
		-10	-111	0,985	0,855	-0,015	-0,145	98,5%	85,53%	-1,5%	-14,47%
		-84	-195	0,872	0,746	-0,128	-0,254	87,2%	74,58%	-12,8%	-25,42%
			-146	1,086	0,81	0,086	-0,19	108,57%	80,96%	8,57%	-19,04%
		-10	-156	0,984	0,797	-0,016	-0,203	98,39%	79,66%	-1,61%	-20,34%
		-93	-249	0,848	0,675	-0,152	-0,325	84,78%	67,54%	-15,2%	-32,46%

Из таблицы видно, что на протяжении всего рассматриваемого периода число умерших от болезней органов дыхания уменьшалось. Наибольшее абсолютное изменение числа умерших наблюдалось в 2010 г., когда данный показатель уменьшился на 93 чел. по сравнению с предыдущим годом. В этом же году наблюдался наименьший темп прироста числа умерших от болезней органов дыхания (32,46%).

Рассчитаем средние показатели ряда динамики.

1. Так как данный ряд динамики является интервальным, то средний уровень ряда можно вычислить по средней арифметической простой (n – число уровней ряда):

2. Среднее абсолютное изменение – это среднее арифметическое от абсолютных изменений за каждый год. Его можно вычислить следующим образом:

3. Средний коэффициент роста – это среднее геометрическое из цепных коэффициентов роста за отдельные периоды времени динамического ряда. Используя связь между цепными и базисными показателями, его можно вычислить следующим образом:

Используя взаимосвязи между коэффициентами и темпами роста и прироста, находим эти средние показатели:

= ∙ 100% = 96,15%;

= – 1 = - 0,0385;

= ∙ 100% = -3,85%.

Итак, средний уровень числа умерших за рассматриваемые годы составил В среднем за каждый год числа умерших уменьшился на чел. Средний темп прироста фонда заработной платы в год составил -3,85%.

Произведем сглаживание ряда динамики методом трехлетней скользящей средней. Сглаженные уровни ряда будут считаться по формуле:

Произведем также аналитическое выравнивание ряда динамики по формуле , где – расчетные значения уровней ряда, а t – время, которое для удобства принимает значения –5, –4, …, 4, 5 (при этом средний уровень ряда соответствует t=0 и сумма всех значений t также равна нулю). Для расчета коэффициентов a и b составим таблицу 5.3, куда занесем также сглаженные уровни ряда методом скользящей средней.

Таблица 4.3

Сглаживание и аналитическое выравнивание ряда динамики

Годы	Число умерших, чел.	Условное обозначение времени	Квадрат	Произведение	Расчетные значения
Символы	y	t	t²	yt
		-5		-3835	803,09
		-4		-2988	777,84
		-3		-2400	752,58
		-2		-1530	727,33
		-1		-722	702,07
					676,82
					651,56
					626,31
					601,05
					575,80
					550,55
Итого:				-2778

Данные коэффициенты показывают, что средний уровень выровненного ряда динамики числа умерших составляет чел. Выровненные значения числа умерших равномерно убывают на чел. в год.

Графически фактический и выровненный ряды показаны на тренде ряда динамики (рис. 4.1)

Рис. 4.1

Тренд ряда динамики

Выборочное исследование

Допустим, что проведено бесповторное выборочное наблюдение в северо-западных регионах РФ по величине числа умерших от болезней органов дыхания. Данные и расчеты представлены в таблице 5.1

Таблица 5.1

Выборочное наблюдение по величине числа умерших от болезней органов дыхания

Северо-западные регионы РФ	Величина числа умерших от болезней органов дыхания, чел.	X -	(X - ²
г.Санкт-Петербург		1313,45	1725162,84
Ленинградская область		403,45	162775,57
Вологодская область		109,45	11980,30
Архангельская область		-16,55	273,75
Псковская область		-30,55	933,02
Республика Коми		-93,55	8750,75
Новгородская область		-169,55	28745,66
Республика Карелия		-266,55	71046,48
Калининградская область		-288,55	83258,48
Мурманская область		-338,55	114613,02
Ненецкий авт.округ		-622,55	387562,84
Итого:			2595102,73

Где рассчитано по формуле:

= = 641,55 чел.

Найдем среднюю ошибку выборки по формуле:

где - дисперсия признака в выборочной совокупности, которая рассчитывается по формуле:

= = 235918,43

136,40 чел

На основании средней ошибки вычисляется предельная ошибка выборки Δ=tμ, где t – коэффициент Стьюдента. При вероятности 0,993 t=3, поэтому предельная ошибка будет равна

Δ=3∙136,40 =409,19 (чел.)

Тогда получаем границы изменения генеральной средней:

– Δ ≤ + Δ;

641,55 – 409,19 ≤ 641,55+409,19

232,35 ≤ 1050,74.

Найдем, какое количество регионов необходимо обследовать для того, чтобы снизить предельную ошибку выборки на 50%. Новая ошибка будет равна Δ’ = 0,5Δ = 204,60 чел., а новая выборочная совокупность будет содержать количество регионов, которое для бесповторного отбора находится по формуле:

В данном случае:

Итак, среднее значение величины числа умерших от болезней органов дыхания по всей генеральной совокупности с вероятностью 0,993 лежит в интервале от 232,35 до 1050,74 чел. Чтобы снизить предельную ошибку выборки на 50%, необходимо увеличить объем выборочной совокупности до 32 регионов.

Индексы

В таблице 6.1 представлены данные о выпуске в РФ продукции трех видов сахаpа-песка, макаронных изделий и муки за 2008 г. (базисный период) и 2009 г. (отчетный период). p₀ и р₁ - цены за единицу продукции в базисном и отчетном периоде соответственно, а q₀ и q₁ – объем продукции в тех же периодах.

Таблица 6.1

Данные о выпуске продукции по видам и ценам за 2008 и 2009 г.

Вид продукции	2008 г.	2009 г.
q_o	p₀	p₀q₀	p₁q₀	q₁	p₁	p₁q₁	p₀q₁
Сахар-песок		25,07	147236,11	200269,3		34,1	171284,3	125926,61
Макаронные изделия		44,74	45947,98	43852,9		42,7	44749,6	46887,52
Мука	10,3	21,63	222,789	191,58	10,2	18,6	189,72	220,626
Итого	6910,3	91,44	193406,88	244313,78	6081,2	95,4	216223,62	173034,76

Определим индивидуальные индексы объема, цены и стоимости по каждому из трех видов продукции и проверим их взаимосвязь.

По сахар-песку:

По макаронным изделиям:

По муке:

Определим общие индексы физического объема и цены по методам Ласпейреса и Пааше, а также общий индекс стоимости.:

Результаты вычислений занесем в таблицу 6.2.

Таблица 6.2

Индексы физического объема, цены и стоимости

Индексы	Вид продукции	Общий
Сахар-песок	Макаронные изделия	Мука
Цены	1,36	0,95	0,86	1,2323
Физического объема	0,86	1,02	0,99	0,8947
Стоимости	1,16	0,97	0,85	1,118

Итак, в 2009 г. объем товарооборота на исследуемом предприятии увеличился на 11,8%, что произошло в результате увеличения стоимости сахара-песка на 16%, тогда как стоимости макаронных изделий и муки упали на 3% и 15% соответственно.

За счет изменения физического объема товарооборот уменьшился на 10,53%, что произошло в результате увеличения физического объема на макаронные изделия на 2%, при этом объемы сахара-песка и муки упали на 14% и 1 % соответственно.

За счет изменения цен товарооборот увеличился на 23,23%, что произошло в результате увеличения цены сахара-песка на 36%, при одновременном уменьшении цен макаронных изделий и муки на 5% и 14 %.

Определим индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

_.= = = 1,27

= = 1,25

₌ = 1,02

Итак, средняя цена производства увеличилась по сравнению с базисным годом на 27%. За счёт изменения цен на отдельные виды продукции средняя цена увеличилась на 25%, а за счет структурных сдвигов средняя цена увеличилась на 2%.