Залишковий член формули трапеції

Формула Сімпсона

Якщо для кожної пари відрізків побудувати многочлен другого ступеня, потім про інтегрувати його і скористатися властивістю адитивності інтеграла, то одержимо формулу Сімпсона.

Розглянемо підінтегральну функцію f(x) на відрізку . Замінимо цю підінтегральну функцію інтерполяційним многочлен Лагранжа другого ступеня, що збігає з f(x) у крапках

Проінтегруємо: :

Формула:

і називається формулою Сімпсона.

Отримане для інтеграла значення збігається із площею криволінійної трапеції, обмеженою віссю , прямими , і параболою, що проходить через точки

 

Залишковий член формули прямокутників, трапецій, Сімпсона.

 

Припустимо, що у проміжку [a,b] функція f(x) має неперервні похідні перших двох порядків. Тоді, розкладаючи f(x) (по формулі Тейлора) за степенями двочлена аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень в [a,b]

де міститься між та і залежить від .

Якщо про інтегрувати цю рівність у проміжку від до , то другий член з права зникне, бо . Таким чином, отримаємо , так, що залишковий член формули, який поновлює її точність має вигляд .

Позначивши через і , відповідно найменше та найбільше значення неперервної функції f``(x) у проміжку [a,b] і користуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу не змінює знака, за узагальненою теоремою про середнє можемо написати

де міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в [a,b] така точка , що , і остаточно:

Якщо зараз розділити проміжок [a,b] на рівних частин, то для кожного часткового проміжку будемо мати точну формулу:

.

Додавши ці рівності (при ) отримаємо при звичайних скорочених позначеннях

 

 

Де вираз: і є залишковий член формули прямокутників. Так як вираз: також знаходиться між і , то і він представляє одне із значень функції . Тому остаточно маємо .

Залишковий член формули трапеції.

При попередніх здогадках відносно функції f(x). Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати

.

Інтегруючи цю формули від до , знайдемо

,

так що залишковий член формули (6) буде

.

Як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо

.

Для випадку ділення проміжку на рівних частин

.

Таким є залишковий член формули трапецій. При зростанні він також зменшується приблизно як . Ми бачимо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників.

Залишковий член формули Сімпсона.

Звернемося, до формули. Можна було б, аналогічно тому, як це було зроблено вище, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти:

Про інтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середнє, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку . Тому ми зробимо інакше.

Вираз: ,

яким би не було число , в точках , , приймає одні і ті ж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многочлен Ерміта, який відповідає простим вузлам , і двократному вузлу . Скориставшись формулою Ерміта з залишковим членом – в припущенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно – отримаємо:

.

Тепер про інтегрувавши цю рівність від до ; ми знайдемо, що

так як .

Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8)

,

користуючись тим, що другий множник в підінтегральному виразі не змінює знак, можна підставити в такому вигляді:

.

Якщо проміжок розділити на рівних частин, то – для формули Сімпсона– отримаємо залишковий член у вигляді .При зростанні цей вираз зменшується приблизно як ; таким чином, формула Сімпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули.
РОЗДІЛ II. СЕРЕДОВИЩЕ ПРОГРАМУВАННЯ ECLIPSE