Поступательного движения твердого тела

 

19. Тело массой m = 2,0 кг движется прямолинейно по закону s = A – Bt + + Ct ² – Dt ³, где A = 6,0 м, B = 3,0 м/с, C = 2,0 м/c², D = 0,40 м/с³. Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

 

Ответ: F = (t) m = 3,2 Н.

 

20. Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с различными массами m ₁ и m ₂ (например, m ₁> m ₂), которые подвешены на нити, перекинутой через легкий неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, найти: а) ускорение грузов a; б) силу натяжения нити T; в) силу, действующую на ось блока F.

 

Ответ: а) ;

б)

в)

 

21. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела в h раз меньше времени спуска.

 

Ответ: m = [(h² – 1)/(h² + 1)]tga.

 

22. В момент t = 0 частица массой m начинает двигаться под действием силы , где и w – постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?

 

Ответ: t = p/w; s = 2 F ₀ /m w²; u _макс = F ₀ /m w.

 

23. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения m лежит тело массой m. В момент t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, зависящую от времени как , где – постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд действия этой силы.

 

Ответ: , где – момент времени, с которого начнется движение. При путь s = 0.

 

24. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массой m ₁ и на ней брусок массой m ₂. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем t по закону F = a t, где a – постоянная. Найти зависимость от t ускорений доски а ₁ и бруска а ₂, если коэффициент трения между доской и бруском равен m. Изобразить примерные графики этих зависимостей.

 

Ответ: При t £ t ₀ ускорения а ₁ = а ₂ = a t/ (m ₁ + m ₂); при t ³ t ₀ a ₁ = m gm ₂/ m ₁,

a ₂ = (a t – m m ₂ g)/ m ₂. Здесь t ₀ = m gm ₂(m ₁ + m ₂)/a m ₁.

 

25. На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту α = 35 положена доска массой m ₂ = 2,0 кг, а на нее – брусок массой m ₁ = 1,0 кг. Коэффициент трения между бруском и доской m₁ = 0,10, а между доской и плоскостью – m₂ = 0,20. Определить: а) ускорение бруска a ₁; б) ускорение доски a ₂; в) коэффициент трения m₂, при котором доска не будет двигаться.

 

Ответ: а)

б)

в)

 

26. Тело массой m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) приращение импульса тела за первые t секунд движения;

б) модуль приращения импульса тела за все время движения.

 

Ответ: а) ; б) .

 

27. Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью u ₀, разрывается в верхней точке траектории на два осколка, разлетающиеся горизонтально. Один из них полетел в обратном направлении со скоростью, равной скорости снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на каком расстоянии s по горизонтали от орудия упадет второй осколок, если верхняя точка траектории отстояла от орудия на расстояние l по горизонтали.

 

Ответ: s = 4 l.

 

28. Платформа массой m ₀ начинает двигаться вправо под действием постоянной силы (см. рис.). Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Найти зависимости от времени скорости и ускорения платформы в процессе погрузки. Трение пренебрежимо мало.

Ответ: , .

 

29. Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы , совпадающей по направлению с ее скоростью. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью m кг/с. Найти ускорение и скорость тележки в момент времени t, если в момент t = 0 тележка с песком имела массу m ₀и ее скорость была равна нулю. Трением пренебречь.

 

Ответ: ; .

 

30. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх. Начальная масса ракеты m ₀, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна u. Пренебрегая сопротивлением воздуха, выразить скорость ракеты u в зависимости от m и t (m – масса ракеты и t – время полета). Поле сил тяжести считать однородным.

 

Ответ:

31. Тело массой m бросили под углом a к горизонту с начальной скоростью u ₀. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

 

Ответ: < P > = 0, P (t) = mg (gt – u ₀ sin a).

 

32. Небольшое тело массой m начинает скользить без трения с вершины наклонной плоскости, высота которой h и угол наклона к горизонту a (см.

рис.). Найти модуль момента импульса тела относительно оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка, через время t после начала движения.   Ответ: = (1/2) mght× sin2a.

33. Уравнение движения материальной точки массой 5 г имеет вид х = 4sin(2p t /8+2) (см). Определить амплитуду колебаний, циклическую частоту, период колебаний, начальную фазу, максимальную скорость, максимальное ускорение, максимальную силу, поддерживающую это движение и полную энергию колеблющейся точки.

 

Ответ: х _макс. = 4 см; w = p/4 с^-1; Т = 2p/w = 8 с; u _макс = х _макс.w = 3,1 см/с;

а _макс = 2,5 см/с²; F _макс = 1,3×10^–4 Н; Е = 2,5×10^–6 Дж.

 

34. Тело массой m движется в плоскости xy по закону , где A, B, ω – некоторые постоянные. Определить модуль силы F, действующей на это тело.

 

Ответ:

 

35. За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшается в a = 5,00 раз. Найти: a) коэффициент затухания b; б) за какое время t амплитуда уменьшится в е раз?

 

Ответ: а) b = 0,100 с^-1; б) t = 10,0 с.

 

36. Для плоской монохроматической волны смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4,0 см от источника колебаний, через промежуток времени Т /6 равно половине амплитуды. Определить длину волны.

 

Ответ: l = 0,48 м.

 

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

 

37. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью . На задней тележке находится человек массой m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью относительно своей тележки. Масса каждой тележки равна M. Найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после прыжка.

 

Ответ: , .

 

38. Платформа с песком общей массой M = 2,0 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8,0 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда u = 450 м/с, а его направление – сверху вниз под углом α = 30° под углом к горизонту.

 

Ответ: u = mu cosa / (M + m) = 1,6 м/с.

 

39. Пушка массой М начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.

 

Ответ: .

 

40. На катере массой m = 4,5 т находится водомет, выбрасывающий со скоростью u = 6,0 м/с относительно катера воду с расходом μ = 25 кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: а) скорость катера u через t = 3,0 мин после начала движения; б) предельно возможную скорость катера u _max.

 

Ответ: u (t) = следовательно:

а) u = 3,8 м/с; б) u _max = u = 6,0 м/с.

 

41. Ствол пушки направлен под углом q = 45° к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в h = 50 раз меньше массы пушки, u ₀ = 180 м/с. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если колеса ее освободить.

 

Ответ: u = u ₀ cosq /(1 + h) = 25 м/c.

 

42. Шайба массой m соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения равным m.

 

Ответ: А _тр = m mgl / (1 – m ctga).

 

43. Тело массой m начинает двигаться под действием силы , где и – орты осей x и y соответственно. Определить мощность N (t), развиваемую силой в момент времени t.

 

Ответ:

 

44. Поезд массой m = 600 т движется под гору с уклоном α = 0,3° и за время t = 1 мин развивает скорость u = 18 км/ч. Коэффициент трения m = 0,01. Определить среднюю мощность локомотива .

 

Ответ:

 

45. Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется выражением U = 1,0 x + 2,0 y ² + 3,0 z ³ (U в Дж, координаты в м). Найти работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами (1,0; 1,0; 1,0) в точку с координатами (2,0; 2,0; 2,0).

 

Ответ: А = –28 Дж.

46. К нижнему концу пружины жесткостью k ₁ прикреплена другая пружина жесткостью k ₂, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин, определить отношение их потенциальных энергий.

 

Ответ:

47. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид , где aи b – положительные постоянные, r – расстояние от центра поля. Найти: а) значение r ₀, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б) максимальное значение силы притяжения; в) изобразить примерные графики зависимостей и F_r (r) – проекции силы на радиус-вектор .

 

Ответ: а) , б) .

 

48. Материальная точка массой m брошена под углом a к горизонту с начальной скоростью . Траектория полета частицы лежит в плоскости ХY, ось Z направлена «на нас». Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени: а) момента силы, действующей на частицу; б) момента импульса частицы. Оба момента берутся относительно точки бросания.

 

Ответ: а) , б) .

 

49. Шарик массой m бросили под углом a к горизонту с начальной скоростью u ₀. а) Найти модуль момента импульса L шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения; б) вычислить L в вершине траектории, если m = 130 г, a = 45° и u ₀ = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

Ответ: а) L = (1/2) mgu ₀ t ² × cosa;

б) L = (mu ₀³/2 g)sin²acosa = 37 кг×м²/с.

 

50. Небольшой шарик массой m, привязанный на нити длиной l к потолку в точке О, движется по горизонтальной окружности так, что нить вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w. Относительно каких точек момент импульса шарика остается постоянным? Найти модуль приращения момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.

 

Ответ: относительно центра окружности; .

 

51. Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.

 

Ответ: , .

 

52. На однородный сплошной цилиндр массой М и радиусом R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m (см. рис.). В момент t = 0система пришла в движение. Пренебрегая трением

в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинети-ческой энергии всей системы.   Ответ: а) , б) .

 

Тестовые вопросы и качественные

Задачи по механике

1. При каком характере движения частицы имеет место равенство ç< >ô = < >?

 

2. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью . Показать на рисунке среднюю скорость < > и среднее ускорение < > за все время движения. Сопротивление не учитывать.

3. Частица ударяется о стенку и упруго отражается от нее так, что угол падения a равен углу отражения. Найти êD ï,ïD ï _х, ïD ï _y, где – скорость частицы.

 

4. Зависимость радиус-вектора частицы от времени дается законом , где a и b – положительные постоянные. Найти: а) уравнение траектории в параметрической форме x = x (t), y = y (t); б) уравнение траектории в виде y (x); в) скорость и ускорение частицы; г) мо-дули скорости u и ускорения а; д) среднюю скорость частицы á ñ за время от 0 до t; е) в произвольной точке траектории изобразить векторы

 

5. Частица движется по криволинейной траектории. Имеют ли какой-либо физический смысл (и какой, если имеют) следующие выражения:

a) б) в) г)

д) e) ж) з) ?

 

6. Модуль скорости u частицы меняется со временем t по закону u = g+ b t, где g и b – положительные постоянные. Модуль ускорения а = 3g. Найти тангенциальное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны R траектории в зависимости от t.

 

7. Нормальное ускорение частицы постоянно по модулю. Что можно сказать о форме траектории частицы в случаях, когда проекция тангенциального ускорения на направление движения а) равна нулю; б) положительная; в) отрицательная.

 

8. Диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости. В некоторый момент времени известны угловая скорость вращения () и угловое ускорение () диска. Найти скорость и ускорение произвольной точки А диска, положение которой задается вектором , проведенным из центра диска. Рассмотреть случаи: а) и параллельны; б) и антипараллельны. Ответы проиллюстрировать рисунками.

 

9. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени t по закону j = 2p(a t – b t ³), где a и b – положительные постоянные. Найти среднюю угловую скорость áwñ и среднее угловое ускорение ábñ за все время движения.

 

10. Шайбу массой m пустили вверх по горке с начальной скоростью . Добравшись до некоторой высоты, она соскальзывает вниз, имея у основания скорость . Найти работу сил трения за все время движения.

 

11. Частица массой m движется в положительном направлении оси Х. Найти ее момент импульса относительно точки О (начало координат) и точки О¢, имеющей координаты (0; а; 0).

 

12. Система состоит из двух тел. Известны зависимости от времени импульсов этих тел: и .

а) Сохраняется ли импульс системы?

б) Сохраняются ли какие либо проекции импульса на декартовые оси координат?

в) Чему равна результирующая всех сил, приложенных к телам?

 

13. Частица m движется в плоскости ху по окружности радиуса R. Скорость частицы и тангенциальное ускорение . Найти момент импульса частицы и момент сил относительно центра окружности О.

 

14. Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания со скоростью . Масса диска m, радиус R. Найти его момент импульса и кинетическую энергию относительно точки О, лежащей в плоскости движения на этой горизонтальной поверхности.

 

15. Тангенциальное ускорение при движении по криволинейной траектории изменяется по закону а _t = a s, где a – положительная постоянная. Масса частицы m. Чему равна работа сил А на пути s?

 

16. Изобразить эквипотенциальные поверхности, а также силу и градиент потенциала U в некоторой точке поля, создаваемого зарядом q.

 

17. Частица, положение которой относительно начала отсчета дается радиус-вектором (–3, 2, –7) (м), имеет импульс (2, 4, 3) (кг×м/с). Определить: а) момент импульса относительно начала отсчета, б) моменты импульсов относительно осей X, Y, Z.

18. U (x, y, z) = a x ² + b y ² – g z ². Определить: а) силу , действующую на частицу; б) работу А, совершаемую силой поля при перемещении частицы из точки 1 (x ₁, y ₁, z ₁) в точку 2 (x ₂, y ₂, z ₂).

 

19. Частица m движется в плоскости ху по окружности радиуса R с a_n = ct ². Найти: момент импульса и момент силы относительно центра окружности О.

 

20. Сплошной цилиндр массой m и радиуса R вращается с угловой скоростью вокруг оси z, совпадающей с одной из образующих цилиндрической поверхности. Найти импульс цилиндра, момент импульса и кинетическую энергию цилиндра Е _к.

 

21. Чему равно отношение кинетических энергий вращательного и поступательного движения тонкого проволочного кольца, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости?

 

22. Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия U = kr ², где k – положительная постоянная, r – расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки О равно r ₁, а скорость на наибольшем расстоянии .