Чайковский филиал
Федерального государственного бюджетного
Образовательного учреждения высшего профессионального образования
"Пермский национальный исследовательский политехнический университет"
(ЧФ ПНИПУ)
Кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин
Лаборатория физики
Механика
Лабораторная работа №4
“Физический маятник”
Цель работы: познакомиться с методом определения моментов инерции тел.
Приборы и принадлежности: исследуемое тело (пластина), кронштейн для подвешивания тела, секундомер, линейка, математический маятник.
Краткие теоретические сведения
Физическим маятником (ФМ) – называется твердое тело, которое может колебаться под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси (не проходящей через центр масс тела).
При колебании ФМ как бы вращается вокруг оси О (рис. 4.1). (Точку О пересечения оси с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс С тела, называют точкой подвеса). Следовательно, движение маятника подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения:
М = Iε. (4.1)
где М – момент силы тяжести относительно оси О,
I – момент инерции маятника относительно тойже оси,
ε – угловое ускорение маятника.
Из рис. 4.1 видно, что
, (4.2)
где m – масса маятника;
– плечо силы тяжести mg;
b – расстояние от точки подвеса О до центра масс.
Знак “–” означает, что вращающий момент М стремится уменьшить угол j, характеризующий положение маятника по отношению к равновесному состоянию.
Более строго смысл знака “–” объясняется так: псевдовекторы момента сил М и смещения от положения равновесия j направлены в противоположные стороны (для ситуации, изображенной на рис. 4.1, первый направлен за плоскость чертежа, а второй – из этой плоскости на наблюдателя).
Помня, что 
и, учитывая (4.1), уравнение (4.2) запишем в виде
(4.3.)
При малых отклонениях маятника (именно этот случай мы и будем иметь в виду) 
, а поэтому равенство (4.3) после деления на I примет вид:
(4.4)
Величина mgb/I как сугубо положительная может быть заменена квадратом некоторого числа:
(4.5)
Тогда уравнение (4.4) можно переписать как
(4.6)
Используя прямую подстановку, убеждаемся, что решением уравнения (4.6) является выражение
(4.7)
Это свидетельствует о том, что ФМ совершает в этих условиях незатухающие гармонические колебания с циклической частотой 
– постоянные (амплитуда и начальная фаза), зависящие от начальных условий.
Период колебаний ФМ
(4.8)
I/mb имеет размерность длины. Эта величина обозначается через L и называется приведенной длиной ФМ:
L=I/mb (4.9)
Таким образом,
(4.10)
Сравнивая (4.10) с формулой для периода колебаний математического маятника
где l – длина математического маятника,
видим, что приведенная длина ФМ – это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного ФМ.
Легко заметить, что L>b. В самом деле, в соответствии с теоремой Штейнера
I = Ic+mb 2,
где Iс – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс.
Следовательно, по выражению (4.9)
(4.11)
откуда видно, что L>b
Точку O 1 (рис. 4.1) отстоящую от О на расстоянии L, называют точкой качаний.
Описание установки и метода определения
Исследуемое тело 1 представляет собой металлическую пластину с двумя вырезами (рис. 4.2). Этими вырезами тело подвешивается на опору-кронштейн 2, для организации колебаний. Чтобы уменьшить трение и износ детали точки подвеса О 1 и О 2 снабжены специальными канавками 3.
На конце кронштейна может быть подвешен математический маятник 4, длину которого можно изменять.
В работе определяются моменты инерции I 1 и I 2 относительно осей О 1 и О 2. Метод определения моментов инерции основан на том, что период колебаний ФМ (пластина в данном случае играет роль физического маятника) связан с его моментом инерции относительно оси колебания (см. формулу (4.8)).
Таким образом, измерив на опыте период колебаний маятника Т и расстояние b от точки подвеса до центра масс(см. рис. 4.1), зная массу m маятника и ускорение свободного падения g можно вычислить момент инерции:
(4.12)
Порядок выполнения работы
1. Снять пластину с подвеса, измерить линейкой расстояния b 1= O 1 C и b 2= O 2 C (см. рис. 4.2) и оценить ошибку D b этих измерений.
Результаты занести в табл. 4.1; сюдаже вписать данные о массе тела и ускорении свободного падения.
Таблица 4.1
| № п/п | Число полных колебаний N | Колебания на оси О 1 | Колебания на оси О 2 | ||||
| t 1 | T 1 | t 2 | T 2 | (T 2 i – < T 2>) | (T 2 i – < T 2>)2 | ||
| Данные b 1 =_____±___ L 1= m =2,570 кг Данные b 2 =_____±___ L 2= g =9,81 м/с2 |
2. Повесить маятник на ось О 1, привести его в движение 
и измерить время t 1 30-50 полных колебаний (N) (отсчет времени лучше начинать после того, как тело совершит несколько колебаний). Результаты (эти и доследующие) занести в таблицу.
3. Снять маятник и, подвесив его на ось O 2 проделать тоже, что и в п.2.
4. Вычислить Т 1 и Т 2 для каждого из опытов иих средние значения < Т 1> и < Т 2>.
5. По формуле 
(см. (4.12)) вычислить < I 1> и < I 2>.
6. Для момента инерции I 2 вычислить относительную ε 1,2 и абсолютную D I 2 погрешности (для I 1 первую из них принять такойже).Для этого
· подсчитать Т 2 i =< Т 2>, (Т 2 i =< Т 2>)2, S(Т 2 i =< Т 2>)2 (см. табл.).
· вычислить абсолютную погрешность в измерении периода колебаний
,
где n – число измерений;
D tпр – приборная погрешность секундомера,
– коэффициент Стьюдента (определяется по таблице в зависимости от выбранной надежности a и n);
· определить относительную погрешность
· вычислить абсолютную погрешность в определении I 2:
D I 2= εi < I 2>
7. Результаты представить в виде:
I 1=< I 1> ±DI 1 I 2=< I 2> ±DI 2, при α = εi =
8. Вычислить приведенные длины L 1 и L 2 маятников по формуле 
. При наличии математического маятника установить его длину l равной L 1 (или L 2) и убедиться в синхронности колебаний физического и математического маятников.
Контрольные вопросы
1. Физический маятник.
2. Уравнения колебаний физического маятника (дифференциальное уравнение и его решение).
З. Частота и период колебаний физического маятника.
4. Приведенная длина физического маятника.
5. Точка подвеса и центр качаний.
6. Метод определения момента инерции I в данной работе.
7. Порядок выполнения работы.
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики: учеб. пособие в 5-ти кн. - М.: ООО Изд-во «Астрель»; ООО «Изд-во АСТ», 2002.
2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие.-7-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2003.
3. Ремизов А.Н. Курс физики: учебник для вузов. - М.: Дрофа, 2002.
4. Костко О.К. Физика для строительных и архитектурных вузов: учеб. пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2004.
