(
) – момент силы;
(
) – момент инерции тела;
– момент инерции материальной точки;
; 
; 
; 
; 
– моменты инерции тел относительно оси, проходящей через центр масс; 
– момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец;
– теорема Штейнера;
– закон динамики вращательного движения.
; 
– момент импульса материальной точки; тела;
(
) – закон динамики вращательного движения в импульсной форме
Если 
, то 
– закон сохранения момента импульса.
– работа при вращательном движении;
– кинетическая энергия вращательного движения.
Примеры решения задач
Задача 6.
Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузы массой 0.1 кг и 0.11 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы? Найти силы натяжения шнура по обе стороны блока. Масса блока 0.4 кг.
Решение
Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, для обоих грузиков (рис.1):
m1 а = T1–m1g; (1)
–m2 а = T2–m2g; (2)
Здесь учтено, что модули ускорений обоих грузов одинаковы, так как шнур считаем нерастяжимым.
За положительное направление вращения блока примем вращение по часовой стрелке; запишем для него закон динамики вращательного движения:
Iε =M2–M1, (3)
где I – момент инерции сплошного диска (или цилиндра):
; (4)
ε – угловое ускорение блока, связано с линейным ускорением обода блока и шнура (предполагаем, что проскальзывания нет):
, (5)
здесь R – радиус блока; модули моментов сил натяжения шнура относительно оси вращения:
M1=R.T1, (6)
M2=R.T2 (7)
Решая систему уравнений (1-7), получим:
,
откуда находим ускорение:
,
а затем из (1) и (2) – силы натяжения шнура:
T1= m 1(a + g)=1.0 H; T2= m 2(g – a)=1.05 Н.
Ответ: а =0.24 м/с2; T1= 1.0 H; T2=1.05 Н.
Задача 7.
Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения со скоростью 10 см/с, ударяется о стенку и откатывается от нее со скоростью 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившейся при ударе.
Решение
Будем считать стенку массивной и неподвижной. Тогда по закону сохранения энергии выделившаяся при ударе теплота равна изменению механической энергии шара:
Q = E – E 0. (1)
Полная кинетическая энергия катящегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс, так как качение тела является суперпозицией этих двух движений:
. (2)
Так как качение происходит без проскальзывания, то линейная скорость движения центра масс и угловая скорость вращения связаны соотношением:
v= ωR, (3)
где R – радиус шара, I – момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс:
. (4)
Подставив (3) и (4) в (2), получим формулу для энергии катящегося шара:
. (5)
Аналогично, начальная кинетическая энергия шара:
. (6)
Подставляем (5) и (6) в (1) и получаем искомую теплоту:
Ответ: Q=2.52 мДж.
91. Маховик, момент инерции которого равен 63.6 кг.м2, вращается с угловой скоростью 31.4 рад/с. Найти тормозящий момент, под действием которого маховик останавливается через 20 с.
92. Маховик радиусом 20 см и массой 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно 14.7 Н. Какова будет частота вращения через 10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском.
93. Диск массой 500 г и диаметром 400 мм вращается с угловой скоростью 157 с-1. При торможении он останавливается в течение 10 с. Найти среднюю величину тормозящего момента.
94. Маховик, имеющий вид диска массой 50 кг и радиусом 0.4 м, вращался, делая 240 об/мин. После начала торможения маховик остановился через 10 с. Найти момент сил трения.
95. На вал массой 20 кг намотана нить, к концу которой привязан груз массой 1 кг. Определить ускорение груза, опускающегося под действием силы тяжести.
96. Определить линейную скорость центра шара, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости высотой 1 м.
97. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив, радиус которого 5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязана гиря массой 1 кг. Опускаясь равноускоренно из состояния покоя, гиря прошла путь 2 м за 1.4 с. Определить момент инерции маховика.
98. Нить с привязанными к ее концам грузами массой 50 г и 60 г перекинута через блок диаметром 4 см. Определить момент инерции блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение 1.5 рад/с2.
99. Цилиндрический вал радиусом 10 см и массой 200 кг вращается по инерции, делая 5 об/с. К поверхности вала прижали тормозную колодку с силой 40 Н. Через 20 с вал остановился. Определить коэффициент трения.
100. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром 75 см и массой 40 кг приложена сила 10 Н. Определить угловое ускорение и частоту вращения маховика через 10 с после начала действия силы, если радиус шкива 12 см. Силой трения пренебречь.
101. Двум одинаковым маховикам сообщили одинаковую угловую скорость 63 рад/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения первый маховик остановился через 1 минуту, а второй сделал до остановки 360 оборотов. У какого маховика тормозящий момент был больше и во сколько раз?
102. Маховик, массу которого 5 кг можно считать распределенной по ободу радиусом 20 см, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 12 об/с. При торможении маховик останавливается через 20 с. Найти тормозящий момент сил и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.
103. Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?
104. На барабан радиусом 50 см намотан шнур, к которому привязан груз массой 10 кг. Найти момент инерции барабана, если груз опускается с ускорением 2.04 м/с2.
105. Найти линейные ускорения движения центров тяжести: 1) шара; 2) диска; 3) обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости 300, начальная скорость всех тел равна нулю. Сравнить найденные ускорения с ускорением тела, соскользнувшего с этой наклонной плоскости при отсутствии трения.
106. Однородный диск радиусом 20 см и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением ω=A+8t (время дано в секундах, угловая скорость – в рад/с). Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь.
107. Два маленьких шарика массами 40 г и 120 г соединены стержнем длиной 20 см, массой которого можно пренебречь. Система вращается относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс. Частота оборотов равна 3 с-1. Определить момент импульса системы.
108. Найти момент инерции и момент импульса земного шара относительно оси вращения.
109. Маховик, обладающий моментом инерции 4 кг.м2, вращается под действием постоянного тормозящего момента и уменьшает частоту вращения от 600 до 120 об/мин за 2 мин. Вычислить угловое ускорение маховика; тормозящий момент; работу торможения; число оборотов за время торможения.
110. Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/мин. Человек массой 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой. Какую работу совершает при этом человек? Радиус платформы 1.5 м.
111. Платформа в виде диска массой 160 кг вращается по инерции, делая 10 рад/с. На краю платформы стоит человек массой 80 кг. Какова будет угловая скорость платформы, если человек перейдет в ее центр?
112. Человек стоит в центре скамьи Жуковского, вращающейся с частотой 0.5 об/с. Момент инерции тела человека вместе с платформой относительно оси вращения равен 0.25 кг.м2. В вытянутых руках он держит гири массой по 2 кг каждая. Расстояние между гирями 1.6 м. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если он опустит руки, и расстояние между гирями станет равным 0.6 м?
113. Маховик в виде диска массой 80 кг и радиусом 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту вращения 10 об/с? Какую работу пришлось бы совершить, если бы при такой же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?
114. Найти кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью 9 км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом 78 кг, причем на массу колес приходится 3 кг. Колеса считать обручами.
115. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить частоту вращения однородного диска радиусом 0.5 м относительно его оси от 200 до 400 об/мин? Масса диска 10 кг.
116. Сплошной цилиндр массой 4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость оси цилиндра равна 1 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра.
117. Диск массой 1 кг и диаметром 60 см вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости, делая 125 рад/с. Какую работу надо совершить, чтобы остановить диск?
118. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 2 м/с. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет своей кинетической энергии? Синус угла наклона горки равен 0.01.
119. Маховик вращается с частотой 10 об/с; его кинетическая энергия 8 кДж. За какое время вращающий момент сил 50 Н.м, приложенный к этому маховику, увеличит угловую скорость маховика в два раза?
120. Карандаш, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную скорость будет иметь в конце падения: середина карандаша; верхний его конец? Длина карандаша 15 см.
121. Шар диаметром 6 см и массой 250 г катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения 4 Гц. Найти кинетическую энергию шара.
122. Медный шар радиусом 10 см вращается с частотой 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения шара вдвое? Плотность меди 8900 кг/м3.
123. С какой наименьшей высоты должен съехать велосипедист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму «мертвой петли» радиусом 3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Масса велосипедиста вместе с велосипедом 75 кг, причем на массу колес приходится 3 кг. Колеса считать обручами.
124. Сплошной цилиндр массой 2 кг, катящийся без скольжения со скоростью 0.09 м/с, ударяется о массивную стенку и откатывается от нее со скоростью 0.05 м/с. Найти количество теплоты, выделившейся при ударе.
125. Маховик равноускоренно разгоняется за 1 минуту до 300 об/мин. Определить действующий на маховик момент силы, если на разгон требуется энергия 1000 Дж.
126. Колесо, вращаясь равнозамедленно при торможении, уменьшило за 1 минуту частоту вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса 2 кг.м2. Найти угловое ускорение колеса, тормозящий момент, работу торможения и число оборотов за 1 мин.
127. В центр шара массой 5 кг и радиусом 5 см, висящий на невесомой нерастяжимой нити длиной 10 см, попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с, и застревает в нем. На какую высоту поднимется центр шара с застрявшей пулей?
128. Однородный стержень массой 12 кг и длиной 1 м может вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через один конец. Во второй свободно висящий конец попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с, и застревает в нем. На какой угол отклонится стержень от вертикали?
129. К ободу однородного диска радиусом 20 см приложена постоянная касательная сила 98.1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения 5 Н.м. Найти массу диска, если он вращается с постоянным угловым ускорением 100 рад/с2.
130. Однородный стержень длиной 1 м и массой 0.5 кг вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через середину стержня. Вращающий момент равен 0.0981 Н.м. Найти угловое ускорение.
131. Через блок, имеющий форму полого диска с внутренним и внешним радиусами 2 см и 4 см соответственно, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузики массой 1 кг и 1.2 кг. Найти угловое ускорение блока. Какова сила натяжения шнура по обе стороны блока? Масса блока 2 кг.
132. Тонкостенный цилиндр диаметром 30 см и массой 12 кг вращается так, что зависимость угла поворота от времени имеет вид: j=4–2t+0.2t3 (время – в секундах, угол – в радианах). Определить действующий на цилиндр момент сил в момент времени 3 с.
133. Тело из состояния покоя приводится во вращательное движение вокруг своей оси с помощью падающего груза, соединенного со шнуром, намотанным на ось. Определить момент инерции тела, если груз массой 2 кг в течение 12 с опускается на расстояние 1 м. Радиус оси 8 мм.
134. Маховик, имеющий вид диска массой 50 кг и радиусом 20 см, был раскручен до частоты 480 об/мин и предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился. а) Найти момент сил трения, считая его постоянным, если маховик остановился через 50 с. б) Найти момент сил трения, считая его постоянным, если маховик до полной остановки сделал 200 оборотов.
135. Блок массой 1 кг укреплен на конце стола. Гири одинаковой массы 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Одна гиря находится на поверхности стола, вторая свешивается со стола. Коэффициент трения первой гири о стол равен 0.1. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силы натяжения нити по обе стороны блока. Блок считать однородным диском.
136. Тело массой 2 кг и радиусом 5 см скатывается с наклонной плоскости длиной 2 м и углом наклона 300. Определить его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, если скорость в конце наклонной плоскости 3.3 м/с.
137. Массивное колесо, насаженное на ось, поддерживается двумя закрепленными параллельными вертикальными нитями (маятник Максвелла). Ось вращения колеса горизонтальна. Нити постепенно раскручиваются с оси, а колесо опускается. Определите силу натяжения каждой из нитей, если масса колеса вместе с осью 1 кг, момент инерции относительно этой оси 2.5.10-3 кг.м2 и радиус оси 5 мм. Какова будет сила натяжения каждой нити, когда колесо, опустившись до конца и продолжая вращаться по инерции, начнет накручивать нити на ось и подниматься?
138. Два одинаковых шара радиусом 5 см закреплены на концах тонкого стержня, массой которого можно пренебречь. Расстояние между центрами шаров 50 см. Масса каждого шара 1 кг. Найти: 1) момент инерции этой системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему; 2) момент инерции этой системы относительно той же оси, считая шары материальными точками; 3) относительную ошибку, допускаемую при вычислении момента инерции системы в предположении, что шары можно считать материальными точками.
139. Шар, радиус которого равен r, скатывается по наклонному желобу и описывает «мертвую петлю» радиусом R. Пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха, найдите наименьшую начальную высоту h центра масс шара над центром петли, при которой это возможно.
140. Платформа в виде сплошного диска радиусом 1.5 м и массой 180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
141. Столб высотой 4 м из вертикального положения падает на землю. Определить момент импульса столба относительно точки опоры и скорость верхнего конца столба в момент удара о землю. Масса столба 60 кг.
142. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 1 м, стоит человек. Масса платформы 100 кг, масса человека 50 кг. Платформа может вращаться около вертикальной оси, проходящей через центр. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы?
143. Однородный шар массой 2 кг и радиусом 4 см скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 300. Найти кинетическую энергию шара через 7 с после начала движения.
144. Однородный стержень длиной 85 см подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую наименьшую скорость надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?
145. Найти линейные скорости движения центров тяжести: 1) шара; 2) диска; 3) обруча, скатившихся без скольжения с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости 50 см, начальная скорость всех тел равна нулю. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскользнувшего с этой наклонной плоскости при отсутствии трения.
146. Якорь мотора делает 1500 об/мин. Определить вращающий момент, если мотор развивает мощность 500 Вт.
147. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей 300 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Работа сил трения равна 44.4 Дж. Найти момент инерции вентилятора и момент сил торможения.
148. Определить толщину нити, на которой подвешена рамка зеркального гальванометра, если под действием вращающего момента 0.3 пН×м она поворачивается на угол, равный 2°. Длина нити 10 см. Модуль сдвига материала нити 6.5 ГПа.
149. Найти момент пары сил, необходимый для закручивания проволоки длиной 10 см и радиусом 0.1 мм на угол 10 минут. Модуль сдвига материала проволоки равен 5.109 Па.
150. Вычислить момент сил, которые вызывают закручивание стальной трубы длиной 3 м на угол 20 вокруг ее оси, если внутренний и внешний диаметры трубы равны 30 мм и 50 мм соответственно.
Таблица вариантов
| Номер варианта | Номера задач | ||||||||||
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Физические постоянные
Скорость света в вакууме
с = 2,997925 * 108 м/с ≈ 3*108 м/с.
Гравитационная постоянная
γ= 6,672 * 10-11 Н*м/кг2 ≈ 6,7 • 1011 Н*м2/кг2.
Радиус Земли
R, = 6,35*103 км = 6,35 106 м.
Число Авогадро
N0 = 6,02252*1023 1/моль≈6,02 • 1023 1/моль.
Постоянная Больцмана
k=1,38047 • 10-23 Дж/К = 1,38*10-23 Дж/К.
Универсальная газовая постоянная
R =8,3143 Дж/моль*К ≈ 8,31 Дж/моль*К.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Сведения из математики
1. Сложение векторов.
Общее правило: чтобы сложить два вектора, нужно из конца первого вектора построить вектор, равный второму. Результирующим является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго:
Частные случаи.
а) Векторы 
и 
– коллинеарны (направления совпадают). Модуль результирующего вектора 
равен сумме модулей
C=A+B
б) Векторы и - противоположные (направления противоположны). Модуль результирующего вектора равен разности модулей и
C=|A+B|
в) Векторы и направлены произвольно. Модуль результирующего вектора равен
где α - угол между векторами и .
2. Произведение векторов.
а) Скалярное произведение двух векторов и
б) Векторное произведение двух векторов
Вектор направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторами и , вверх, если поворот от вектора к вектору кратчайшим путем (на угол меньше 180°) происходит против часовой стрелки и вниз, если поворот происходит по часовой стрелке. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на исходных векторах и ,
3. Простейшие производные и интегралы:
