Фундаментальные физические постоянные

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет

 

 

Методические указания

и контрольные задания по общему курсу физики

(раздел,,Механика”)

для студентов-заочников

 

.

 

 

Рассмотрено

на заседании кафедры физики

Протокол №5 от 5.05.2008 г.

 

 

Утверждено

учебно- издательским советом ДонНТУ

Протокол №4 от 19.05.2008г.

 

.

 

УДК 53(071)

 

”Методические указания и контрольные задания по общему курсу физики (раздел ”МЕХАНИКА”) для студентов-заочников”.

Авторы: Волынская В.Г., Савченко Т.А.

Донецк: ДонНТУ, 2008 -37 с.

 

Пособие включает 110 задач, которые полностью охватывают материалы программы по общему курсу физики (раздел ”Механика”). Методическое пособие состоит из трех частей. В первой части приводятся основные понятия, законы и формулы. Вторая часть содержит примеры решения задач и задачи для самостоятельной работы; третья часть – приложения.

Основное назначения пособия – оказать помощь студентам заочникам инженерно-технических специальностей ДонНТУ в изучении курса физики (раздел ”Механика”).

 

Составители Волынская В.Г.

Савченко Т.А.

 

Ответственный за выпуск Гольцов В.А., профессор

Рецензент Ветчинов А.В., доцент

Методические указания к решению задач и выполнению контрольных работ.

 

1. Контрольные работы нужно выполнять чернилами в школьной тетради

(для каждой контрольной работы отдельная тетрадь) и подписывать по следующему образцу:

 

 

Контрольная работа №……..

По физике

Студента группы ………..

Заочного факультета ДонНТУ

Ф.И.О.

Шифр (№ зачетной книжки)

2. В каждую контрольную работу вкладывается лист для рецензента следующего образца:

Рецензия

На контрольную работу №………

По физике

Студента группы…….

Заочного факультета ДонНТУ

Шифр (№ зачетной книжки)

3. Условие задач в контрольной работе надо переписывать без сокращений. Для замечаний преподавателя после решения каждой задачи оставлять страницу.

 

4. Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить её на повторную рецензию, включив в неё те задачи, решение которых НЕВЕРНО. Повторную работу необходимо представить вместе с незачтенной.

 

5. Зачтенные контрольные работы и рецензии к ним хранятся в архиве кафедры и студентам не возвращаются. Студент должен быть готов во время экзамена или зачета дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольную работу.

 

6. Решая задачи, целесообразно использовать следующие методические указания:

6.1. Прочитав условие задачи, сделать краткую запись условия, выразить все данные в единицах СИ и, где это только возможно, дать схематический чертеж, поясняющий содержание задачи.

6.2. Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями.

6.3. Решать задачу нужно в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.

6.4. Вычисления по расчетной формуле нужно проводить в единицах СИ и с соблюдением правил приближенных вычислений.

6.5. В конце контрольной работы указать, каким учебником или учебным пособием студент пользовался при изучении физики (название учебника, автор, год издания). Это делается для того, чтобы при необходимости рецензент мог указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы.

 

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

курса общей физики по разделу“Механика”

1. Физические основы классической механики

Классическая механика — одно из оснований современной техники. Механическое движение. Кинематика. Тело отсчета, система отсчета. Материальная точка. Скорость и ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.

Кинематика вращательного движения абсолютно твердого тела. Угловая скорость и угло-вое ускорение, их связь с линейными скоростями и ускорениями точек вращающегося те-ла.

Динамика. Задачи динамики. Первый закон Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Масса. Импульс. Сила. Фундаментальные взаимодействия. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона.

Динамика вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Момент импульса. Момент инерции тела относительно оси. Момент силы. Уравнение динамики вращатель-ного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Механическая работа и энергия. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл. Понятие о поле. Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Механическая энергия. Кинетическая энергия механической системы и ее связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Потенциальные поля. Силы потенциальные (консервативные) и диссипативные. Потен-циальная энергия тела в гравитационном поле. Потенциальная энергия упругого взаимо-действия.

Законы сохранения — фундаментальные законы физики. Закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса. Закон сохранения механической энергии. Общий закон сохранения энергии.

 

2. Элементы специальной теории относительности

 

Пространство и время. Пространство и время в классической механике. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея. Постулаты специальной теории относитель-ности. Преобразования Лоренца. Относительность понятия одновременности событий. Относительность временных интервалов. Лоренцево сокращение длины. Релятивистский закон сложения скоростей. Интервал между событиями и его инвариантность по отноше-нию к выбору инерциальной системы отсчета как проявление и взаимосвязь пространства и времени.

Элементы релятивистской динамики. Импульс и масса в релятивистской динамике. Основной закон релятивистской динамики материальной точки. Взаимосвязь массы и энергии. Релятивистское выражение для кинетической энергии. Соотношение между пол-ной энергией и импульсом.

 

Основные законы и формулы

 

1.1. Элементы кинематики

Средняя и мгновенная скорости материальной точки

, ,

, v= ,

где - элементарное перемещение точки за промежуток времени ; - радиус-вектор точки; - путь, пройденный точкой за промёжуток времени .

Среднее и мгновенное ускорения материальной точки

,

Полное ускорение при криволинейном движении

= ,

где а_t = - тангенциальная составляющая ускорения;

а _n - нормальная составляющая ускорения (R-радиус кривизны траектории в данной точке).

Путь, скорость для равнопеременного движения

;

,

где v₀ -начальная скорость.

Угловая скорость

.

Угловое ускорение

Угловая скорость для равномерного вращательного движения

,

где Т-период вращения; n = - частота вращения (N — число оборотов, совершаемых телом за время t).

Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения

;

где ₀ - начальная угловая скорость.

Связь между линейными и угловыми величинами:

; v=R ; a_t=R ε; а_{n = ,}

где R- расстояние точки от оси вращения.

 

1.2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

 

Импульс (количество движения) материальной точки

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

=m = .

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

.

Сила трения скольжения

Fтр = f N,

гдеf - коэффициент трения скольжения; N- сила нормального давления.

Сила трения качения

Fтр = ,

где f_k - коэффициент трения качения; г - радиус катящегося тела.

Закон сохранения импульса для замкнутой системы

где n - число материальных точек (или тел), входящих в систему.

 

1.З. Работа и энергия

 

Работа, совершаемая постоянной силой,

,

где F_s - проекция силы на направление перемещения;

- угол между направлениями силы и перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой, на пути s

А= .

Средняя мощность за промежуток времени

Мгновенная мощность

или .

Кинетическая энергия движущегося со скоростью v тела массой m

T= .

Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией тела

или

- единичные векторы координатных осей.

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью земли на высоту h,

П =mgh,

гдеg - ускорение свободного падения.

Сила упругости

F=-kx

где х - деформация; к- коэффициент упругости.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

.

Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

Т + П = Е =.соnst.

Коэффициент восстановления

где и -соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.

Скорости тел массами m₁и m₂ после их абсолютно упругого центрального удара

,

,

где v ₁ и v₂ - скорости этих тел до удара.

Скорость тел массами m ₁ и m ₂, движущихся соответственно со скоростями v ₁ и v₂, после абсолютно неупругого центрального удара

.

1.4.Механика твердого тела

Момент инерции материальной точки

,

где m-масса точки; r-расстояние до оси вращения.

Момент инерции системы (тела)

,

где r_{і -} расстояние материальной точки массой m _і до оси вращения; в случае непрерывного распределения масс

.

Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m масса тела):

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	То же
Прямой тонкий cтержень длиной	Ось перпендикулярна cтержню и проходит через его середину
То же	Ось перпендикулярна и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

 

 

Теорема Штейнера

_,

где J_с- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; J — момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m —мас-са тела.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной осиz,

_,

где J_z — момент инерции тела относительно оси; -его угловая скорость.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости бёз скольжения,

T= ,

где m- масса тела; v_c — скорость центра масс тела; J_c — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; — угловая скорость тела.

Момент силы относительно неподвижной точки

,

где — радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы . Модуль момента силы

М=F ,

где — плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

Работа при вращении тела

А=М_z d ,

где d — угол поворота тела; М_z — момент силы относительно оси z.

Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси

вращения

,

где r_{і -} расстояние от оси z отдельной частицы тела; m_і v_і –импульс этой частицы; J_z –мо-

мент инерции тела относительно оси z; -его угловая скорость.

Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

,

ε— угловое ускорение; J_z — момент инерции тела относительно оси z.

Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы

.

Напряжение при упругой деформации тела

,

где F - растягивающая (сжимающая) сила; S—площадь поперечного сечения тела.

Относительное продольное растяжение (сжатие)

,

 

где — изменение длины тела при растяжении (сжатии)

—длина тела до деформации.

Относительное поперечное растяжение (сжатие)

где — изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии);d— диаметр стержня.

 

Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

где Е-модуль Юнга.

Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) тела

,

где V-объем тела.

 

1.5. Элементы специальной (частной) теории относительности

 

Преобразования Лоренца

x^' = , у^'=у, z^'=z‚ ,

 

где предполагается, что система отсчета К^' движется со скоростью v в положительном направлении оси x системы отсчета К, причем оси х^' и х совпадают, а оси у^' и у, z^' и z, параллельны; с — скорость распространения света в вакууме.

 

Релятивистское замедление хода часов

^{' =}

Где -промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; ^'- промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

,

l ₀— длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); l — длина стержня, измеренная в системе отсчета относительно которой он движётся со скоростью v.

Релятивистский закон сложения скоростей

_{, , ,}

где предполагается, что система отсчета К^' движется со скоростью v в положительном направлении оси х системы отсчета К, причем оси х^' и х совпадают, оси у^' и у,z^' и z параллельны.

Интервал S₁₂ между событиями (инвариантная величина)

где t₁₂ — промежуток времени между событиями 1 и 2;

l ₁₂— расстояние между точками, где произошли события.

Релятивистский импульс частицы

,

где m — масса частицы.

Основной закон релятивистской динамики

,

где релятивистский импульс.

Полная и кинетическая энергия релятивистской частицы

; Т=Е-Е_0,

 

где Е ₀ — энергия покоя (m масса частицы; с — скорость распространения света в вакууме).

Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

Е² = m²с⁴ + р²с ^2, pc= .

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Диск радиусом R = 5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением = 2Аt + 5Вt ⁴

(А =2рад/с ², В = 1 рад/с ⁵). Определить для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов, сделанных диском.

 

Дано:R=5см=0,05м, В=5см=0,О5м, =2Аt+5Вt ⁴, А=2рад/с², В=1рад/с⁵, t = 1 с.

Определить: 1) а; 2) N.

Решение. Полное ускорение , где тангенциальная составляющая ускорения ( -угловое ускорение), а нормальная составляющая ускорения

.

По условию задачи следовательно,

,

,

откуда полное ускорение

.

Угол поворота диска (N —. число оборотов), но угловая скорость следовательно,

.

. Тогда число оборотов, сделанных диском,

.

Проверим единицы измерения.

[а]= [м ] = , N-единиц измерения не имеет.

Подставив числовые данные, получим:

 

а = = 4,22(м/с²),

N= =0,477 0,5.

Ответ: 1) а = 4,22 м/с ² , 2) N 0,5.

Задача 2. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,1 кг м², намотан шнур к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h ₀ =1м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию W _k, груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т.Трением пренебречь.

Дано: R=20 cм = 0,2м, J=0,1кгм ², m=0,5кг, h₀ =1м

Определить: 1) t; 2) W_{k ;} 3) Т.

Решение.

При опускании груза его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения и кинетическую энергию вращательного движения: - (1),

где , откуда или

; (2).

Движение равноускоренное, поэтому Рис.1

(3); Рис.1

. (4).

Выразим t из (4) и подставив в 2) получим:

;

Кинетическая энергия , подставив уравнение (2), получим

.

По второму закону Ньютона

mg -T= ma, откуда T= m(g- а).

Из (3): ,

Тогда .

Проверим единицы измерения и проведем вычисления t, W_K и Т.

= ,

, .

Ответ: t=1,1с; W_k=0,82Дж; Т=4,1Н.

Задача 3. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня 1=1 м. Найти скорость v пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол а =10°.

Дано: М=1000 m, =1м, .

Определить v.

Решение.

Силу сопротивления воздуха не учитываем, следовательно,

систему «пуля-шар» можно считать замкнутой. Запишем закон

сохранения импульса и энергии для данной системы:

mv = (m+M)u (1), Рис.2.

где u-скорость шара вместе с пулей после удара.. В результате взаимодействия шара с пулей, он приобрел кинетическую энергию, которая после отклонения стержня на < перешла в потен -циальную энергию

(2).

Из (1) выразим u:

u = или u = = .

Из (2) получим:

.

Найдем h.

ВМ= , h= ; , тогда

.

Проверим единицы измерения v.

.

Проведем вычисления v. 550(м/с).

Ответ :v =550м/с.

Задача 4. Найти работу А, которую надо совершить, чтобы сжать пружину на =20 см, если известно, что сила F пропорциональна сжатию и жесткость пружины k = 2,94 кН/м.

Дано: =20 см =0,2м, k = 2,94 кН/м=2,94.10 ³ Н/м.

Определить А.

Решение

Работа, совершаемая при сжатии пружины, определяется формулой

(1),

где — сжатие. По условию сила пропорциональна сжатию, т.е. F = - k — (2). Подставляя (2) в (1), получим

.А = 58,8 Дж.

Проверим единицы измерения А.

Проведем вычисления А. Рис.3

Ответ: А=58,8Дж.

Задача 5. Камень брошен горизонтально со скоростью v _{x =} 10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t=3с после начала движения.

Дано: v _x=10м/с, t=3с.

Определить R.

Решение.

Нормальное ускорение камня

(1);

из рисунка видно, что

(2).

Из уравнения (1)

, где .

Кроме того ; . Сделав соответствующие подстановки,

получим .

Проверим единицы измерения и проведем вычисления искомой величины.

, R=

Ответ R= 305м.

Задача 6. Два свинцовых шара массами m ₁= 2 кг и m ₂ = 3 кг подвешены иа нитях длиной = 70 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар откло-нили на угол = 60 ⁰ и отпустили (рис. 4). Считая удар центральным и неупругим, опре-делить: 1) высоту h, на которую поднимутся шары после удара; 2) энергию , израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано:m ₁=2кг,m ₂=3кг, =7Осм =0,7м, =60 ⁰.

Определить: 1) h; 2) .

Решение. Удар неупругий, поэтому после удара шары движутся с Рис.4

общей скоростью v, которую найдем из закона сохранения импульса: , (1)

где v₁ и v₂ — скорости шаров до удара. Скорость v ₁ малого шара найдем Рис.4

из закона сохранения механической энергии:

,

откуда

(2)

(учли, что h ₁ = (1—соs )).

Из выражений (1) и (2) при условии, что v ₂= 0, получим

. (3) Из закона сохранения механической энергии имеем

,

Откуда искомая высота

(учли формулу (3)).

Энергия израсходованная на деформацию шаров при ударе,

,

или подставив (2) в (4), находим

.

Проверим единицы измерения определяемых величин и проведем вычисления.

, .

,

Ответ: 1) h=5,6 cм; 2) Т= 4,12 Дж.

Задача 7. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью v =3 м/с, прошел до остановки расстояние s. = 20,4 м. Найти коэффициент трения k камня о лед.

Дано: v= 3 м/с, s=20,4м.

Определить k.

Решение. Рис.5

Работа силы трения при скольжении камня по льду равна

А = F_тр S cos ,

где F _тр =k mg cos , cos180 ⁰=-1, тогда А = -k mgS - (1). С другой стороны, работа силы трения равна приращению кинетической энергии камня А =W ₂ -W _1.

Поскольку W ₂ =0, то А = - W ₁ = - — (2). Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим . Единиц измерения k не имеет.

Подставив числовые значения и вычисляя получим:

k=

Ответ k=0,02.

Задача 8. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростьюv = 7,2 км/ч. На какое расстояние s может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен IО м на каждые IОО м пути.

Дано: v =7,2 км/ч=2 м/с, h=10 м, =100 м.

Определить S. Рис.6

Решение.

У основания горки обруч обладал кинетической энергией W _k, которая складывалась из кинети-ческой энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения. Когда обруч вка-тился на горку на расстояние s, его кинетическая энергия перешла в потенциальную.

W _k. =W_п

Момент инерции обруча J= mR² , частота вращения . Тогда

Следовательно, m v ² = mgН, откуда

Из (рис.6) видно, что , откуда

или .

Проверим единицы измерения S.

Подставив числовые данные, получим:

S = Рис.7.

Ответ S=4,1м.

Задача 9. Карандаш длиной 1=15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость и линейную скорость v будет иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша?

Дано: см =0,15м.

Определить: v₁ и v _2.

Решение.

Рассмотрим движение центра масс карандаша. В вертикальном положении он обладает потен-циальной энергией, которая при падении переходит в кинетическую энергию вращения (рис.7).

- (1).

Момент инерции карандаша относительно оси, проходящей через его конец, найдем по теореме Штёйнера:

- (2).

Подставив (2) в (1), получим

,откуда ;

= 14 рад/с. Поскольку = = , а линейная скорость v= R, то скорость конца карандаша v ₁ = =2,1м_./с. Скорость середины =1,05 м/с.

Ответ: v₁=2,1м /с, v ₂=!,05м/с.

Задача10. Горизонтальная платформа (рис.8) массой m =100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n ₁ =10 об/мин. Человек массой m ₀ =60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n ₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека — точечной массой.

Дано: m=100 кг, n₁ =10 об/мин_, m ₀=60 кг.

Определить n _2.

Решение:

Система «человек - платформа» замкнута в проекции на ось у,

т. к. моменты сил М_mg =0 и M _m0g =0 в проекции на эту ось. Сле-

довательно, можно воспользоваться законом сохранения момента Рис.8

импульса. В проекции на ось у:

J₁ w ₁= J ₂ w ₂ - (1),

где J ₁- момент инерции платформы с человеком, стоящим на ёе краю, J ₂ - момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре, w ₁ и w ₂ - угловые скорости платформы в обоих случаях. Здесь

- (2),

где R- радиус платформы. Подставляя (2) в (1) и учитывая, что , где n - частота вращения платформы, получим:

; .

Вычисляя, получим

Ответ n ₂ =22об/мин.

Задача11. Доказать, что при малых скоростях релятивистская формула кинетической энергии переходит в классическую.

Решение.

Релятивистская формула кинетической энергии:

Разложим выражение по формуле бинома Ньютона

=1 + ... и отбросим члены более высокой степени, чем , в силу их малости (v «c).Тогда

Задача12. Мезоны космических лучей достигают поверхности Земли с самыми разно-образными скоростями. Найти релятивистское сокращение размеров мезона, скорость которого равна 95% скорости света.

Дано v=0,95c

Определить

Решение.

Т. к. поперечные размеры тела при его движении не меняются, то изменение объема тела определяется лоренцевым сокращением продольного размера, определяемого формулой

Следовательно, объем тела сокращается по аналогичной формуле

.

Подставляя числовые данные, получим

V=0,31 2V ₀

Тогда относительное изменение объема

% = 68,8%.

 

Задача13. Солнце излучает поток энергии Р = 3,9. 1О²⁶ Вт. За какое время масса Солнца уменьшится в 2 раза? Излучение Солнца считать постоянным.

Дано: Р=3,9 Вт, m ₀=1,989.10³⁰кг.

Определить .

Решение.

Поток энергии, излучаемый Солнцем, определяется соотношением

- (1).

Изменение энергии Солнца в процессе излучения

- (2).

По условию - (3),

где m ₀ =1,989.1 0 ³⁰— начальная масса Солнца. Подставляя (2) в (1), с учетом (3),

получаем

,

откуда время, за которое масса Солнца уменьшится в 2 раза, равно

.

Проверим единицы измерения определяемой величины.

.

Подставив числовые данные и вычисляя, получим

= .

Ответ =7,2.10 ¹² лет.

 

 

Задачи

1.1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид: х =А +Вt +Ct ³,

где А = 2 м, В = 1 м/с, С = -0,5 м/с ³ Найти координату х, скорость v и ускорение а точки в момент времени t = 2 с.

 

1.2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону = А + Вt + C t ², где А=10 рад, В= 20 рад/с, С=-2 рад/с ². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии

r = 0,1 м от оси вращения, для момента t = 4 с.

 

1.3.Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 50 м. За-кон движения автомобиля выражается уравнением: S=10 +10t - 0,5t ². Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения в момент времени t= 5 с.

 

I.4. Движение материальной точки задано уравнением х = А t + Bt ² , где А = 4 м/с,

В= -0,05 м/с ². Определить момент времени, в который скорость точки v= 0. Найти координату и ускорение в этот момент.

 

1.5. Точка движется по окружности радиусом 60 см с тангенциальным ускорением

10 см/с ². Чему равны нормальное и тангенциальное ускорения в конце третьей секунды после начала движения.Чему равен угол между векторами полного и нормального

ускорения в этот момент.

 

1.6. Материальная точка с массой m= 2 кг движется под действием некоторой силы согласно уравнению х = А + Вt + Сt ² + Dt ³, где C= 1 м/с ², D=-0,2 м/с³. Найти значение этой силы в момент времени t = 2 c. В какой момент времени сила равна нулю?

 

1.7. Маховик делал 4 оборота в секунду. При торможении он начал вращаться равно-замедленно и остановился через З с. Сколько оборотов сделал маховик до остановки?

 

1.8.Камень брошен с вышки со скоростью 29,4 м/с в горизонтальном направлении. Найти радиус кривизны траектории камня в точке, где он будет через 4 с после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

1.9. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: х₁ = 20 + 2t – 4t ²,

х₂ = 2 + 2 t + 0,5t ^2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

 

1.10. Движение точки по прямой задано уравнением х =Аt + Bt², где А= 2 м/с, В=-0,5м/с². Определить скорость и ускорение движения точки в момент времени t = З с.

 

1.11. Движение точки по окружности радиуса R = 4 м задано уравнением S= А + Вt + Ct², где А = 10 м, В =-2 м/с, С = 1 м/с ². Найти тангенциальное, нормальное и полное ускоре-ния точки в момент времени t= 2 с.

.

1.12. Диск радиусом 20 см вращается согласно уравнению = А +Bt+Ct ³, где А = З рад, В =-I рад/c, С = 0,1 рад/с ³. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

 

1.13. Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска равна 6 м/с; точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость 4 м/с. Сколько оборотов в секунду делает диск?

 

1.14. Маховик вращается по закону, выражающемуся уравнением = 0,5 t ². Найти угловую скорость и угловое ускорение маховика в момент времени t= 2 с. Найти танген-циальное, нормальное и полное ускорения в этот момент для точки, лежащей на маховике на расстоянии 0,8 м от оси вращения.

 

 

1.15. Тело брошено со скоростьюvо = 15 м/с под углом = 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) высоту h подъема тела; 2) дальность полета (по

горизонтали) s тела; 3) время t его движения.

 

1.16. Тело брошено со скоростью vо =20 м/с под углом = 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени t = 1,5 с после начала движе-ния: 1) нормальное ускорение; 2) тангенциальное ускорение.

 

1.17. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s =А - Вt +

Сt² +Dt ³ (А = б м, B=3 м/с, С = 2 м/с², D = 1 м/с ³). Определить для тела в интервале времени от t ₁= 1с до t ₂ = 4с: 1)среднюю скорость; 2) среднее ускорение.

 

1.18. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = А + Вt + Сt ² + Dt ³ (С =0,1 м/с², D = 0,03 м/с ³). Определить: 1) через какое время после начала движения ускорение тела будет равно а =2 м/с²; 2) среднее ускорение тела за этот проме-

жуток времени.

 

1.19. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью v ₀. Определить ускорение тела, если за время t =2с оно прошло путь s = 16 м и его скорость v = 3v _0.

 

1.20. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид х₁ = А ₁ + В₁t² + С₁ t ³ и x _{2 =} А ₂ t + В₂t ²+ С₂t ³ , где В₁= 4 м/с², С₁= -3 м/с³, B₂ =-2 м/с ², С ₂ = 1 м/c³. Определить момент времени, для которого ускорения этих точек будут равны.

 

1.21. Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид х₁ = А₁ +

B ₁ t+C ₁t ² x ₂=A ₂ +B₂t+C ₂t ², где В₁ = В ₂, С₁ = -2 м/с², С ₂= 1 м/с². Определить: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2) ускорения а ₁ и а₂ для этого момента.

 

1.22. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону , где — орты осей х и у. Определить для момента времени t = 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.

 

1.23. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону . Определить:1) скорость ; 2) ускорение ; 3) модуль скорости в момент времени t= 2 с.

 

1.24. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением = А + Вt +Сt ²- Dt ³ (В =

1 рад/с, С = 1 рад/с², D = 1 рад/с ³). Определить для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а _t ; 2) нормальное ускорение а _n ; 3) полное ускорение а.

 

1.25. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением = Аt ² (А = 0,5 рад/с ²). Определить к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное, нормальное и полное ускорения

 

1.26. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота ра-диуса диска от времени задается уравнением = Аt ² (А = 0,1 рад/с ²). Определить пол-ное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если в этот момент линейная скорость этой точки v= 0,4 м/с.

 

1.27. Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением v = At + Вt ² (А = 0,3 м/с², В = 0,1 м/с³). Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения образует с радиусом колеса угол = 4°.

 

1.28.Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью v ₀₌ 20 м/с, останови-лась через t = 40 с. Найти коэффициент трения шайбы о лед.

 

1 29. Гиря массой 0,200 кг, привязанная к нити, опускается с ускорением 1 м/с ². Чему равно натяжение нити?

 

1.30. Шар массой m ₁₌ 10 кг сталкивается с шаром массой m ₂ = 4 кг Скорость первого шара v ₁₌ 4 м/с, второго – v ₂ = 12 м/с. Найти общую скорость u шаров после удара в двух случаях: когда малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; когда шары движутся навстречу друг другу. Удар считать прямым, неупругим.

 

1.31. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь S= 5 м и приобрела ско-ростьv = 2 м/с. Определить работу А силы, если масса вагонетки m= 400 кг и коэффи-циент трения f=0,01.

 

1.32. Найти работу подъема груза по наклонной плоскости, если масса груза m= 100 кг, длина наклонной плоскости = 2 м, угол наклона = 30 ⁰, коэффициент трения f = 0,1 и груз