Контрольные карты по количественным признакам

Лабораторная работа № 8

Контрольные карты используются для статистического контроля и регулирования технологического процесса. На контрольную карту наносят значения некоторой статистической характеристики (точки), рассчитываемые по данным выборок в порядке их получения, верхнюю и нижнюю контрольные границы К_в (или UCL) и К_н (или LCL), верхнюю и нижнюю границы технических допусков Т_в и Т_н (при их наличии), а также среднюю линию (CL). Иногда используют также предупредительные границы К_п. Для расчёта границ и построения контрольной карты используют обычно 20...30 точек. Пример контрольной карты представлен на рисунке 8.1.

Рис.8.1. Пример контрольной карты.

По положению точек относительно границ судят о налаженности или разлаженности технологического процесса. Обычно процесс считают разлаженным в следующих случаях:

1. Некоторые точки выходят за контрольные пределы.

2. Серия из семи точек оказывается по одну сторону от средней линии. Кроме того, если по одну сторону от средней линии находятся:

а) десять из серии в одиннадцать точек

б) двенадцать из четырнадцати точек

в) шестнадцать из двадцати точек

3. Имеется тренд (дрейф), т.е. точки образуют непрерывно повышающуюся или непрерывно понижающуюся кривую.

4. Две – три точки оказываются за предупредительными двухсигмовыми границами

5. Приближение к центральной линии. Если большинство точек находится внутри полуторасигмовых линий, это значит, что в подгруппах смешиваются данные из различных распределений

6. Имеет место периодичность, т.е. то подъём, то спад с примерно одинаковыми интервалами времени

7. Контрольные границы шире поля допуска. В идеальном случае достаточно, чтобы контрольные границы составляли ¾ величины поля допуска.

Если процесс налажен (достигнута необходимая точность и стабильность), на контрольную карту продолжают наносить точки, но через 20...30 точек пересчитывают контрольные границы. Они должны совпадать с исходными границами. Если контрольная карта показывает, что процесс разлажен, находят причины разладки и производят наладку.

Бывают контрольные карты по количественным признакам (для непрерывных значений) и по качественным признакам (для дискретных значений). По количественным признакам используют в основном следующие контрольные карты:

- карта средних арифметических значений (-карта)

- карта медиан (-карта)

- карта средних квадратичных отклонений (s-карта)

- карта размахов (R-карта)

- карта индивидуальных значений (x-карта)

Карта средних значений используется для контроля отклонения параметра от нормы и настройки на норму. Точки на контрольной карте – это средние значения небольших выборок, обычно одинакового объёма, из 3...10 элементов:

, где n – объём выборки (подгруппы).

Для получения выборок можно также использовать результаты измерений, проводившихся через одинаковые промежутки времени, путём разбиения их на группы.

Средние значения выборок находят с одним лишним знаком по сравнению с исходными данными. Среднюю линию рассчитывают как среднее из средних значений выборок:

, где k – число подгрупп (число точек). Обычно k = 20...30.

Контрольные границы рассчитывают по формуле

, где - среднее квадратичное отклонение всей совокупности данных. В этом выражении (как и при расчёте контрольных границ для других видов контрольных карт) коэффициент 3 используется, исходя из правила трёх сигм.

Карта медиан используется вместо карты средних значений, когда хотят упростить расчёты. Точки на карте – это медианы выборок одинакового объёма из 3...10 элементов. Медиана – это при нечётном объёме выборки середина вариационного ряда, при чётном объёме выборки – среднее из двух значений середины вариационного ряда.

Средняя линия - это среднее из медиан выборок. Контрольные границы находят по формуле

Карта медиан менее точна, чем карта средних значений. При использовании для расчётов компьютера применение карты медиан вместо карты средних значений вряд ли оправдано.

Карта средних квадратичных отклонений используется для контроля рассеяния показателя. Точки на карте – средние квадратичные отклонения выборок одинакового объёма из 3...10 элементов. Средняя линия - это среднее из СКО выборок. Контрольные границы:

, где c² – критерий Пирсона, n – объём выборки, a - уровень значимости. Обычно принимают a = 0,0027, что соответствует доверительной вероятности 0,9973. Часто на s-карте используют только верхнюю границу.

Карта размахов используется вместо карты средних квадратичных отклонений, когда хотят упростить расчёты. При этом карта размахов менее точна.

При построении R-карты берут 20...30 выборок одинакового объёма из 2...10 элементов. Точки ан карте – размахи выборок. Размах выборки R – это разность между максимальным x_max и минимальным x_min значениями выборки. Средняя линия - это среднее размахов выборок. Контрольные границы рассчитывают по формулам:

При уровне значимости 0,0027 коэффициенты D₃ и D₄ можно найти из табл. 8.1. При n<7 нижняя контрольная граница не используется.

Таблица 8.1.

n
D₃	-	-	-	-	-	0,076	0,136	0,184	0,223
D₄	3,267	2,575	2,282	2,115	2,004	1,924	1,864	1,816	1,777

Часто при статистическом регулировании технологических процессов используют двойные карты, отражающие как отклонение параметра от нормы, так и его рассеяние. Это могут быть, например, -карты или другие.

Пример 8.1. В цехе принято решение перевести на статистическое регулирование технологический процесс изготовления болта на автоматах. За показатель качества выбран диаметр болта, равный 26 мм, и его допускаемые отклонения: es = -0,005 мм; ei = -0,019 мм. Построить контрольную -карту и провести по ней статистический анализ процесса. Для упрощения измерений и вычислений измерительный прибор (рычажная скоба) был настроен на размер 25,980 мм. Результаты измерений (отклонения от размера 25,980 мм в микрометрах) приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Цех автоматный	Оборудование – токарный автомат 5803	Контролируемая операция – нарезание резьбы	Контролируемый параметр – -0,005 Æ 26 -0,019
Объём контроля N=100	Объём выборки n=5	Средство контроля – рычажная скоба
Время	№ выборки	Результаты контроля
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
14.00
15.00
16.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
14.00
15.00
16.00

В ячейку А1 новой книги Excel вводим заголовок работы. В диапазон А4:F24 вводим исходные данные (номера выборок и результаты контроля).

Вначале рассчитываем данные для построения контрольной карты средних значений. В ячейке G5 рассчитываем среднее значение первой выборки при помощи статистической функции СРЗНАЧ. Полученную формулу копируем в диапазон G6:G24.

В ячейке Н5 рассчитываем значение (среднюю линию) как среднее из средних значений выборок при помощи статистической функции СРЗНАЧ. В полученной формуле для диапазона ячеек вводим абсолютную адресацию и копируем формулу в диапазон Н6:Н24. Это необходимо для того, чтобы в дальнейшем можно было провести среднюю линию на контрольной карте.

В ячейке В26 рассчитываем среднее квадратичное отклонение всей совокупности результатов измерений s при помощи статистической функции СТАНДОТКЛОН для диапазона В5:F24.

В ячейке I5 рассчитываем нижнюю контрольную границу К_н. Формула в ячейке будет выглядеть так: =H5-3*B26/КОРЕНЬ(5). Указав абсолютную адресацию для имён ячеек, копируем формулу из ячейки I5 в диапазон I6:I24. Это необходимо, чтобы в дальнейшем провести границу на карте.

В ячейке J5 рассчитываем верхнюю контрольную границу, и после указания абсолютной адресации для имён ячеек копируем формулу из ячейки J5 в диапазон J6:J24.

В ячейках К5 и L5 рассчитываем значения нижнего и верхнего технических допусков, вводя в них формулы =26000-19-25980 и =26000-5-25980 соответственно. Эти формулы копируем также в диапазон К6:L24.

Далее рассчитываем данные для построения контрольной карты средних квадратичных отклонений. В ячейке М5 рассчитываем среднее квадратичное отклонение первой выборки и копируем полученную формулу в диапазон М6:М24. В ячейке N5 рассчитываем среднее из СКО выборок, и после указания абсолютной адресации копируем формулу в диапазон N6:N24. В ячейке О5 рассчитываем нижнюю контрольную границу по формуле =N5*КОРЕНЬ(ХИ2ОБР(1-0,0027/2;4)/5) и копируем формулу в диапазон О6:О24. В ячейке Р5 рассчитываем верхнюю контрольную границу и копируем содержимое ячейки в диапазон Р6:Р24.

Полученная электронная таблица показана на рис. 8.2. По расчётным значениям строим -карту.

Сначала строим -карту. В мастере диаграмм выбираем вид диаграммы Точечная диаграмма, на которой значения соединены отрезками. В качестве исходных данных выделяем диапазон А5:А24, G5:L24. Полученную диаграмму редактируем при помощи контекстного меню. а также наносим обозначения контрольных границ при помощи инструмента Надпись панели инструментов Рисование.

Аналогичным образом строим s-карту.

Чтобы получить из двух построенных карт единый объект, совмещаем их по длине (например, прижав к левому краю электронной таблицы), одновременно выделяем щелчками левой кнопкой мыши на каждой диаграмме при нажатой клавише Shift и группируем командой Группировать, вызываемой из инструмента Действия панели инструментов Рисование. Полученная контрольная -карта показана на рис. 8.3.

Рис. 8.2. Расчёт контрольных карт в примере 8.1.

Рис.8.3. -карта, полученная в примере 8.1.

Анализ контрольной карты показывает, что рассеяние диаметра болта приемлемо, и по рассеянию процесс стабилен (оборудование настроено достаточно точно), поскольку на s-карте нет показаний разлаженности процесса. Однако на -карте имеются серии из девяти точек (с четвёртой по двенадцатую) и из восьми точек (с тринадцатой по двадцатую), расположенных по одну сторону от средней линии. Это указывает на нестабильность процесса. Видимо, в течение процесса, при переходе от двенадцатой к тринадцатой точке изменилось математическое ожидание диаметра. Следует постараться выяснить причину этой нестабильности и провести управляющее воздействие на процесс. После стабилизации контрольную карту следует построить заново.

Задание

1. Выполнить расчёты и построения в соответствии с примером 8.1.

2. Построить контрольную -карту по результатам измерения некоторого параметра качества, представленным в табл. 8.3. Провести статистический анализ процесса.

Таблица 8.3.

№ выборки	Х₁	Х₂	Х₃	Х₄	Х₅