Точки пространства, удаленные от данной точки 
на данное расстояние 
, образуют сферу с центром и радиусом . Сфера ограничивает шар, состоящий из точек, удаленных от на расстояние, не большее . Эти геометрические объекты, так же как окружность и круг, рассматривали еще в глубокой древности. Открытие шарообразности Земли, появление представлений о небесной сфере дали толчок к развитию специальной науки - сферики, изучающей расположенные на сфере фигуры. Рассмотрим основные вопросы классической стереометрии: взаимное расположение шара (сферы) и других пространственных фигур, измерение объема шара и его частей, а также площади сферы и ее частей.
Прежде всего, плоскость 
, проведенная на расстоянии 
от центра шара радиуса , в пересечении с шаром дает круг радиуса 
с центром в точке 
- основании перпендикуляра, проведенного из к (рис. 1). Если плоскость отстоит от центра на расстояние 
, то имеет с шаром (и сферой) единственную общую точку 
. Такие плоскости называются касательными к шару (сфере); они характеризуются тем, что перпендикулярны радиусу 
, проведенному в точку касания.
Рис. 1
Круговое сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу - на две сегментные поверхности. Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними сферическим поясом (или зоной), называется шаровой зоной (рис. 2). Радиусы, проведенные от центра шара к точкам сферы, принадлежащим одной сегментной поверхности или сферическому поясу, образуют шаровой сектор - он может быть ограничен сферическим сегментом или зоной и одной или двумя коническими поверхностями (рис. 3). Высота шаровой или сферической зоны - это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента или сегментной поверхности определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту (рис. 2). Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности или сферического пояса (рис. 3).
Рис.2 Рис. 3
Еще в Древней Греции умели вычислять объемы шаровых секторов и площади сферических зон или сегментов по формулам:
, 
,
где 
, как обычно, - отношение длины окружности к ее диаметру. Рассматривая шар и сферу как частные случаи шарового сектора и сферической зоны - с высотами 
, - мы получаем формулы для объема шара и площади сферы:
, 
.
Архимед интерпретировал эти формулы так: объем и поверхность шара составляют 
от объема и полной поверхности описанного около шара цилиндра (рис. 4; по желанию Архимеда такой чертеж был изображен на его гробнице).
Рис. 4
Касания круглых тел с прямой и плоскостью
Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая единственную общую точку со сферой.
Теорема. Через любую точку A сферы проходит единственная касательная плоскость. Эта плоскость перпендикулярна радиусу OA сферы, где O – центр сферы.
Теорема. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то линия сечения сферы этой плоскостью – окружность.
Из теоремы следует, что, когда расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса, сечение шара этой плоскостью – круг. Если плоскость удалена от центра сферы на расстояние R, то она является касательной плоскостью.
