Арифметический квадратный корень

Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень

С

тепенью с натуральным показателем n числа а называется произведение n сомножителей равных этому числу.

- всего n сомножителей.

Например, .

 

Число а называют основанием, а число n называют показателем степени.

Степень с показателем 2 называют квадратом, а с показателем 3 – кубом.

 

Примеры:

Корнем n-ой степени (n-натуральное число) из числа a (обозначение ) называют такое число x, степень которого равна a (). Эту операцию называют извлечением корня n-ой степени из a. Корень из положительного числа – всегда число положительное.

 

Корень второй степени не пишут, то есть .

Например, , а не -2, хотя .

 

Если число n – четное, то операция извлечения корня из отрицательного числа в поле действительных чисел не определена. Например, действительного числа не существует.

 

Степенью с рациональным показателем m/n числа x (степенью с дробным показателем) называют число , m и n – целые числа.

Например,

 

Любое число, кроме 0, в нулевой степени равно 1 . Операция не определена.

 

Еще одно важное соотношение

.

 

Например:

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}

Определем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. По определению: .
2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

, n > 0

Возведение в нулевую степень:

, a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

• a > 0;
• n — натуральное число;
• m — целое число;

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Пример 3.

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функции и увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен , a ≥ 0. При a < 0 — выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу .

Корень из квадрата

Например, . А решения уравнения соответственно и

Кубический корень

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен . Кубический корень определен для всех . Его можно извлечь из любого числа: .

Корень n-ой степени

Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .

Если — чётно.

• Тогда, если a < 0 корень n -ой степени из a не определен.
• Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n -ой степени из a и обозначается

Если — нечётно.

• Тогда уравнение имеет единственный корень при любом .

Пример 4.

Таблица корней

Корень третьей степени (3)		Корень седьмой степени (7)
Корень четвертой степени (4)		Корень восьмой степени (8)
Корень пятой степени (5)		Корень девятой степени (9)
Корень шестой степени (6)		Корень десятой степени (10)