Вычисление обратной матрицы Методом Гаусса

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 8

 

 

По дисциплине: Теория алгоритмов

 

Наименование работы: Вычисление обратной матрицы и определителя.

 

 

Для специальности: 230115

 

Работа рассчитана на 2 часа

 

Составлена преподавателем Мохнач О.А.

 

г. Смоленск

2012 г.

 

 

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить алгоритмы вычисления обратной матрицы и определителя матрицы.

2. ЛИТЕРАТУРА Конспект.

3. ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ ПОДГОТОВКИ:

1.1. Суть метода Гаусса.

1.2. Какие методы решения СЛАУ вы знаете?

1.3. Что такое обратная матрица. Как ее получить?

1.4. Что такое определитель? Методы вычисления определителей.

4. ОБОРУДОВАНИЕ: ПЭВМ

ЗАДАНИЕ.

Вариант	Задача
	Разработать программу, вычисляющую обратную матрицу для матрицы n-го порядка. Написать комментарии к каждой строчке программы.
	Разработать программу, вычисляющую определитель для матрицы n-го порядка. Написать комментарии к каждой строчке программы
	Разработать программу, вычисляющую обратную матрицу для матрицы n-го порядка. Написать комментарии к каждой строчке программы.
	Разработать программу, вычисляющую определитель для матрицы n-го порядка. Написать комментарии к каждой строчке программы
	Разработать программу, вычисляющую обратную матрицу для матрицы n-го порядка. Написать комментарии к каждой строчке программы.
	Разработать программу, вычисляющую определитель для матрицы n-го порядка. Написать комментарии к каждой строчке программы
	Разработать программу, вычисляющую обратную матрицу для матрицы n-го порядка. Написать комментарии к каждой строчке программы.
	Разработать программу, вычисляющую определитель для матрицы n-го порядка. Написать комментарии к каждой строчке программы
	Разработать программу, вычисляющую обратную матрицу для матрицы n-го порядка. Написать комментарии к каждой строчке программы.
	Разработать программу, вычисляющую определитель для матрицы n-го порядка. Написать комментарии к каждой строчке программы

5.2. Проверить получившиеся решения, решив задачу вручную или в математическом пакете (например, Маткад).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

6.1. Повторить правила техники безопасности:

При работе и техническом обслуживании ПК необходимо соблюдать следующие меры предосторожности:

• Запрещается во время работы ПК размыкать и замыкать разъемные соединения.

• источники света должны быть расположены так, чтобы не засвечивать экран монитора, не создавать резких бликов на экране и не светить из-за монитора в глаза человека, работающего с ПК;

Не кладите на монитор бумагу, ткани и прочее, что может нарушить вентиляцию.

ВключениеПК должно производиться в следующей последовательности:

· включить принтер (если он нужен);

· включить монитор;

· включить системный блок.

Перед выключением компьютера завершите все работающие программы и подождите 1-2 сек. (это необходимо, если на ва­шем ПК предусмотрено кэширование дисков). Далее необходимо:

• выключить системный блок;

• выключить принтер (если он был включен);

• выключить монитор.

6.2. Задать двумерный массив размерности n любым способом.

6.3. Реализовать алгоритм нахождения обратной матрицы.

6.4. Реализовать алгоритм нахождения определителя матрицы.

6.5. Вывести результаты.

6.6. Оформить отчет.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА.

7.1. Цель работы.

7.2. Текст программы с комментариями.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

8.1. Понятие и цель алгоритма Гаусса.

8.2. Вычисление определителя матрицы методом разложения по строке.

8.3. Методы преобразования задачи.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Вычисление обратной матрицы Методом Гаусса

Метод Гаусса является поистине универсальным методом в линейной алгебре, поскольку он применим и к решению систем линейных уравнений, и к решению определителей, и к отысканию обратной матрицы.

Идея Гаусса заключается в обнулении элементов матрицы ниже главной диагонали и приведении ее к треугольному виду, то есть к простейшему виду, который позволит вычислить легко вычислить определитель, решить систему линейных алгебраических уравнений. Однако для решения вопроса вычисления обратной матрицы недостаточно привести матрицу к треугольному виду. Поскольку обратная матрица призвана переводить исходную матрицу в единичную, то необходимо преобразовать исходную матрицу в единичную, пользуясь пунктами преобразования матрицы по методу Гаусса.

Таким образом, для вычисления обратной матрицы по методу Гаусса, необходимо применить преобразования Гаусса к исходной матрице дважды: сверху-вниз и снизу-вверх. В итоге мы сначала обнуляем элементы ниже главной диагонали, а затем выше главной диагонали, кроме того в конечном итоге приводим все элементы главной диагонали к единице и получаем из данной матрицы единичную.

Теперь возникает естественный вопрос: ну преобразуем мы двойным методом Гаусса матрицу к единичному виду, а откуда же возьмется обратная матрица? Вопрос вполне резонный, поскольку в ходе преобразований матрицы к единичному виду мы не вычисляем обратную матрицу. Дело в том, что необходимо попутно проводить идентичные преобразования Гаусса с рядом записанной единичной матрицей. Тогда указанные преобразования, переводящие исходную матрицу в единичную, переведут единичную матрицу в обратную исходной.