Определение аналитических зависимостей методом наименьших квадратов (МНК)

Прежде, чем рассматривать применение МНК к конкретным ситуациям, ознакомьтесь (повторите) МНК по указанной выше литературе. В рассматриваемых ниже приложениях, МНК позволяет получить аналитические зависимости характеристик датчиков, аппроксимируя их различными соотношениями.

Освещенность фотодатчика связана с расстоянием от него до источника света (l). Характеристика фотодатчика (соотношение расстояние l - сила тока I) может быть описана формулой I = f (l). Для данного датчика в широком диапазоне расстояний выполняется соотношение

(1),

которое можно преобразовать к виду

(2)

или

(3),

где a = k/a, b = b/a.

Методом наименьших квадратов по экспериментальным точкам легко найти значения коэффициентов a и b. Для этого перейдем к обратным величинам в левой и правой частях уравнения I = f (l).

(4),

где d = 1 /I. Мы совершили преобразование от обратной зависимости I = f (l) к прямой d = g (l).

Для индуктивного датчика зависимость силы тока от перемещения линейная (d = I) поэтому его характеристика I = f (l) имеет вид

I = al + b (5).

Т.е. при в расчетах используется величина I, а не обратная величина d. При этом характеристика индуктивного датчика также может быть записана d = g (l) при I = d.

Найдем сумму квадратов разностей между экспериментальными и эмпирическими точками

(6)

 

(7)

 

 

и потребуем, что бы значение суммы было наименьшим U = min (N – количество экспериментальных точек, l_i – расстояние и d_i – значение функции в этих точках). Наложенному условию удовлетворяет такая величина U, частные производные которой по a и b равны 0. Для определения коэффициентов, выпишем их в явном виде и решим полученную систему уравнений:

 

 

 

 

 

(8)

 

Из (8) и (9) найдем выражения для коэффициентов соотношения (3) для фотодатчика.

 

 

 

(9)

 

 

 

 

(10).

 

 

Выражения для коэффициентов индуктивного датчика, найденные методом наименьших квадратов есть

 

(11)

Где выражения для z и n совпадают с (10), и определяются уравнениями (12)

(12).

Подстановка полученных значений в (4) и (5) дает выражения для характеристик конкретных датчиков.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1.

 

ИЗУЧЕНИЕ ФОТОДАТЧИКА

 

 

Рис. 1

Изучаемый фотодатчик (фотодиод Д) включен в цепь, содержащую микроамперметр m А (рис. 1). Электрическая лампочка, на которую подается питание 12 В от понижающего трансформатора, располагается в металлической трубке напротив фотодиода и может перемещаться с помощью движка. Входной величиной является величина светового потока, падающего на фотодиод. Но, так как эта величина зависит определенным образом от расстояния между лампочкой и фотодиодом (l), то для упрощения будем рассматривать его в качестве входной величины. Выходная величина – сила тока (I).