Прежде, чем рассматривать применение МНК к конкретным ситуациям, ознакомьтесь (повторите) МНК по указанной выше литературе. В рассматриваемых ниже приложениях, МНК позволяет получить аналитические зависимости характеристик датчиков, аппроксимируя их различными соотношениями.
Освещенность фотодатчика связана с расстоянием от него до источника света (l). Характеристика фотодатчика (соотношение расстояние l - сила тока I) может быть описана формулой I = f (l). Для данного датчика в широком диапазоне расстояний выполняется соотношение
(1),
которое можно преобразовать к виду
(2)
или
(3),
где a = k/a, b = b/a.
Методом наименьших квадратов по экспериментальным точкам легко найти значения коэффициентов a и b. Для этого перейдем к обратным величинам в левой и правой частях уравнения I = f (l).
(4),
где d = 1 /I. Мы совершили преобразование от обратной зависимости I = f (l) к прямой d = g (l).
Для индуктивного датчика зависимость силы тока от перемещения линейная (d = I) поэтому его характеристика I = f (l) имеет вид
I = al + b (5).
Т.е. при в расчетах используется величина I, а не обратная величина d. При этом характеристика индуктивного датчика также может быть записана d = g (l) при I = d.
Найдем сумму квадратов разностей между экспериментальными и эмпирическими точками
(6)
(7)
и потребуем, что бы значение суммы было наименьшим U = min (N – количество экспериментальных точек, li – расстояние и di – значение функции в этих точках). Наложенному условию удовлетворяет такая величина U, частные производные которой по a и b равны 0. Для определения коэффициентов, выпишем их в явном виде и решим полученную систему уравнений:
 |
(8)
Из (8) и (9) найдем выражения для коэффициентов соотношения (3) для фотодатчика.
 | |||
 | |||
(9)
 |
(10).
Выражения для коэффициентов индуктивного датчика, найденные методом наименьших квадратов есть
(11)
Где выражения для z и n совпадают с (10), и определяются уравнениями (12)
(12).
Подстановка полученных значений в (4) и (5) дает выражения для характеристик конкретных датчиков.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задание 1.
ИЗУЧЕНИЕ ФОТОДАТЧИКА
 |
Рис. 1
Изучаемый фотодатчик (фотодиод Д) включен в цепь, содержащую микроамперметр m А (рис. 1). Электрическая лампочка, на которую подается питание 12 В от понижающего трансформатора, располагается в металлической трубке напротив фотодиода и может перемещаться с помощью движка. Входной величиной является величина светового потока, падающего на фотодиод. Но, так как эта величина зависит определенным образом от расстояния между лампочкой и фотодиодом (l), то для упрощения будем рассматривать его в качестве входной величины. Выходная величина – сила тока (I).
