Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными:
Простейшие дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
Общий вид:
(разделим на 
, т. е. делим на то, что мешает проинтегрировать уравнение)
и далее проинтегрируем, как с разделёнными переменными.
Например:
(т. к. сумма логарифмов есть логарифм произведения)
Линейные дифференциальные уравнения
Общий вид:
. Решаются такие уравнения:
, 
Из этого уравнения выражаем V, подставляем в предыдущее уравнение, находим U.
Ответ записываем так: . Например:
Однородные дифференциальные уравнения
Общий вид:
, где 
и 
— однородные функции
— однородная, если 
.
Решаются такие уравнения заменой 
. Например:
(умножим на 
)
(разделим на 
)
. После интегрирования получим:
Ответ: 
.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называются дифференциальными уравнениями второго порядка:
Общим решением уравнения 
называется функция 
, содержащая две произвольные постоянные 
и 
и удовлетворяющая условиям:
1. при любых значениях постоянных и функция является решением дифференциального уравнения;
2. каковы бы не были начальные условия 
, существуют единственные значения 
и 
такие, что функция является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет начальным условиям.
Частным решением дифференциального уравнения второго порядка уравнения называется всякое решение 
, получающееся из общего решения при фиксированных значениях 
и 
.
Простейшие уравнения второго порядка имеют вид:
или 
. Уравнение такого вида решается двукратным интегрированием.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)
ЛДУ второго порядка называются уравнения вида 
, где 
и 
— постоянные величины, а 
— непрерывная функция.
Уравнения вида называются ещё неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка.
Если 
, то уравнение принимает вил:
— ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и .
Теорема 1
Если 
— решение уравнения , то и 
, где 
— постоянный множитель, также будет решением данного уравнения.
Теорема 2
Если , 
— решение уравнения , то и сумма 
также будет решением данного уравнения.
Два частных решения уравнения называются линейно зависимыми, если одно из них может быть получено умножением другого на какой-либо постоянный множитель, в противном случае частное решение называют линейно независимыми.
Теорема 3
Если и — линейно независимые частные решения уравнения , то общее решение его будет 
, где и 
— произвольные постоянные величины.
Частными линейно-независимыми решениями уравнения являются функции вида: 
, где k — произвольное число, которое нужно найти.
