Числовые характеристики распределения случайной величины

Модой Mo(X) случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность (дискретная величина) или плотность вероятности (непрерывная величина) достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным, если мода единственна, то распределение называется унимодальным.

Медианой Me(X) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, для которого P(X<Me(X)) = P(X>Me(X))=1/2, т. е. вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее медианы Me(X) или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая x=Me(X), проходящая через точку с абсциссой, равной Me(X), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке x=Me(X) функция распределения равна ½, т. е. F(Me(X))=1/2.

Квантилем (квартилем) уровня q (или q-квантилем) называется такое значение x_q случайной величины, при котором интегральная функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е. F(x_q)=P(X<x_q)=q.

Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5 (2-ой квартиль), т. е. Me(X)=x_0,5. Квантили x_0,25 и x_0,75 (1-ый и 3-ий квартили) получили название соответственно верхнего и нижнего квантилей.

Начальным моментом k-ого порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-ой степени этой величины m_k=M(X^k).

Центральным моментом k-ого порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины X от ее математического ожидания. m_k=M[X-M(X)]^k.

Момент	Случайная величина
дискретная	непрерывная
начальный
центральный

В таблице: x_i - значения, которые принимает дискретная случайная величина с вероятностями p_i, f(x) - плотность вероятности непрерывной случайной величины, а - математическое ожидание.

Нетрудно заметить, что при k=1 первый начальный момент случайной величины X есть ее математическое ожидание m₁=M(X)=a, при k=2 второй центральный момент - дисперсия m_k=D(X).

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты по формулам:

m₁ = 0

m₂ = m₂ - (m₁)²

m₃ = m₃ - 3m₁m₂ + 2(m₁)³

m₄ = m₄ - 4m₁m₃ + 6(m₁)²m₂ - 3(m₁)⁴

Первый начальный момент (математическое ожидание) характеризует среднее значение или положение распределения случайной величины на числовой оси.

Второй центральный момент (дисперсия) характеризует степень рассеяния распределения случайной величины относительно математического ожидания.

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на куб среднего квадратического отклонения случайной величины. Полученная величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины . Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то А=0. Кривая более пологая справа имеет положительную асимметрию (А>0), более пологая слева - отрицательную (А<0).

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом (коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число (число 3 вычитается, т. к. для нормального распределения ). Кривые более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные - отрицательным эксцессом.