Системы линейных уравнений

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с равенством . Если

1)

2) и непрерывны на

3) при изменении z от α до β значения не выходят за пределы отрезка то (5)

Доказательство. Пусть –первообразная для функции то есть .. Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(I)

Покажем, что функция является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] =

Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(II)

Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5).

Пример.

при x=0 при x=ln2

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид

Пример.

Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.

1. Вычисление площади в декартовых координатах.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

(6)

Площадь фигуры, ограниченной кривой непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.7) равна

(7)

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и и прямыми x=a и x=b (рис.8) равна

(8)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и и неотрицательны и непрерывны), пересекающимися в точке с абсциссой x=b, прямыми x=a, x=c и осью Ox (Рис.9), равна

(9)

В случае параметрического задания кривой площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

(10)

Где и определяются из уравнений на отрезке

Пример1. Найти площадь, ограниченную линиями

и

Решение. Одна из линий–парабола, другая–прямая (рис.10).

Найдем их точки пересечения

Тогда по формуле (8)

 

 

Системы линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1.Система может иметь единственное решение.

2.Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.

3.И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.