Произведением вектора 
на число и направлен в ту же сторону если 
(
) и противоположную сторону если 
(
).
Свойства умножения вектора на число:
10. Сочетательное свойство (ассоциативность):
.
20. Распределительное свойство (дистрибутивность):
Свойства легко проверяются геометрически.
11) Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве
§ 16. Проекция вектора на ось и ее свойства.
Пусть на плоскости или в пространстве заданы ось l с единичным вектором е и произвольный вектор а.
Ортогональной проекцией (или просто проекцией) вектора а на ось l называется число, равное произведению длины вектора а на косинус угла между векторами е и а.
Проекция вектора а на ось l обозначается символом пр lа или пр е а.
Таким образом, по определению
пр lа = | a | cos 
.
Отложим вектор а от точки О оси l.
Если угол между векторами е и а острый (рис. 50, а), то проекция вектора а на ось l равна длине отрезка ОА1 и где А1 — проекция точки А на прямую l.
Действительно,
Если угол между векторами е и а тупой (рис. 50,б), то проекция вектора а на ось l равна длине отрезка ОА1 и взятой со знаком минус.
В самом деле,
Если вектор а перпендикулярен оси l, то = 90° и пр lа = | a | cos 90° = 0.
Рассмотрим два важных свойства проекции вектора на ось.
Свойство 1. Для любых векторов а и b справедливо равенство
пр l (а + b) = пр lа + пр lb, где l — произвольная ось.
Это свойство позволяет заменять проекцию суммы векторов суммой их проекций и наоборот.
Свойство 2. Для любого вектора а и любого числа k справедливо равенство
пр l k a = k пр l a,
где l — произвольная ось.
Это свойство позволяет выносить и вносить числовой множитель за знак проекции.
Справедливость этих свойств следует из правил действий над векторами, заданными своими координатами.
В самом деле, пусть l — произвольная ось с началом отсчета О и единичным вектором е. Введем прямоугольную систему координат следующим образом (рис. 51).
Примем точку О за начало координат, а вектор е — за первый базисный вектор (i = e). В качестве других базисных векторов j и k возьмем любые два единичных перпендикулярных друг другу вектора, лежащих в плоскости перпендикулярной оси l.
Пусть вектор а = OA > имеет координаты х, у, z. Тогда, по определению проекции,
пр lа = | a | cos 
.
Но | a | cos = x, т. е. проекция любого вектора на ось l равна абсциссе этого вектора в выбранном нами базисе.
Так как абсцисса суммы векторов равна сумме абсцисс слагаемых векторов (§ 11), то, следовательно, и проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций этих векторов на ось l.
Точно так же и проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, так как при умножении вектора на число его абсцисса умножается на это число.
