Математика
Контрольные задания для студентов,
обучающихся по очно-заочной форме обучения
по направлению 550400- “Телекоммуникации”
Дисц. "Математика"
Киров 1999
Составитель: к.т.н., доцент.Бучин В.Н.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
1-10. Даны векторы a (a1; a2; a3), b (b1; b2; b3), с(c1, c2; c3), c (c1; c2; c3) и d (d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
1. а (1; 2; 3), b (-1; 3; 2), c (7; -3; 5), d (6; 10; 17).
2. а (4; 7; 8), b (9; 1; 3), с (2; —4; 1), d (1; —13; —13).
3. а (8; 2; 3), b (4; 6; 10), с (3; —2; 1), d (7; 4;11).
4. а (10; 3; 1), b (1; 4; 2), с (3; 9; 2), d (19; 30; 7).
5. а (2; 4; 1), b (1; 3; 6), с (5; 3; 1), d (24; 20; 6).
6. а (1; 7; 3), b (3; 4; 2), с (4; 8; 5), d (7; 32; 14).
7. а (1;—2; 3), b (4; 7; 2), с (6; 4;2), d (14; 18; 6).
8. а (1; 4; 3), b (6; 8; 5), с (3; 1; 4), d (21; 18; 33).
9. а (2; 7; 3), b (3; 1; 8), с (2;—7; 4), d (16; 14; 27).
10. 2; 1), b (4 3; 5), с (3; 4;-2), d (2; -5; -13).
11-20. Даны координаты вершин пирамиды А1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и А1А4, 3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; 4) площадь грани A1A2A3; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой A1A2; 7 ) уравнение плоскости A1A2A3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань A1A2A3. Сделать чертеж.
11. A1 (4; 2; 5), A2 (0; 7; -2), A3 (0; 2; 7), A4 (1; 5; 0).
12. A1 (4; 4; 10), A2 ( 4; 10; 2), A3 (2; 8; 4), A4 (9; 6; 4).
13. A1 ( 4; 6; 5), A2 (6; 9; 4), A3 (2; 10; 10), A4 (7; 5; 9).
14. A1 ( 3; 5; 4), A2 ( 8; 7; 4), A3 (5; 10; 4), A4 (4; 7; 8).
15. A1 (10; 6; 6), A2 (—2; 8; 2), A3 (6; 8; 9), A4 (7; 10; 3).
16. A1 (1; 8; 2), A2 (5; 2; 6), A3 (5; 7; 4), A4 (4; 10; 9).
17. A1 (6; 6; 5), A2 (4; 9; 5), A3 (4; 6; 11), A4 (6;9; 3).
18. A1 (7; 2; 2), A2 (5; 7; 7), A3 (5; 3; 1), A4 (2; 3; 7).
19. A1 (8; 6; 4), A2 (10; 5; 5), A3 (5; 6; 8), A4 (8; 10; 7).
20. A1 (7; 7; 3), A2 (6; 5; 8), A3 (3; 5; 8), A4 (8; 4; 1).
Элементы линейной алгебры
51-60. Дана система линейных уравнений
решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления
51. | 52. |
53. | 54. |
55. | 56. |
57. | 58. |
59. | 60. |
71-80. Найти собственные значение и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
71. | 72. |
73. | 74. |
75. | 76. |
77. | 78. |
79. | 80. |
Введение в математический анализ
111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
111. а) в) | б) г) |
112. а) в) | б) г) |
113. а) в) | б) г) |
114. а) в) | б) г) |
115. а) в) | б) г) |
116. а) в) | б) г) |
117. а) в) | б) г) |
118. а) в) | б) г) |
119. а) в) | б) г) |
120. а) в) | б) г) |
131-140. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
Производная и ее приложения
141-150. Найти производные данных функций.
141. а) б)
в) г) ; д)
142. а) б)
в) г) д)
143. а) б)
в) г) д)
144. а) б)
в) г) д)
145. а) б)
в) г)
д)
146. а) б)
в) г) д)
147. а) б)
в) г)
д)
148. а)
б) в)
г) д)
149. а) б)
в) г)
д)
150. а) б)
в) г)
д)
151-160. Найти и для заданных функций: а) б)
151. а) б)
152. а) б)
153. а) б)
154. а) б)
155. а) б)
156. а) б)
157. а) б)
158. а) б)
159. а) б)
160. а) б)
181. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?
182. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R1, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наименьший объем?
183. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2 a и 2 b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
184. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в радиус R.
185. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.
186. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
187. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?
188. В точках А и В, расстояние между которыми равно a, находятся источники света соответственно с силами F 1 и F 2. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку M0.
Замечание: Освещенность точки источником света силой F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света: .
189. Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?
Замечание: Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины x ее поперечного сечения на квадрат его высоты y:
190. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равно p 1 руб., а стенок - p 2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?