Работа № 10. Решение обыкновенного дифференциального уравнения

 

Постановка задачи:

Дано обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) y' = f(x,y). Известно начальное приближение y(a)=y_O.

Требуется на заданном отрезке [a, b] вычислить заданное количество значений функции y =y(x) с точностью e = 0.001, 0.0001.

При выполнении работы необходимо:

- По номеру варианта, назначенного преподавателем, взять уравнение; отрезок [a,b], начальное условие, точное решение из приведённой ниже таблицы.

- Создать программу получения заданного количества точек (рекомендуется 10 точек) численного решения ОДУ методом, указанным преподавателем, на заданном [a,b], при известном начальном условии y(a)=y_O, с заданной точностью eps=0.001 и 0.0001. Для достижения нужной точности использовать автоматический выбор шага.
Требования к программе: алгоритм уточнения корня уравнения и вычисление f(x) оформить в виде процедур; ввод и вывод данных сопровождать текстовыми пояснениями.

- Решить уравнение с помощью математических программ “Эврика”, MathCAD или MatLab.

- Оформить и защитить отчёт.

Контрольные вопросы к работе:

1. Постановка задачи. Методы решения ОДУ, их краткая сравнительная характеристика.

2. Метод Эйлера: геометрическая иллюстрация метода; вывод формулы метода; схема алгоритма.

3. Исправленный метод Эйлера: геометрическая иллюстрация метода; вывод формулы метода; схема алгоритма.

4. Метод Эйлера модифицированный: геометрическая иллюстрация метода; вывод формулы метода; схема алгоритма.

5. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка: формула метода; схема алгоритма.

6. Выбор шага при решении ОДУ.

Контрольные задачи к работе:

Дано обыкновенное дифференциальное уравнение вида y'=f(x,y). Известно начальное приближение y(a)=y_O.

Требуется на заданном отрезке [a,b] при заданном числе элементарных отрезков n вычислить 1- 3 первые точки функции y=F(x) методами Эйлера или Рунге-Кутта.

 

 

Номер вар-та	Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение
Номер вар-та	Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение
Номер вар-та	Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение
Номер вар-та	Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение
Номер вар-та	Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение
Номер вар-та	Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение

 

Работа № 11. ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИИ

 

Постановка задачи:

Дана функция J(x₁,x₂).

Требуется найти безусловный минимум функции с точностью e = 0.001, 0.0001.

При выполнении работы необходимо:

- По номеру варианта, назначенного преподавателем, взять функцию из приведённой ниже таблицы.

- Создать программу поиска безусловного минимума функции F(X) методом, назначенным преподавателем.
Требования к программе: алгоритм поиска минимума и вычисление значения функции J(X) оформить в виде процедур; ввод и вывод данных сопровождать текстовыми пояснениями.

- Используя созданную программу, решить систему нелинейных уравнений для своего варианта из работы № 8, сведя задачу поиска решения этой системы к задаче поиска безусловного минимума функции .

- Найти минимум функции с помощью математических программ “Эврика”, MathCAD или MatLab.

- Оформить и защитить отчёт.

Контрольные вопросы к работе:

1. Методы многомерной безусловной минимизации. Постановка задачи. Типы рельефов поверхности целевой функции. Классификация методов многомерной минимизации.

2. Метод покоординатного спуска: геометрическая иллюстрация; схема алгоритма.

3. Метод сканирования: геометрическая иллюстрация; алгоритм.

4. Метод случайного поиска: геометрическая иллюстрация; схема алгоритма.

5. Метод градиентного спуска: геометрическая иллюстрация; схема алгоритма; формула итерационного процесса; условия завершения итерационного процесса. Наискорейший спуск.

Контрольные задачи к работе:

Ø Вычислить модуль градиента целевой функции в указанной точке.

Ø Вычислить новое приближение решения задачи минимизации методом покоординатного спуска или градиентным методом при известном старом приближении и заданном параметре минимизации (шаге h или параметре а).

Ø Изобразить траекторию спуска в точку минимума методом покоординатного или градиентного спуска. Рельеф поверхности целевой функции и начальная точка траектории приведены на рисунке.

 

Номер вар-та	Функция J(x1,x2)	Номер вар-та	Функция J(x1,x2)
	J = (x1 - 1)2 + 1.5(x2 + 2)2		J = (x12 – x22)2 + (1 – x2)2
	J = (x1 –x2)2 + (2x1 – 20)2		J = (x1 + x2)2 + 9(x2 – 5)2
	J = x12 + 2(x22 – 5)2		J = cos2x1 + 2(x2 – 5)2
	J = 2x12 + (x1 + x2)2 + 8x22		J = ((x1 – 3)/2)2 + (x1 – x2)2
	J = x12 x22+(2,2 – x1)2		J = e
	J = (x1 – x2 + 5)2 + (1 + x1)2		J = x12 + (5 + x1x2)2 + x22
	J = x12/5 + (x22 – 2)2/4 + 1		J = (x12+9)/5 + (x22+x12)/8 + 21
	J = 2(x1+1)2 + (x1x2)2 + (x2–1)2		J = (x1 + x2)4 + (x2 – 7)2 + 3.9
	J = (x1 – 2)2 + 1.5(x1 – 9x2)2		J = (x1+2x2–18)2 + (0.5–x2)2
	J = ((x1+x2–2)/5)2 + (x22–25)/9.7		J = (x1 + x2 – 5)2 + (x1 + 2)2/7
	J = (x12 + x24)/5 + (x2 – 1)2/9		J = ln2((x1–x2)2 + (x2–20)2 +5)
	J = (x12 – x2)2 + (1 – x1)2 + 9.3		J = x12 + 2x22 + (4.5x1x2 + 2)2
	J = (x1 – x2)2 + ((x1 +x2 –10)/3)2		J = (x12 + 19)2/9 + (x2 – 5)2/6
	J = (x2+1)2/3.33 + (x1–1.5)2/4+ 2		J = e
	J = 10x12 +2x22 +(5x1 + 1)2		J = (x22–100)2 + (x12–x2+5)2+1
	J = (x1 – lnx2)2 + 2.4x12 + 9		J = (1–x1–2x2)2 + 2(x2–9.3)2
	J = ln2x1 + (5 – x1 – 2x2)2/11		J = (x1 – e )2 + (lnx1 – x2)2
	J = (x1 – 5)2 + (x2 – x1 – 25)2		J = sin2(x1 +1) + cos2(x2 + 2)
	J = e ln22x2 + 4(x12 + x22)		J = (x1 + 1)2/4 + (x1 + 2x2 + 4)2
	J = 2x12/5+0.5(x1x2)2+9(x2 – 1)2		J = x12/6 + sin2x1x2 + (x2 – 2)2
	J = 10 + (x1 + x2 –20)2 + x22		J = (x12+2x1)2/5+(x22–2x2)2/10
	J = (x12–5x1)2/2 + (x22+10x2)2/3		J = (x1 – 3)2 + ln2x2 + 10.5
	J = (x1–9)2 + ((x1+x2+1)/2)2 + 9		J = 7.8(x1–1.5)2 + 2(2–x2)2 + 3
	J = ln2(2 – x1) + (x1 – 0.2x2)2		J = (x1 – 25x2)2 + ln2(0.5 – x2)
	J = (7x1–2.5)2+(x1–12x2)2 + 8		J = ln2(2–x1) + ln2(4–2.3x2)+ 5

 

Номер вар-та	Функция J(x1,x2)	Номер вар-та	Функция J(x1,x2)
	J = 4x12 + 8(x1-x2)2 + 4x22 + 3	52.	J = (x1 – 2x2 – 4)2 + (5 – 2x1)2
	J = 40(1,5–x1)2+(x1+x2)2+ 20x22		J = (0,5x12 + x1)/2 +(x22+0,2x2)/3
	J = (lnx1–20)2 + (x1+2x2)2 + 50		J = exp(4x12) – 4(x1-x2)2 + x22
	J = e (lnx2 – 5)2 + (x1 – 8)2		J = 100(x2 – x13)2 + (2 – x1)2
	J = (1.5 – x1(1 – x2))2 + (x1 + 5)2		J = (2.6–x2(1–x13))2 + (x2–5)2
	J = 20x12 – 40(x1x2)2 + 20x22+17		J = (x1 – lnx2)2 + (3x2 – 0.8)
	J = (x1 – 2)2 + (x1 – 2lnx2)2		J = (x1 – x2)2 + (x2 + 19.8)2 + 7
	J = (x1-e )2+(lnx1–x2)2+(10–x1)2		J = x12/5 + (x2 – 5)2/4 + 3
	J = (2x1–9)2+((2.9x1–0.7x2-2)2)/7		J=sin2(x1+ )+cos2(x2- )+2
	J = (2x1 – 3)2 + (4x2 – 5)2 + 100		J = (x2 – 7x1 + 3)2 + (8 – x1)2
	J = e		J = (25 –x2(2-x1))2 + (x1(3-x2))2
	J = ln2(2(x1 + x2)2 + (x1x2)2)		J = (x2+6.3)2/3.3+(x1-1.5x2)2/4
	J = (2-x1(1-x2)3)2 + (3-x2(7-x12))2		J = 33(x2-x13)2 + (1-x1)2
	J = (4-2x1-0.5x2)2/8 + ln2x2		J = (20x1+x2)2 + 10
	J = x12x22(105 – x2)2		J = (7x1-2.9)2 + 0.75(x1-1.1x2)2
	J = sin2(x1-2) + sin2(2x1-x2+1)		J = x22 + 4(x1-7.5)2
	J = (1.5-x2)2 + 0.1(x1x2)2 + 40x12		J = (x1-2,5)2 + (x2 - x1-3,1)2
	J = ln2((x1-2)2+(x1-x2-8)2)		J = (x2-lnx1)2 + (x1-e )2
	J = ln2(2-x2) + (x2-3x1)2		J = e
	J = (5-x1(1-x23))2 + (x1-3)2		J = cos2(x1-2) + 0.1(x2-0.3)2
	J = (x12-10.8)2 + (x2-1,3x1)2 + 1		J = (x1-5)2 + ln2(x2+7.6) + 3
	J = (x2-lnx1)2 + (2x1-8.3)2		J = 90(1-x1)2+(x1x2)2+105(x2-7)2
	J = e		J = (x1+x2-4)2 + (x1+12)2/7
	J = x12(1.5-x2)2 + x22(x1-7)2		J = (x1-4.5)2 + (7x1-2x2+13)2
	J = ln2((x1-3.3)2 + (x1-x2+6)2)		J = (x1-lnx2)2 + 2(x2-7.3)2

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение 1

Работа № 6. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ2

Работа № 7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ 5

Работа № 8. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ 10

Работа № 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО
ИНТЕГРАЛА 15

Работа № 10. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 22

Работа № 11. ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИИ 29