Условие низких давлений означает, что длина пробега заряженных частиц значительно превышает радиус зонда le>>rз, li>>rз. Кроме того, предполагается, что дебаевский радиус плазмы, примерно определяющий расстояние, на которое электрическое поле зонда проникает в плазму, также существенно меньше длины пробега заряженных частиц lD<<le, li. При этих условиях заряженные частицы движутся на зонд без столкновений, а зонд не возмущает функцию распределения заряженных частиц по скоростям на расстоянии их свободной длины пробега, где функция распределения считается изотропной, а концентрации электронов и ионов равны ne=ni=n0.
Ток отталкивающихся частиц на зонд определяется хаотическим тепловым движением этих частиц у поверхности зонда с больцмановским распределением концентрации. Вообще больцмановское распределение предполагает отсутствие потоков частиц, но при 
оно выполняется достаточно точно ввиду малости такого потока. Такой крутой экспоненциальный спад концентрации отталкивающихся частиц позволяет для оценки тока притягивающихся частиц на зонд разбить призондовую область на две: область квазинейтральности, примыкающей к невозмущенной плазме, где падение потенциала мало, по сравнению с kТ/е и ne»ni, и область слоя, где отталкивающими частицами можно пренебречь, а падение потенциала примерно равно разности потенциалов зонд-плазма. Ток притягивающихся частиц определяется их попаданием из области квазинейтральности в слой, так как в слое они ускоряются электрическим полем и все попадают на зонд. Толщина слоя определяется потоком этих частиц в слой и приложенной разностью потенциалов, т.е. полным пространственным зарядом в слое, компенсирующим приложенное электрическое поле.
Предположим, что зонд находится под достаточно большим потенциалом (отрицательным или положительным) относительно плазмы 
. В этом случае можно считать: во-первых, что в слое находятся заряды одного знака пренебрегая экспоненциально спадающей концентрацией отталкивающихся частиц, во вторых, можно пренебречь влиянием начальных скоростей частиц входящих в слой. Тогда условия прохождения тока формально будут такими же, как в вакуумном диоде в режиме объемного заряда, т.е. когда напряженность поля у поверхности эмиттера равна нулю. Отличие заключаются только в том, что в диоде ток определяется фиксированным межэлектродным расстоянием и потенциалом анода и не зависит от эмиссионной способности эмиттера до его насыщения. В слое же между плазмой и зондом ток определяется эмиссионной способностью плазмы, т.е. концентрацией и температурой заряженных частиц. Толщина же слоя в этом случае устанавливается такой, как и в вакуумном диоде и выполняется закон ²3/2².
Связь между током частиц, поступающим на зонд, разностью потенциалов зонд-плазма и толщиной слоя можно найти, решая совместно уравнение Пуассона, связывающего потенциал с плотностью заряда 
, и уравнение непрерывности для тока I(x)= const.
Для плоского промежутка толщиной 
решение уравнения Пуассона при нулевых начальных скоростях заряженных частиц приводит к известной формуле, впервые полученной Ленгмюром [1]:
, (1)
где 
- плотность тока, 
- разность потенциалов, 
и 
- заряд и масса заряженных частиц. Индекс 
означает, что параметры относятся к собирающему электроду (зонду).
Для цилиндрического и сферического промежутков уравнение Пуассона аналитического решения не имеет. По аналогии с плоским случаем Ленгмюр представил решение соответственно для цилиндрической и сферической геометрии в виде:
, (2)
. (3)
Для цилиндрического и сферического зондов по найденным значениям коэффициентов и по таблицам определяется отношение радиуса слоя к радиусу зонда (см. Таблицу 1).
Таблица1. Коэффициенты b2 и a2 закона ¢¢3/2¢¢
| rcл/rз | 1,05 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,0 |
| b2 | 0,0025 | 0,0098 | 0,0385 | 0,0850 | 0,1485 | 0,3233 | 0,5572 | 0,8454 |
| a2 | 0,0024 | 0,0096 | 0,0372 | 0,0809 | 0,1396 | 0,2968 | 0,5020 | 0,7500 |
| rcл/rз | 2,4 | 2,8 | 3,2 | 3,6 | 4,0 | 4,6 | 5,0 | 6,0 |
| b2 | 1,5697 | 2,470 | 3,59 | 4,73 | 6,06 | 8,28 | 9,89 | 14,34 |
| a2 | 1,3580 | 2,100 | 3,00 | 3,91 | 4,97 | 6,71 | 7,98 | 11,46 |
| rc/rз | 8,0 | |||||||
| b2 | 24,8 | 36,98 | 65,35 | 115,65 | 214,42 | |||
| a2 | 19,6 | 29,2 | 51,86 | 93,24 | 178,2 |
Учет начальных скоростей электронов, эмитируемых в промежуток из катода с температурой 
, рассмотрен Ленгмюром в [2, 5]. Для плоского случая получены поправки к выражению (1), определяемые из таблиц. Для цилиндрического и сферического случаев предложена упрощенная поправка в виде множителя 
к правым частям (2), (3).
Поступление ионов из плазмы в призондовый слой отличается от поступления электронов из термокатода. Бомом [6] для плоского случая показано, что при пренебрежении температуры ионов они входят в слой со скоростью 
при нулевом градиенте потенциала на границе слоя (
- температура электронов). Граница слоя при этом считается резкой, а наличием электронов в слое пренебрегается.
При расчете ионного тока из плазмы на зонд в теории слоя пренебрегают поправкой на начальную скорость ионов, ввиду малости и неопределенности. Толщину слоя рассчитывают с использованием формул (2, 3) и таблиц Ленгмюра, а плотность ионного тока из плазмы на слой считается по формуле Бома [6]:
, (4)
где 
- концентрация невозмущенной плазмы, а потенциал на границе слоя принимается 
, что соответствует скорости ионов на границе 
.
Однако в случае малых зондов, когда 
(
- электронный дебаевский радиус), такой подход дает существенную ошибку вследствие некорректности разбиения на области квазинейтральной плазмы и слоя. Впервые на это указано в [7], более детальное рассмотрение проведено в [8].
С другой стороны, при пренебрежении температурой ионов возможен прямой расчет уравнения Пуассона по всей области до зонда без разбиения на слой и квазинейтральную плазму. Это так называемая «радиальная теория» [9]. Уравнение Пуассона для цилиндрического и сферического случаев запишутся соответственно:
(5)
(6)
При заданном ионном токе 
эти уравнения интегрировались численно [10-12] при граничных условиях: 
, 
, 
, 
для отношений радиуса зондов к электронному дебаевскому радиусу 
- цилиндр и 
- сфера, где 
- концентрация невозмущенной плазмы, - электронный дебаевский радиус. Некоторые результаты расчетов показаны на рисунке 1.
|
|
|
|
от потенциала зонда 
. при различных отношениях радиуса зонда к дебаевской длине 
. Численное решение уравнений (9), (10).
а) сферический зонд, б) цилиндрический зонд
В [8] получены аппроксимирующие выражения для ионного тока по радиальной теории. При 
для сферического зонда применимы приближения:
: 
: 
(7)
: 
Для более часто используемых цилиндрических зондов можно предложить аппроксимацию, применимую для всей области значений 
:
(8)
Аппроксимация (8) имеет погрешность менее 1 % для и менее 3 % для 
и . В выражениях (7-8) 
, откуда при известной температуре электронов и плотности тока на зонд 
можно найти концентрацию плазмы 
.
Если ионы обладают конечным моментом количества движения, они двигаются по криволинейным траекториям. На рисунке 2 приведены различные типы орбит притягивающихся частиц. ²А² - орбита частицы непрерывно двигающейся к зонду и попадающей на зонд, ²В² - орбита частицы, отталкивающейся от потенциального барьера и возвращающейся в плазму, ²С² - орбита захваченной, но не попадающей на зонд частицы. В случае ¢¢В¢¢ и ¢¢С¢¢ появляются ионы, двигающиеся от зонда и дающие дополнительный вклад в значение концентрации. Вычисление концентрации ионов, подставляемой в уравнение Пуассона, становится чрезвычайно сложной задачей.
Рисунок 2 – различные типы орбит ионов.
Бернстейн и Рабинович [13] впервые провели полный анализ вкладов всех возможных орбит и рассчитали численно зондовую характеристику в предположении моноэнергетического распределения ионов по скоростям в невозмущенной плазме. Указанный подход называется «орбитальной» теорией.
Основной вопрос заключается в выборе соответствующей теории. Наиболее правильной считается орбитальная теория. Однако для ее применения требуется отсутствие разрушающих орбитальное движение столкновений (межионных, ион-атомных) во всей области возмущения плазмы зондом. Для этого должно выполняться условие lii ,lin >> lD , r3, причем это неравенство должно быть сильным. При холодных ионах это накладывает существенные ограничения на измеряемую концентрацию, так как 
, с., при Ti» 300K требуется выполнение условия 
. При условиях lii£l¶,r3 наиболее применима радиальная теория, при этом для уменьшения ошибки нежелательно наличие толстого слоя пространственного заряда, т.е. необходимы небольшие зондовые потенциалы и достаточные размеры зондов, чтобы a¢2 и b¢2 были менее единицы.
