Примеры соединений звеньев

Цель работы

1.1 Изучение видов соединения звеньев линейных систем.

1.2 Исследование временных и частотных характеристик последовательного и параллельного соединений двух линейных звеньев.

Ключевые положения

Виды соединений звеньев

В результате соединения элементарных звеньев образуется система, которая в целом может обладать такими характеристиками, которых нет ни у одного из элементарных звеньев.

При построении систем может иметь место всего три вида соединений звеньев:

– последовательное;

– параллельное;

– с обратной связью.

Последовательное соединение звеньев (рис. 1, а) – это такое соединение, при котором реакция предыдущего звена является воздействием на последующее. При последовательном соединении результирующая передаточная функция является произведением передаточных функций отдельных звеньев :

, (1)

где – количество звеньев.

Если перейти к составляющим комплексной передаточной функции: амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристикам, то в случае последовательного соединения получим:

,

.

Параллельное соединение звеньев (рис. 1, б) – это такое соединение, при котором на входы всех звеньев подается одно и то же воздействие, а реакция определяется суммой реакций отдельных звеньев. При параллельном соединении результирующая передаточная функция является суммой передаточных функций отдельных звеньев :

, (2)

где – количество звеньев.

АЧХ параллельного соединения звеньев:

.

Результирующий фазовый сдвиг на каждой частоте зависит как от коэффициента передачи по амплитуде, так и фазового сдвига, вносимого отдельными звеньями – это угол вектора, образованного геометрическим суммированием векторов, отображающих комплексные коэффициенты передачи звеньев.

Рисунок 1 – Виды соединений звеньев в системах

Соединение по схеме с обратной связью (рис. 1, в) – это такое соединение, при котором реакция звена непосредственно или в преобразованном виде поступает на его вход, вычитаясь из воздействия (или прибавляясь к нему). Передаточная функция системы с обратной связью (состоящей из двух звеньев: звена прямой связи и звена обратной связи ) равна дроби, числителем которой является передаточная функция звена прямой связи , а знаменатель является сумма единицы и произведения передаточных функций звеньев прямой и обратной связи × :

. (3)

Обратная связь является положительной на некоторой частоте, если наличие этой связи увеличивает величину отклика, обратная связь является отрицательной на некоторой частоте, если наличие этой связи уменьшает величину отклика.

В этой работе характеристики систем с обратной связью не исследуются, поэтому в ключевых положениях ограничимся уже сказанным о них.

В общем случае системы включают в себя комбинации всех трех рассмотренных видов соединений.

Примеры соединений звеньев

Последовательное соединение. Последовательное соединение одинаковых звеньев, например, интегрирующих – по сути фильтров нижних частот (ФНЧ) – позволяет получить систему с более крутым скатом АЧХ, чем у одного звена (рис. 2). Решение такой задачи может понадобиться в том случае, если воздействие состоит из «полезной» составляющей (сигнала) и искажающей ее помехи (шума), спектральные составляющие которой присутствуют за пределами полосы частот «полезной» составляющей. Чем круче будет скат АЧХ за пределами полосы частот сигнала, тем меньше будет искажен сигнала, т.к. меньше будет уровень шума на выходе системы. Также система с крутой АЧХ необходима тогда, когда система обеспечивает разделение сигналов, спектры которых, не перекрываясь распложены близко друг к другу (для экономии полосы частот).

Рисунок 2 – АЧХ одного звена и последовательного соединения
нескольких таких звеньев

 

Если некоторое звено системы с передаточной функцией является искажающим – т.е. таким, что вносит нежелательные изменения в форму сигнала, то последовательно ему может быть включено звено с обратной передаточной функцией (корректор) и тогда результирующая характеристика будет равна 1 – классическая задача «коррекции искажений» (рис. 3).

Рисунок 3 – АЧХ искажающего звена , корректирующего звена
и АЧХ их последовательного соединения

 

Последовательно соединив ФНЧ с передаточной функцией и фильтр верхних частот (ФВЧ) с передаточной функцией , можно получить полосовой фильтр (ПФ) с передаточной функцией . Полосовые фильтры используют, например, в тех случаях, когда из суммы сигналов, имеющих неперекрывающиеся спектры, необходимо выделить один из них. Полосовой перестраиваемый фильтр включен на входе радиоприёмников – каждая радиостанция занимает выделенную ей полосу частот.

Рисунок 4 – АЧХ фильтров верхних и нижних частот,
АЧХ их последовательного соединения

Параллельное соединение. Система, состоящая из нескольких параллельно соединенных звеньев с разными полосами пропускания, выделяет в спектре воздействия составляющие, попадающие в полосы пропускания отдельных звеньев. Практическим примером является «тембр-блок» (эквалайзер) в акустических системах. Каждое звено в тембр-блоке (ФНЧ, ФВЧ, ПФ) имеет регулируемый коэффициент передачи и, таким образом, пользователь согласно своему субъективному восприятию корректирует спектр аудио сигнала, например, увеличивает или ослабляет уровень «басов». Простейший тембр-блок состоит из ФНЧ и ФВЧ, регулировка общего коэффициента передачи которых обозначается «НЧ» и «ВЧ» соответственно.

На рис. 5 показаны АЧХ ФНЧ и ФВЧ и результата их параллельного соединения H _ТБ(f).

Рисунок 5 – АЧХ фильтров верхних и нижних частот,
АЧХ их параллельного соединения

Ключевые вопросы

3.1 Дайте определение системы.

3.2 Перечислите виды соединений звеньев.

3.3 Дайте определение последовательного соединения звеньев системы.

3.4 Дайте определение параллельного соединения звеньев системы.

3.5 Дайте определение соединения звеньев системы по схеме с обратной связью.

3.6 Какой эффект дает последовательное соединение одинаковых звеньев?

3.7 Какой эффект дает последовательное соединение звеньев с взаимно обратными передаточными функциями?

3.8 Какую результирующую характеристику можно получить, соединив интегрирующие звенья (ФНЧ) и дифференцирующие звенья (ФВЧ).

3.9 Какое устройство можно создать на основе параллельного соединения фильтров с неперекрывающимися полосами пропускания?

Домашнее задание

4.1 Изучить по конспекту и литературе [1, разд. 2.1] раздел "Описание линейных систем с помощью передаточных функций"

4.2 Построить графики АЧХ одного апериодического звена и последовательного соединения N + 1 таких звеньев, N – номер бригады (стенда). Выражение, описывающее АЧХ апериодического звена, следующее

.

При построении графиков необходимо принять k = 1, T = 1/(2π N), диапазон значений f от 0 Гц до 3 N Гц.

Сравнить полученные АЧХ между собой.

4.3 Подготовиться к обсуждению по ключевым вопросам раздела 3 этого пособия.

 

Лабораторное задание

5.1 Запуск виртуального лабораторного макета: с помощью ярлыка на рабочем столе запустите программу Matlab и введите в командной строке "ots_lb2", нажмите "Enter".

5.2 Исследование характеристик последовательного соединения звеньев.

5.2.1 Задача коррекции. В выпадающих списках «Тип звена 1» и «Тип звена 2» выберите «идеальное дифференцирующее» и «идеальное интегрирующее» соответственно, значения параметров передаточной функции оставьте равными единицам, в выпадающем списке «Исследуемая характеристика» выберите «амплитудно-частотная», нажмите кнопку "Запуск".

Убедитесь, что результирующая АЧХ равна 1 на всех частотах, т.е. дифференцирующее и интегрирующее звенья, будучи соединёнными последовательно, образуют «усилительное звено», как в общем-то любая пара звеньев с взаимно обратными характеристиками.

Проанализируйте другие характеристики (переходную, импульсную и фазо-частотную) последовательного соединения дифференцирующего и интегрирующего звеньев. В частности, убедитесь, что результирующий фазовый сдвиг на некоторой частоте равен сумме фазовых сдвигов на этой частоте, вносимых звеньями по отдельности.

Какие из графиков, построенных макетом, необходимо зафиксировать в рабочей тетради, уточняйте у преподавателя (так же поступайте при выполнении следующих пунктов лабораторного задания).

5.2.2 Увеличение крутизны АЧХ. В выпадающих списках «Тип звена 1» и «Тип звена 2» выберите «апериодическое звено», значение b ₀ оставьте равным 1, значение a ₁ установите равным 0,05, в выпадающем списке «Исследуемая характеристика» выберите «амплитудно-частотная», нажмите кнопку "Запуск".

Убедитесь, что результирующая АЧХ убывает быстрее, чем у каждого из звеньев в отдельности.

Проанализируйте другие характеристики (переходную, импульсную и фазо-частотную) последовательного соединения двух апериодических звеньев.

5.2.3 Создание полосового фильтра из интегрирующего и дифференцирующего звеньев. В выпадающих списках «Тип звена 1» и «Тип звена 2» выберите «апериодическое звено» и «реальное дифференцирующее звено» соответственно, установите следующие значения параметров передаточной функций: b ₀ = 1, a ₁ = 0,05 для первого звена и b ₁ = 0,05, a ₁ = 0,05 для второго звена, в выпадающем списке «Исследуемая характеристика» выберите «амплитудно-частотная», нажмите кнопку "Запуск".

Убедитесь, что результирующая характеристика соответствует характеристике полосового фильтра. Убедитесь, что коэффициент передачи по амплитуде является малым на тех частотах, где он мал у одного из звеньев, и, наоборот, большой только на тех частотах, где одновременно он велик у обоих звеньев.

Проанализируйте другие характеристики (переходную, импульсную и фазо-частотную) последовательного соединения апериодического и реального дифференцирующего звеньев.

5.3 Исследование характеристик параллельного соединения звеньев. Оставьте все те же настройки лабораторного макета, что и в п. 5.2.3, в выпадающем списке «Исследуемая характеристика» выберите «амплитудно-частотная», «Тип соединения звеньев» выберите «параллельное», нажмите кнопку "Запуск".

Убедитесь, что результирующий коэффициент передачи по амплитуде является суммой коэффициентов передачи параллельно соединенных звеньев и равен на всех частотах 1 (передаточные функции звеньев являются взаємно обратными). Убедитесь, что переходная, импульсная и фазо-частотная характеристики такого соединения звеньев соответствуют характеристикам усилительного звена.

Увеличьте значение b ₀ первого звена (общий коэффициент передачи) до 2 и убедитесь, что в области нижних часто наблюдается подъем результирующей АЧХ. Проанализируйте, как такое изменение параметров передаточной функции повлияло на другие частотные и временные характеристики.