Общая формула для погрешности

(Прямая задача теории погрешностей)

Прямая (основная) задача теории погрешностей заключается в вычислении погрешности результата математических действий, если известны погрешности аргументов. При этом действия над аргументами можно представить в виде функции ,

- дифференцируемая функция;

- предельные абсолютные погрешности аргументов .

Предельная абсолютная погрешность функции

, (1.12)

Предельная относительная погрешность функции

(1.13)

Формула (1.13) получена путем деления (1.12) на

Пример 1.1

,

Из этого следует, что предельная абсолютная погрешность суммы, не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного (в смысле абсолютной погрешности) из слагаемых, т.е. слагаемого, имеющего максимальную абсолютную погрешность. Следовательно, с какой бы степенью точности ни были определены остальные слагаемые, мы не можем за их счет увеличить точность суммы. Поэтому не имеет смысла сохранять излишние знаки и в более точных слагаемых. Отсюда вытекает следующее, обычно применяемое практическое правило для сложения приближенных чисел:

- выделить числа, десятичная запись

которых обрывается ранее других и оставить

без изменения;

- остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два

запасных десятичных знака;

- произвести сложение данных чисел,

учитывая все сохраненные знаки;

- полученный результат округлить на один

знак.

 

Пример 1.2

,

Из результата вычисления вытекает, что может быть весьма большой, если приближенные числа и достаточно близки друг к другу, в то время как их погрешности (абсолютные и относительные) остаются малыми, т.е. здесь происходит потеря точности.

Исходя из вышесказанного получаем еще одно практическое правило:

- при приближенных вычислениях следует избегать вычитания двух почти равных приближенных чисел;

- если же приходится вычитать такие числа, то следует преобразовывать такие выражения, или (если такая возможность имеется) уменьшаемое и вычитаемое брать с достаточным числом запасных верных знаков.

Т.о., примеры на определение погрешности суммы, разности, произведения, частного, корня, степени дали возможность выработать рекомендации по выполнению массовых вычислений (без точного учета погрешностей):

- при сложении и вычитании младший сохраненный десятичный разряд результата должен являться наибольшим среди десятичных разрядов, выражаемых последними значащими цифрами исходных данных;

- при умножении, делении следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет исходное данное с наименьшим числом верных цифр;

- при возведении в степень следует сохранять столько значащих цифр, сколько верных цифр основания степями.

- при извлечении корня в результате следует брать столько значащих цифр, сколько верных цифр имеет подкоренное выражение;

- если некоторые данные имеют излишние младшие десятичные разряды (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр, чем другие (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), то их предварительно нужно округлить, сохраняя одну (две) запасные цифры;

- во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну (две) цифры больше, чем рекомендуют предыдущие правила, в окончательном результате одна из оставленных цифр отбрасывается.

Для оценки погрешности решения на практике можно использовать следующие приемы:

1. Решить задачу различными численными методами.

 

2. Незначительно изменить исходные данные и повторно решить задачу. Результаты сравнить. Если они различаются существенно, задача или метод ее решения являются неустойчивыми. Далее скорректировать задачу или (и) выбрать другой метод.